高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)

2．2最大值、最小值問題(一)

第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用2．2最大值、最小值問題(一)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)導(dǎo)航

第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)導(dǎo)航第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都___________f(x0)．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都___________f(x0)．不超過不低于1.最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)不超過不低于2.最大值與最小值最大(小)值或者在極大(小)值點(diǎn)取得,或者在區(qū)間的端點(diǎn)取得.因此，要想求函數(shù)的最大(小)值，應(yīng)首先求出函數(shù)的極大(小)值點(diǎn)，然后將所有極大(小)值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大(小)的值即為函數(shù)的最大(小)值．函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為___________．最值2.最大值與最小值最值3.函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線,則該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得．注意：在開區(qū)間(a，b)上連續(xù)函數(shù)y＝f(x)的最值有如下幾種情況：圖①中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上有最大值無最小值;圖②中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上有最小值無最大值;圖③中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上既無最大值也無最小值;圖④中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上既有最大值也有最小值.3.函數(shù)的最大值與最小值4．函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系(1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對函數(shù)值的比較，具有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒有，例如：常數(shù)函數(shù)既沒有極大值也沒有極小值．(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取得必定是極值．4．函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的最值一定是極值，而極值不一定是最值(

)(2)函數(shù)的最大值大于最小值，函數(shù)的極大值大于極小值(

)(3)單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，一定無極值(

)(4)若函數(shù)存在最大(小)值，則最大(小)值唯一(

)××√√1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)××√√AA高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

求函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]的最值．[解]法一：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求函數(shù)f(x)∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4.法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，∴f′(x)＝－4x3＋4x，∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.解得：x＝－1或x＝0或x＝1.又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(1)＝4，f(2)＝－5.所以當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)有最小值－60.當(dāng)x＝±1時(shí)，f(x)有最大值4.方法歸納求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值,一般是先求出f(x)在(a,b)內(nèi)所有極值和兩個(gè)端點(diǎn)值f(a),f(b)，再比較各極值與端點(diǎn)值即可得到函數(shù)在[a，b]上的最值．令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)求含參數(shù)函數(shù)的最值(2013·高考浙江卷改編)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(|a|>1)，求f(x)在閉區(qū)間[0，2|a|]上的最小值．[解]記g(a)為f(x)在閉區(qū)間[0，2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.當(dāng)a>1時(shí)，求含參數(shù)函數(shù)的最值(2013·高考高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)方法歸納求含參數(shù)函數(shù)最值的步驟是：先求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0,求得方程的根，方程的根都是含有參數(shù)的，然后對參數(shù)進(jìn)行分類討論，參數(shù)的取值范圍不同時(shí)，函數(shù)的最值也可能有所不同.方法歸納高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)

已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．[解]由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾.根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則可得，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①當(dāng)a＞0時(shí)，列表如下：已知函數(shù)f(x)＝ax3－6a高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)[感悟提高]此類問題關(guān)鍵在于確定最值，然后列方程(組)求出參數(shù)，但參數(shù)的值往往對最值點(diǎn)有影響，故常需

分

類討論．[感悟提高]此類問題關(guān)鍵在于確定最值，然后列方程(組)求高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)[感悟提高]本例由于f(x)的解析式中含絕對值，首先對x進(jìn)行分類討論，以去掉絕對值號,然后再對參數(shù)a進(jìn)行分類討論,兩次分類討論的對象和出發(fā)點(diǎn)不同．[感悟提高]本例由于f(x)的解析式中含絕對值，首先對

已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1處有極小值－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)(2)由(1)知，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：由表中數(shù)據(jù)知，函數(shù)f(x)在x＝2時(shí),取得最大值2；在x＝－2時(shí),取得最小值－10.(2)由(1)知，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況[感悟提高]本題結(jié)合函數(shù)極值的求法，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．在求最值時(shí)切忌不要簡單地在極值中找出最值作為結(jié)果，一定要考慮函數(shù)在端點(diǎn)處取得的函數(shù)值的大小．[感悟提高]本題結(jié)合函數(shù)極值的求法，用待定系數(shù)法求出2．2最大值、最小值問題(一)

第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用2．2最大值、最小值問題(一)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)導(dǎo)航

第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)導(dǎo)航第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都___________f(x0)．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都___________f(x0)．不超過不低于1.最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)不超過不低于2.最大值與最小值最大(小)值或者在極大(小)值點(diǎn)取得,或者在區(qū)間的端點(diǎn)取得.因此，要想求函數(shù)的最大(小)值，應(yīng)首先求出函數(shù)的極大(小)值點(diǎn)，然后將所有極大(小)值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大(小)的值即為函數(shù)的最大(小)值．函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為___________．最值2.最大值與最小值最值3.函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線,則該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得．注意：在開區(qū)間(a，b)上連續(xù)函數(shù)y＝f(x)的最值有如下幾種情況：圖①中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上有最大值無最小值;圖②中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上有最小值無最大值;圖③中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上既無最大值也無最小值;圖④中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上既有最大值也有最小值.3.函數(shù)的最大值與最小值4．函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系(1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對函數(shù)值的比較，具有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒有，例如：常數(shù)函數(shù)既沒有極大值也沒有極小值．(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取得必定是極值．4．函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的最值一定是極值，而極值不一定是最值(

)(2)函數(shù)的最大值大于最小值，函數(shù)的極大值大于極小值(

)(3)單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，一定無極值(

)(4)若函數(shù)存在最大(小)值，則最大(小)值唯一(

)××√√1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)××√√AA高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

求函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]的最值．[解]法一：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求函數(shù)f(x)∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4.法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，∴f′(x)＝－4x3＋4x，∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.解得：x＝－1或x＝0或x＝1.又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(1)＝4，f(2)＝－5.所以當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)有最小值－60.當(dāng)x＝±1時(shí)，f(x)有最大值4.方法歸納求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值,一般是先求出f(x)在(a,b)內(nèi)所有極值和兩個(gè)端點(diǎn)值f(a),f(b)，再比較各極值與端點(diǎn)值即可得到函數(shù)在[a，b]上的最值．令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)求含參數(shù)函數(shù)的最值(2013·高考浙江卷改編)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(|a|>1)，求f(x)在閉區(qū)間[0，2|a|]上的最小值．[解]記g(a)為f(x)在閉區(qū)間[0，2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.當(dāng)a>1時(shí)，求含參數(shù)函數(shù)的最值(2013·高考高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)方法歸納求含參數(shù)函數(shù)最值的步驟是：先求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0,求得方程的根，方程的根都是含有參數(shù)的，然后對參數(shù)進(jìn)行分類討論，參數(shù)的取值范圍不同時(shí)，函數(shù)的最值也可能有所不同.方法歸納高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)高中數(shù)學(xué)選修1-1課件：最大值、最小值問題(一)

已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．[解]由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾.根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則可得，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①當(dāng)a＞0時(shí)，列表如下：已知函數(shù)f(x)＝ax3－6a高中數(shù)學(xué)選