圓錐曲線中的熱點問題

圓錐曲線中的熱點問題第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日第3講圓錐曲線中的熱點問題主干知識梳理熱點分類突破真題與押題第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日1.本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長、定點、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大.2.求軌跡方程也是高考的熱點與重點，若在客觀題中出現(xiàn)通常用定義法，若在解答題中出現(xiàn)一般用直接法、代入法、參數(shù)法或待定系數(shù)法，往往出現(xiàn)在解答題的第(1)問中．考情解讀第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日主干知識梳理1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程.若Δ>0，則直線與橢圓相交；若Δ＝0，則直線與橢圓相切；若Δ<0，則直線與橢圓相離.第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①若a≠0，當(dāng)Δ>0時，直線與雙曲線相交；當(dāng)Δ＝0時，直線與雙曲線相切；當(dāng)Δ<0時，直線與雙曲線相離.②若a＝0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當(dāng)a≠0時，用Δ判定，方法同上.②當(dāng)a＝0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點.第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)當(dāng)斜率k不存在時，可求出交點坐標(biāo)，直接運算(利用兩點間距離公式).第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.弦的中點問題有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運算.4.軌跡方程問題(1)求軌跡方程的基本步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出軌跡上任一點的坐標(biāo)——解析法(坐標(biāo)法).②尋找動點與已知點滿足的關(guān)系式——幾何關(guān)系.第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日③將動點與已知點的坐標(biāo)代入——幾何關(guān)系代數(shù)化.④化簡整理方程——簡化.⑤證明所得方程為所求的軌跡方程——完成其充要性.(2)求軌跡方程的常用方法：①直接法：將幾何關(guān)系直接翻譯成代數(shù)方程；②定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程；第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日③代入法：把所求動點的坐標(biāo)與已知動點的坐標(biāo)建立聯(lián)系；④交軌法：寫出兩條動直線的方程直接消參，求得兩條動直線交點的軌跡；(3)注意①建系要符合最優(yōu)化原則；②求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達式.步驟②⑤省略后，驗證時常用途徑：化簡是否同解變形，是否滿足題意，驗證特殊點是否成立等.第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日熱點一圓錐曲線中的范圍、最值問題熱點二圓錐曲線中的定值、定點問題熱點三圓錐曲線中的探索性問題熱點分類突破第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日熱點一圓錐曲線中的范圍、最值問題第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日(1)求橢圓C1的方程；思維啟迪P點是橢圓上頂點，圓C2的直徑等于橢圓長軸長；第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.思維啟迪

設(shè)直線l1的斜率為k，將△ABD的面積表示為關(guān)于k的函數(shù).解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為y＝kx－1.又圓C2：x2＋y2＝4，第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日設(shè)△ABD的面積為S，第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日求最值及參數(shù)范圍的方法有兩種：①根據(jù)題目給出的已知條件或圖形特征列出一個關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，將其代入由題目列出的不等式(即為消元)，然后求解不等式；②由題目條件和結(jié)論建立目標(biāo)函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.思維升華第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日變式訓(xùn)練1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；又a2＝b2＋c2，∵a2＝4，b2＝3，第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日解顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，|PQ|＝3，|F1F2|＝2，

＝3；當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時，設(shè)直線PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日∴當(dāng)直線PQ與x軸垂直時

最大，且最大面積為3.設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r，則

＝

(|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)·r＝4r≤3.即rmax＝

，此時直線PQ與x軸垂直，△PF1Q內(nèi)切圓面積最大，第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日例2

(2013·陜西)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；熱點二圓錐曲線中的定值、定點問題思維啟迪

設(shè)動圓圓心坐標(biāo)，利用圓的半徑、半弦長和弦心距組成的直角三角形求解；第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日解如圖，設(shè)動圓圓心為O1(x，y)，由題意，得|O1A|＝|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點，第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日化簡得y2＝8x(x≠0).又當(dāng)O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y2＝8x，∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)已知點B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點.思維啟迪

設(shè)直線方程y＝kx＋b，將其和軌跡C的方程聯(lián)立，再設(shè)兩個交點坐標(biāo)，由題意知直線BP和BQ的斜率互為相反數(shù)，推出k和b的關(guān)系，最后證明直線過定點.第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)證明如圖由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日∵x軸是∠PBQ的角平分線，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③將①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此時Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過定點(1,0).第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日(1)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.(2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：y－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過定點(0，m).思維升華第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日變式訓(xùn)練2

(1)求橢圓C的方程；第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)已知點P(2,3)，Q(2，－3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.解當(dāng)∠APQ＝∠BPQ時，PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k，PA的直線方程為y－3＝k(x－2)，(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日同理PB的直線方程為y－3＝－k(x－2)，第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日例3已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：熱點三圓錐曲線中的探索性問題第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；思維啟迪

比較橢圓及拋物線方程可知，C2的方程易求，確定其上兩點，剩余兩點，利用待定系數(shù)法求C1方程.易求得C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日思維啟迪

聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化已知條件進行求解.解容易驗證當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－1)，與C1的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2).第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]解得k＝±2，所以存在直線l滿足條件，且直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型.解決問題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立，然后進行演繹推理或?qū)С雒?，即可否定假設(shè)或推出合理結(jié)論，驗證后肯定結(jié)論，對于“存在”或“不存在”的問題，直接用條件證明或采用反證法證明.解答時，不思維升華第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日但需要熟練掌握圓錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識，還要具備較強的審題能力、邏輯思維能力以及運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題的能力.思維升華第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日變式訓(xùn)練3已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日且可知其左焦點為F′(－2,0).又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日因為直線l與橢圓C有公共點，第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日所以符合題意的直線l不存在.第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)同方法一.第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日1.圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：本講規(guī)律總結(jié)第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.定點、定值問題的處理方法定值包括幾何量的定值或曲線過定點等問題，處理時可以直接推理求出定值，也可以先通過特定位置猜測結(jié)論后進行一般性證明.對于客觀題，通過特殊值法探求定點、定值能達到事半功倍的效果.第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.探索性問題的解法探索是否存在的問題，一般是先假設(shè)存在，然后尋找理由去確定結(jié)論，如果真的存在，則可以得出相應(yīng)存在的結(jié)論；若不存在，則會由條件得出矛盾，再下結(jié)論不存在即可.第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日真題感悟押題精練真題與押題第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日真題感悟(2014·北京)已知橢圓C：x2＋2y2＝4.(1)求橢圓C的離心率；所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2.第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日真題感悟(2)設(shè)O為