圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題

圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第3講圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破真題與押題第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日1.本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大.2.求軌跡方程也是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，若在客觀題中出現(xiàn)通常用定義法，若在解答題中出現(xiàn)一般用直接法、代入法、參數(shù)法或待定系數(shù)法，往往出現(xiàn)在解答題的第(1)問中．考情解讀第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日主干知識(shí)梳理1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程.若Δ>0，則直線與橢圓相交；若Δ＝0，則直線與橢圓相切；若Δ<0，則直線與橢圓相離.第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①若a≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與雙曲線相離.②若a＝0時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當(dāng)a≠0時(shí)，用Δ判定，方法同上.②當(dāng)a＝0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，只有一個(gè)交點(diǎn).第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式).第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日3.弦的中點(diǎn)問題有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.4.軌跡方程問題(1)求軌跡方程的基本步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)——解析法(坐標(biāo)法).②尋找動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式——幾何關(guān)系.第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日③將動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入——幾何關(guān)系代數(shù)化.④化簡(jiǎn)整理方程——簡(jiǎn)化.⑤證明所得方程為所求的軌跡方程——完成其充要性.(2)求軌跡方程的常用方法：①直接法：將幾何關(guān)系直接翻譯成代數(shù)方程；②定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程；第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日③代入法：把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系；④交軌法：寫出兩條動(dòng)直線的方程直接消參，求得兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡；(3)注意①建系要符合最優(yōu)化原則；②求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達(dá)式.步驟②⑤省略后，驗(yàn)證時(shí)常用途徑：化簡(jiǎn)是否同解變形，是否滿足題意，驗(yàn)證特殊點(diǎn)是否成立等.第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日熱點(diǎn)一圓錐曲線中的范圍、最值問題熱點(diǎn)二圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題熱點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問題熱點(diǎn)分類突破第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日熱點(diǎn)一圓錐曲線中的范圍、最值問題第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(1)求橢圓C1的方程；思維啟迪P點(diǎn)是橢圓上頂點(diǎn)，圓C2的直徑等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)；第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.思維啟迪

設(shè)直線l1的斜率為k，將△ABD的面積表示為關(guān)于k的函數(shù).解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為y＝kx－1.又圓C2：x2＋y2＝4，第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)△ABD的面積為S，第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日求最值及參數(shù)范圍的方法有兩種：①根據(jù)題目給出的已知條件或圖形特征列出一個(gè)關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，將其代入由題目列出的不等式(即為消元)，然后求解不等式；②由題目條件和結(jié)論建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.思維升華第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日變式訓(xùn)練1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；又a2＝b2＋c2，∵a2＝4，b2＝3，第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日解顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，|PQ|＝3，|F1F2|＝2，

＝3；當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日∴當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)

最大，且最大面積為3.設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r，則

＝

(|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)·r＝4r≤3.即rmax＝

，此時(shí)直線PQ與x軸垂直，△PF1Q內(nèi)切圓面積最大，第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例2

(2013·陜西)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；熱點(diǎn)二圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題思維啟迪

設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)和弦心距組成的直角三角形求解；第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日解如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x，y)，由題意，得|O1A|＝|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過(guò)O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0).又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y2＝8x，∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).思維啟迪

設(shè)直線方程y＝kx＋b，將其和軌跡C的方程聯(lián)立，再設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意知直線BP和BQ的斜率互為相反數(shù)，推出k和b的關(guān)系，最后證明直線過(guò)定點(diǎn).第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)證明如圖由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日∵x軸是∠PBQ的角平分線，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③將①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此時(shí)Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0).第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(1)定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無(wú)關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.(2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y－y0＝k(x－x0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m).思維升華第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日變式訓(xùn)練2

(1)求橢圓C的方程；第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)已知點(diǎn)P(2,3)，Q(2，－3)在橢圓上，點(diǎn)A、B是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.解當(dāng)∠APQ＝∠BPQ時(shí)，PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k，PA的直線方程為y－3＝k(x－2)，(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日同理PB的直線方程為y－3＝－k(x－2)，第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例3已知橢圓C1、拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：熱點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問題第三十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；思維啟迪

比較橢圓及拋物線方程可知，C2的方程易求，確定其上兩點(diǎn)，剩余兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求C1方程.易求得C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日思維啟迪

聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化已知條件進(jìn)行求解.解容易驗(yàn)證當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝k(x－1)，與C1的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2).第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]解得k＝±2，所以存在直線l滿足條件，且直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型.解決問題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立，然后進(jìn)行演繹推理或?qū)С雒?，即可否定假設(shè)或推出合理結(jié)論，驗(yàn)證后肯定結(jié)論，對(duì)于“存在”或“不存在”的問題，直接用條件證明或采用反證法證明.解答時(shí)，不思維升華第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日但需要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識(shí)，還要具備較強(qiáng)的審題能力、邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題的能力.思維升華第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日變式訓(xùn)練3已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日且可知其左焦點(diǎn)為F′(－2,0).又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日所以符合題意的直線l不存在.第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)同方法一.第四十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日1.圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：本講規(guī)律總結(jié)第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2.定點(diǎn)、定值問題的處理方法定值包括幾何量的定值或曲線過(guò)定點(diǎn)等問題，處理時(shí)可以直接推理求出定值，也可以先通過(guò)特定位置猜測(cè)結(jié)論后進(jìn)行一般性證明.對(duì)于客觀題，通過(guò)特殊值法探求定點(diǎn)、定值能達(dá)到事半功倍的效果.第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日3.探索性問題的解法探索是否存在的問題，一般是先假設(shè)存在，然后尋找理由去確定結(jié)論，如果真的存在，則可以得出相應(yīng)存在的結(jié)論；若不存在，則會(huì)由條件得出矛盾，再下結(jié)論不存在即可.第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日真題感悟押題精練真題與押題第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日真題感悟(2014·北京)已知橢圓C：x2＋2y2＝4.(1)求橢圓C的離心率；所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2.第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日真題感悟(2)設(shè)O為