坐標(biāo)變換空間剛體旋轉(zhuǎn)移動(dòng)坐標(biāo)變換矩陣

關(guān)于坐標(biāo)變換空間剛體旋轉(zhuǎn)移動(dòng)坐標(biāo)變換矩陣第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日3.4.1三維基本變換

以二維變換為基礎(chǔ)，很容易引伸到三維變換。二維點(diǎn)的位置向量其齊次坐標(biāo)是用三個(gè)分量[xy1]來(lái)表示的，三維點(diǎn)的位置向量則要用四個(gè)分量[xyz1]來(lái)表示了。相應(yīng)的變換矩陣也要用T4X4方陣的形式。第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

將矩陣分為四部分，則每個(gè)子矩陣對(duì)圖形的變換作用為：3X3方陣產(chǎn)生三維圖形的比例、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等基本變換。[lmn]產(chǎn)生沿X、Y、Z方向的平移變換。[pqr]T產(chǎn)生圖形的透視變換。[s]產(chǎn)生圖形的總比例變換。第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日1、比例變換

與二維比例變換類似，主對(duì)角線上的元素aej起局部比例變換的作用，而元素s則起整體比例變換的作用。例如令非對(duì)角線上的元素全為零，s=1，對(duì)空間點(diǎn)的位置向量進(jìn)行變換，即：比例變換矩陣第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)a=e=j=1，s≠1時(shí)，產(chǎn)生整體等比例變換。整體等比例變換矩陣等比例變換第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日2、平移變換平移變換矩陣第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日3、旋轉(zhuǎn)變換1）

繞X軸旋轉(zhuǎn)θ角

空間立體繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí),立體上各點(diǎn)的x坐標(biāo)不變,只有y、z坐標(biāo)改變。變換矩陣為：第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日2）

繞Y軸旋轉(zhuǎn)θ角變換矩陣為：3、旋轉(zhuǎn)變換第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日3）

繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角

變換矩陣為：3、旋轉(zhuǎn)變換第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日4、錯(cuò)切變換

錯(cuò)切變換是指三維立體沿x、y、z三個(gè)方向產(chǎn)生錯(cuò)切，錯(cuò)切變換是畫斜軸測(cè)圖的基礎(chǔ)，其變換矩陣的一般形式為：按X、Y、Z軸三個(gè)不同的方向，可分為6種情況：第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日1）沿x含y錯(cuò)切變換矩陣為：所以：[xyz1]T

x(y)=[x+dyyz1]=[x*y*z*1]第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日沿y含x錯(cuò)切變換矩陣為：沿z含x錯(cuò)切變換矩陣為：沿y含z錯(cuò)切變換矩陣為：沿y含z錯(cuò)切變換矩陣為：沿z含y錯(cuò)切變換矩陣為：同理：沿x含z錯(cuò)切變換矩陣為：延其它方向錯(cuò)切第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日5、對(duì)稱變換

二維對(duì)稱變換是對(duì)稱于坐標(biāo)軸或某一特定的直線或原點(diǎn)。三維最簡(jiǎn)單的對(duì)稱變換是對(duì)稱于坐標(biāo)平面的變換，即變換前后的兩個(gè)圖形對(duì)稱于某一坐標(biāo)平面。第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日1）對(duì)稱于xoz面若對(duì)稱于xoz面，則圖形點(diǎn)集的x、z坐標(biāo)不會(huì)改變，僅y坐標(biāo)改變符號(hào)，故只須將產(chǎn)生恒等變換的單位矩陣中主管y向變化的第二列元素異號(hào)，即可得到對(duì)稱于xoz面的變換矩陣Txoz為：變換后點(diǎn)的坐標(biāo)為：[x*y*z*1]=[xyz1]Txoz=[x-yz1]

第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

同理，可建立對(duì)xoy、yoz面對(duì)稱的變換矩陣分別為：第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日3.4.2三維圖形的投影變換

在工程設(shè)計(jì)中，產(chǎn)品的幾何模型通常是用三面投影圖來(lái)描述，即用二維圖形表達(dá)三維物體。投影就是把空間物體投影到投影面上而得到的平面圖形，利用變換矩陣，可方便地實(shí)現(xiàn)三維圖形的正投影變換（三視圖），正軸測(cè)投影變換（軸測(cè)圖）和透視變換（透視圖）。第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日投影變換的類型第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

一、三視圖機(jī)械工程圖中的三視圖是對(duì)三維空間的物體以垂直于坐標(biāo)平面的投影線分別作正投影而獲得的。第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

1、主視圖變換矩陣

取xoz平面上的投影為主視圖，只須將立體的y坐標(biāo)變?yōu)榱悖儞Q矩陣為：則有：[x*y*z*1]=[xyz1]Tv=[x0z1]第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日將形體的點(diǎn)集向yoz面（W面）投影，即令x坐標(biāo)為0；繞z軸逆轉(zhuǎn)90度，使與V面在同一平面，再沿x負(fù)方向平移l，使與V面投影保持間距l(xiāng)

。則變換矩陣如下：

2、側(cè)視圖的變換矩陣第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日則有：[x*y*z*1]=[xyz1]Tw=[-y-l0z1]即Tw側(cè)視圖的變換矩陣第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

取xoy平面（即H面）上的投影，即令z坐標(biāo)為0；再繞x軸逆轉(zhuǎn)90度，使與V面在同一平面，然后再沿z軸負(fù)方向平移N，使與V面投影保持間距N。則變換矩陣如下：3、俯視圖變換矩陣第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日俯視圖變換矩陣則有：[x*y*z*1]=[xyz1]Tw=[x0-y-n1]TH=

由此我們可以看到，3個(gè)視圖中y均為0，這是由于變換后，3個(gè)視圖均落在XOZ平面上的緣故。這樣，可用x*,z*坐標(biāo)直接畫出3個(gè)視圖。第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例畫出所示形體的三面投影圖解：設(shè)n=10l=10,則主視圖（V面）投影為第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日二、透視投影變換透視投影從一個(gè)視點(diǎn)透過(guò)一個(gè)平面(畫面)觀察物體，其視線(投影線)是從視點(diǎn)(觀察點(diǎn))出發(fā)，視線是不平行的。視線與畫面相截交得到的圖形就是透視圖。

第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日透視變換如圖所示，空間一點(diǎn)P(x，y，z)，設(shè)S為視點(diǎn)，并在Y軸上，投影面垂直Y軸且交于O’點(diǎn)。投影面距坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離為y1，視點(diǎn)距原點(diǎn)的距離為y2，由相似三角形的關(guān)系有：第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)O、O’重合時(shí)，投影面與XOZ重合，即y1=0，則：透視變換第二十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

即：[x*y*z*1]=[xyz1]=[xyz1]=[x0z1-y/y2]

1000010-1/y20010000110000000001000011000000-1/y200100001一點(diǎn)透視變換矩陣規(guī)格化第二十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日令q=-1/y2，則主滅點(diǎn)在Y軸上y=1/q處，投影面為XOZ