【新教材精創(chuàng)】5-2-1 三角函數(shù)的概念 教學(xué)設(shè)計（2）-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

【新教材】5.2.1三角函數(shù)的概念三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型，有非常廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)的概念是在初中對銳角三角函數(shù)的定義以及剛學(xué)過的“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上討論和研究的。三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，對三角內(nèi)容的整體學(xué)習(xí)至關(guān)重要，是其他所有知識的出發(fā)點。緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，可以自然地導(dǎo)出本章的具體內(nèi)容：三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導(dǎo)公式、多組變換公式、圖象和性質(zhì)。三角函數(shù)的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內(nèi)容的學(xué)習(xí)作必要的準(zhǔn)備。三角函數(shù)知識還是物理學(xué)、高等數(shù)學(xué)、測量學(xué)、天文學(xué)的重要基礎(chǔ)。

課程目標(biāo)1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．2.掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號．3.掌握公式一并會應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：理解任意角三角函數(shù)的定義；2.邏輯推理：利用誘導(dǎo)公式一求三角函數(shù)值；3.直觀想象：任意角三角函數(shù)在各象限的符號；4.數(shù)學(xué)運算：誘導(dǎo)公式一的運用.重點：①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；②掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號.難點：理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，那么銳角三角函數(shù)是如何定義的？若將銳角放入直角坐標(biāo)系中，你能用角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？若以單位圓的圓心O為原點，你能用角的終邊與單位圓的交點來表示銳角三角函數(shù)嗎？那么，角的概念推廣之后，三角函數(shù)的概念又該怎樣定義呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本177-180頁，思考并完成以下問題1．任意角三角函數(shù)的定義？2．任意角三角函數(shù)在各象限的符號？3．誘導(dǎo)公式一？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．單位圓在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓．2．任意角的三角函數(shù)的定義(1)條件在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：圖1-2-1(2)結(jié)論①y叫做α的正弦，記作sin_α，即sinα＝y(tǒng)；②x叫做α的余弦，記作cos_α，即cosα＝x；③eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tan_α，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)總結(jié)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)．思考：若已知α的終邊上任意一點P的坐標(biāo)是(x，y)，則其三角函數(shù)定義為？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點P的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點O的距離是r(r＝eq\r(x2＋y2)＞0)．三角函數(shù)定義定義域名稱sinαyR正弦cosαxR余弦tanαyeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))正切正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù).3．正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))4．正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(1)圖示：圖1-2-2(2)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．誘導(dǎo)公式一四、典例分析、舉一反三題型一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊在直線y＝－2x上，求sinα，cosα，tanα的值．【答案】當(dāng)α的終邊在第二象限時，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝－2.當(dāng)α的終邊在第四象限時，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝－2.【解析】當(dāng)α的終邊在第二象限時，在α終邊上取一點P(－1，2)，則r＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,－1)＝－2.當(dāng)α的終邊在第四象限時，在α終邊上取一點P′(1，－2)，則r＝eq\r(12＋－22)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,1)＝－2.解題技巧：（已知角α終邊上任意一點的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法）(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．(2)在α的終邊上任選一點P(x，y)，設(shè)P到原點的距離為r(r>0)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).當(dāng)已知α的終邊上一點求α的三角函數(shù)值時，用該方法更方便．跟蹤訓(xùn)練一1．已知角θ終邊上一點P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.【答案】當(dāng)x＝1時，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝3；當(dāng)x＝－1時，此時sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝－3.【解析】由題意知r＝|OP|＝eq\r(x2＋9)，由三角函數(shù)定義得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又∵cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，∴eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.∵x≠0，∴x＝±1.當(dāng)x＝1時，P(1,3)，此時sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,1)＝3.當(dāng)x＝－1時，P(－1,3)，此時sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,－1)＝－3.題型二三角函數(shù)值的符號例2(1)若α是第四象限角，則點P(cosα，tanα)在第________象限．(2)判斷下列各式的符號：①sin183°；②taneq\f(7π,4)；③cos5.【答案】（1）四；（2）①sin183°<0；②taneq\f(7π,4)<0；③cos5>0.【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cosα>0，tanα<0，∴點P(cosα，tanα)在第四象限．(2)①∵180°<183°<270°，∴sin183°<0；②∵eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，∴taneq\f(7π,4)<0；③∵eq\f(3π,2)<5<2π，∴cos5>0.解題技巧：(判斷三角函數(shù)值在各象限符號的攻略)(1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限；(2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號；(3)注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯誤．提醒：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號．跟蹤訓(xùn)練二1．確定下列式子的符號：(1)tan108°·cos305°；(2)eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))；(3)tan120°·sin269°.【答案】(1)tan108°·cos305°＜0；(2)eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))＞0；（3）tan120°sin269°＞0.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos305°＞0.從而tan108°·cos305°＜0.(2)∵eq\f(5π,6)是第二象限角，eq\f(11π,6)是第四象限角，eq\f(2π,3)是第二象限角，∴coseq\f(5π,6)＜0，taneq\f(11π,6)＜0，sineq\f(2π,3)＞0.從而eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin269°＜0.從而tan120°sin269°＞0.題型三誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用例3求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).【答案】（1）eq\f(\r(3),2)；（2）eq\f(5,4).【解析】(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).解題技巧：（利用誘導(dǎo)公式一進行化簡求值的步驟）(1)定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個三角函數(shù)值．(3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．跟蹤訓(xùn)練三1．化簡下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.【答案】（1）(a－b)2；（2）eq\f(1,2).【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan0＝sine