數(shù)學(xué)建模差分模型及層次分析建模方法課件

數(shù)學(xué)建模

——從自然走向理性之路數(shù)學(xué)建模1

第十講

差分模型

及層次分析建模方法

【主要內(nèi)容】介紹市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型，減肥模型，層次分析方法【主要目的】了解差分方法及層次分析方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用第十講差分模型

及層次分析建模方法2差分模型

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型現(xiàn)象供大于求價(jià)格下降減少產(chǎn)量供不應(yīng)求價(jià)格上漲增加產(chǎn)量數(shù)量與價(jià)格在振蕩差分模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型現(xiàn)供大于求價(jià)格下降減少產(chǎn)量供不3問(wèn)題描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定？當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定？蛛網(wǎng)模型xk~第k

時(shí)段商品數(shù)量；yk~第

k時(shí)段商品價(jià)格問(wèn)描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什4需求函數(shù)：減函數(shù)供應(yīng)函數(shù)：增函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦

xk=x0，則

yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

fxy0x0y0P0g需求函數(shù)：減函數(shù)供應(yīng)函數(shù)：增函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y05xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x1xy0y0x0P0fgP3P1P2P4設(shè)x1偏離x0P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線斜率xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x6方程模型在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P07結(jié)果解釋考察,的含義xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量~消費(fèi)者對(duì)數(shù)量的敏感程度~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋考察,的含義xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~8經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)1.使盡量小，如=0

需求曲線變?yōu)樗揭孕姓侄慰刂苾r(jià)格不變2.使盡量小，如=0供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直以行政手段控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)1.使盡量小，如=0需求9背景

▲

多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持。

▲通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分析▲體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起▲飲食（吸收熱量）引起體重增加▲代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少減肥計(jì)劃—節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景▲多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持。10模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1公斤；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當(dāng)于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)1.5公斤，每周吸收熱量不要小于10000千卡。模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體11減肥計(jì)劃某甲體重100公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75公斤。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。第一階段：每周減肥1公斤，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)

2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。減肥計(jì)劃某甲體重100公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，12基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃

確定某甲的代謝消耗系數(shù)每周吸收20000千卡w=100公斤不變即每周每公斤體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收13

第一階段:w(k)每周減1公斤,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1公斤，第10周末體重90公斤吸收熱量為第一階段:w(k)每周減1公斤,c(k)減至下限10014

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤

基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤15第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75公斤。第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按162）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每公斤體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9基本模型t~每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))運(yùn)動(dòng)量

t=24(每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí)),共14周。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每公斤體重消173）達(dá)到目標(biāo)體重75公斤后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)3）達(dá)到目標(biāo)體重75公斤后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)18層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP）

數(shù)學(xué)用于研究自然與社會(huì)現(xiàn)象的方法主要有：機(jī)理分析——用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系；

統(tǒng)計(jì)分析——以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過(guò)大量觀測(cè)數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的第三種方法稱為系統(tǒng)分析，層次分析是系統(tǒng)分析的工具之一，它是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)教授

Saaty于70年代初期提出來(lái)的。它把人的思維過(guò)程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)方法為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量的依據(jù)。這是一種定性與定量相結(jié)合的方法。層次分析法數(shù)學(xué)用于研究自然與社會(huì)現(xiàn)象的方法主要有：機(jī)理分析19過(guò)河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過(guò)河效益層次結(jié)構(gòu)例1過(guò)河方案的抉擇過(guò)河的效益經(jīng)濟(jì)效益社會(huì)效益環(huán)境效益節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商20過(guò)河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過(guò)河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)過(guò)河的代價(jià)經(jīng)濟(jì)代價(jià)環(huán)境代價(jià)社會(huì)代價(jià)投入資金C1操作維護(hù)C2沖21一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中選擇旅游地.O(選擇旅游地)C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5交通P2黃山P1桂林P3張家界目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中22“層次分析法”思維過(guò)程的歸納?分層：將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。?加權(quán)：通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。?綜合：將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問(wèn)題的定量結(jié)果。“層次分析法”思維過(guò)程的歸納?分層：將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：23基本步驟①將問(wèn)題條理化、層次化。②比較同一層次元素對(duì)上一層次同一目標(biāo)的影響，從而確定它們?cè)谀繕?biāo)中所占的比重。采用兩兩比較的方法，求出它們對(duì)于同一個(gè)目標(biāo)的重要性的比例標(biāo)度，標(biāo)度等級(jí)為

1，2，…，9，1/2，1/3，…，1/9。得到兩兩比較判斷矩陣。，9，1/2，1/3，③在單一準(zhǔn)則下計(jì)算元素相對(duì)排序權(quán)重，以及判斷矩陣一致性檢驗(yàn)。④計(jì)算方案層中各元素對(duì)于目標(biāo)層的總排序權(quán)重，從而確定首選方案基本步驟①將問(wèn)題條理化、層次化。，9，1/2，1/3，24成對(duì)比較陣和權(quán)向量

元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度

設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性選擇旅游地A~成對(duì)比較陣是正互反陣要由A確定C1,…Cn對(duì)O的權(quán)向量成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要25

成對(duì)比較的不一致性不一致如果一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對(duì)比較的不一致性不一致如果一致允許不一致，但要確定26滿足的正互反陣A稱一致陣一致陣性質(zhì)?

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n?

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量?

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致的成對(duì)比較陣A，可用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即滿足的正互反陣A稱一致陣一致陣性質(zhì)?A的秩為1，A的唯一非27一致性檢驗(yàn)已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110定義一致性比率

CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過(guò)一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階28“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)

RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)29組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

權(quán)向量

w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第30第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1283.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1920.633430.6680.1660.1665w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110RI=0.58(n=3),

CIk

均通過(guò)一致性檢驗(yàn)方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為

(0.300,0.246,0.456)T第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.128331一般地，設(shè)x,y,z分別表示方案層、準(zhǔn)則層與目標(biāo)層，并已知?jiǎng)t記最終一般地，設(shè)x,y,z分別表示方案層、準(zhǔn)則層與目標(biāo)層，32二.層次分析法的若干問(wèn)題?正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？?怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？?為什么用特征向量作為權(quán)向量？?當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全時(shí)怎樣用層次分析法？二.層次分析法的若干問(wèn)題?正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)331.正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根是正單根，對(duì)應(yīng)正特征向量w，且正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。定理2

n階正互反陣A的最大特征根>

n,=n是A為一致陣的充要條件。一致性指標(biāo)定義合理1.正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1正矩陣A342.正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.0102.正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算353.特征向量作為權(quán)向量——成對(duì)比較的多步累積效應(yīng)成對(duì)比較Ci:Cj(直接比較）aij~1次比較強(qiáng)度aij(2)

~2次比較強(qiáng)度通過(guò)與所有Cs的比較，更能反映Ci對(duì)Cj

的強(qiáng)度。體現(xiàn)多步累積效應(yīng)定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)～k次比較強(qiáng)度3.特征向量作為權(quán)向量——成對(duì)比較的多步累積效應(yīng)成對(duì)比較C364.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)例:評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等設(shè)第2層對(duì)第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對(duì)第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計(jì)算第3層對(duì)第1層權(quán)向量w(3）的方法4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元37考察一個(gè)特例：

若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1?不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響仍用計(jì)算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T?用支配元素?cái)?shù)目n1,n2對(duì)w(2)加權(quán)修正再用計(jì)算w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T考察一個(gè)特例：38層次分析法的優(yōu)點(diǎn)▲系統(tǒng)性——將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策——系統(tǒng)分析（與機(jī)理分析、測(cè)試分析并列）；▲實(shí)用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問(wèn)題；▲簡(jiǎn)潔性——計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限▲囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；▲粗略——定性化為定量，結(jié)果粗糙；▲主觀——主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。層次分析法的優(yōu)點(diǎn)▲系統(tǒng)性——將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較39

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40數(shù)學(xué)建模

——從自然走向理性之路數(shù)學(xué)建模41

第十講

差分模型

及層次分析建模方法

【主要內(nèi)容】介紹市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型，減肥模型，層次分析方法【主要目的】了解差分方法及層次分析方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用第十講差分模型

及層次分析建模方法42差分模型

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型現(xiàn)象供大于求價(jià)格下降減少產(chǎn)量供不應(yīng)求價(jià)格上漲增加產(chǎn)量數(shù)量與價(jià)格在振蕩差分模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型現(xiàn)供大于求價(jià)格下降減少產(chǎn)量供不43問(wèn)題描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定？當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定？蛛網(wǎng)模型xk~第k

時(shí)段商品數(shù)量；yk~第

k時(shí)段商品價(jià)格問(wèn)描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什44需求函數(shù)：減函數(shù)供應(yīng)函數(shù)：增函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦

xk=x0，則

yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

fxy0x0y0P0g需求函數(shù)：減函數(shù)供應(yīng)函數(shù)：增函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y045xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x1xy0y0x0P0fgP3P1P2P4設(shè)x1偏離x0P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線斜率xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x46方程模型在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P047結(jié)果解釋考察,的含義xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量~消費(fèi)者對(duì)數(shù)量的敏感程度~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋考察,的含義xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~48經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)1.使盡量小，如=0

需求曲線變?yōu)樗揭孕姓侄慰刂苾r(jià)格不變2.使盡量小，如=0供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直以行政手段控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)1.使盡量小，如=0需求49背景

▲

多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持。

▲通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分析▲體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起▲飲食（吸收熱量）引起體重增加▲代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少減肥計(jì)劃—節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景▲多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持。50模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1公斤；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當(dāng)于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)1.5公斤，每周吸收熱量不要小于10000千卡。模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體51減肥計(jì)劃某甲體重100公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75公斤。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。第一階段：每周減肥1公斤，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)

2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。減肥計(jì)劃某甲體重100公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，52基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃

確定某甲的代謝消耗系數(shù)每周吸收20000千卡w=100公斤不變即每周每公斤體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收53

第一階段:w(k)每周減1公斤,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1公斤，第10周末體重90公斤吸收熱量為第一階段:w(k)每周減1公斤,c(k)減至下限10054

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤

基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤55第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75公斤。第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按562）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每公斤體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9基本模型t~每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))運(yùn)動(dòng)量

t=24(每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí)),共14周。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每公斤體重消573）達(dá)到目標(biāo)體重75公斤后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)3）達(dá)到目標(biāo)體重75公斤后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)58層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP）

數(shù)學(xué)用于研究自然與社會(huì)現(xiàn)象的方法主要有：機(jī)理分析——用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系；

統(tǒng)計(jì)分析——以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過(guò)大量觀測(cè)數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的第三種方法稱為系統(tǒng)分析，層次分析是系統(tǒng)分析的工具之一，它是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)教授

Saaty于70年代初期提出來(lái)的。它把人的思維過(guò)程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)方法為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量的依據(jù)。這是一種定性與定量相結(jié)合的方法。層次分析法數(shù)學(xué)用于研究自然與社會(huì)現(xiàn)象的方法主要有：機(jī)理分析59過(guò)河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過(guò)河效益層次結(jié)構(gòu)例1過(guò)河方案的抉擇過(guò)河的效益經(jīng)濟(jì)效益社會(huì)效益環(huán)境效益節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商60過(guò)河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過(guò)河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)過(guò)河的代價(jià)經(jīng)濟(jì)代價(jià)環(huán)境代價(jià)社會(huì)代價(jià)投入資金C1操作維護(hù)C2沖61一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中選擇旅游地.O(選擇旅游地)C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5交通P2黃山P1桂林P3張家界目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中62“層次分析法”思維過(guò)程的歸納?分層：將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。?加權(quán)：通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。?綜合：將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問(wèn)題的定量結(jié)果。“層次分析法”思維過(guò)程的歸納?分層：將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：63基本步驟①將問(wèn)題條理化、層次化。②比較同一層次元素對(duì)上一層次同一目標(biāo)的影響，從而確定它們?cè)谀繕?biāo)中所占的比重。采用兩兩比較的方法，求出它們對(duì)于同一個(gè)目標(biāo)的重要性的比例標(biāo)度，標(biāo)度等級(jí)為

1，2，…，9，1/2，1/3，…，1/9。得到兩兩比較判斷矩陣。，9，1/2，1/3，③在單一準(zhǔn)則下計(jì)算元素相對(duì)排序權(quán)重，以及判斷矩陣一致性檢驗(yàn)。④計(jì)算方案層中各元素對(duì)于目標(biāo)層的總排序權(quán)重，從而確定首選方案基本步驟①將問(wèn)題條理化、層次化。，9，1/2，1/3，64成對(duì)比較陣和權(quán)向量

元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度

設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性選擇旅游地A~成對(duì)比較陣是正互反陣要由A確定C1,…Cn對(duì)O的權(quán)向量成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要65

成對(duì)比較的不一致性不一致如果一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對(duì)比較的不一致性不一致如果一致允許不一致，但要確定66滿足的正互反陣A稱一致陣一致陣性質(zhì)?

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n?

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量?

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致的成對(duì)比較陣A，可用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即滿足的正互反陣A稱一致陣一致陣性質(zhì)?A的秩為1，A的唯一非67一致性檢驗(yàn)已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110定義一致性比率

CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過(guò)一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階68“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)

RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)69組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

權(quán)向量

w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第70第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1283.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1920.633430.6680.1660.1665w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110RI=0.58(n=3),

CIk

均通過(guò)一致性檢驗(yàn)方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為

(0.300,0.246,0.456)T第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.128371一般地，設(shè)x,y,z分別表示方案層、準(zhǔn)則層與目標(biāo)層，并已知?jiǎng)t記最終一般地，設(shè)x,y,z分別表示方案層、準(zhǔn)則層與目標(biāo)層，72二.層次分析法的若干問(wèn)題?正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？?怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？?為什么用特征向量作為權(quán)向量？?當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全時(shí)怎樣用層次分析法？二.層次分析法的若干問(wèn)題?正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)731.正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根是正單根，對(duì)應(yīng)正特征向量w，且正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。定理2

n階正互反陣A的最大特征根>

n,=n是A為一致陣的充要條件。一致性指標(biāo)