河南省三門峽市2021-2022學年高三上學期第一次大練習理科數(shù)學試題（含答案解析）

第19頁/共19頁2021—2022學年度高三第一次大練習理科數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式確定集合，求指數(shù)函數(shù)的值域得集合，交補由集合的運算法則計算．【詳解】由已知，，，所以．故選：D．2.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)則，然后代入原式得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程，解方程即可得到.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即，所以，解得，則.故選：B.3.甲?乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，兩組數(shù)據(jù)采用相同的分組方法，用和分別表示甲?乙的平均數(shù)，，分別表示甲?乙的方差，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由平均數(shù)和方差的定義和性質(zhì)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】平均數(shù)是每個矩形的底邊中點的橫坐標乘以本組頻率（對應(yīng)矩形面積）再相加，因為兩組數(shù)據(jù)采取相同分組且面積相同，故，由圖觀察可知，甲的數(shù)據(jù)更分散，所以甲方差大，即，故選：B.4.已知雙曲線的左?右焦點為，，過的直線交雙曲線左支于點和，若，且的周長為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求得的周長為，計算即可求得，進而求得結(jié)果.【詳解】,,即，的周長為：，由雙曲線的方程為，可知，解得：，的漸近線方程為：，故選：A.5.已知，，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，，與的交點橫坐標的大小問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法判斷，，的大小.【詳解】依題意，，，，在同一坐標系中分別作出，，，的大致圖象，如圖所示，觀察可知：.故選：D6.已知函數(shù)是奇函數(shù)且其圖象在點處的切線方程，設(shè)函數(shù)，則的圖象在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出切點坐標，即得解.【詳解】解：由已知得，，因為是奇函數(shù)，所以，又因為，所以，，所以的圖象在點處的切線方程為.故選：A7.已知命題“，”，命題“函數(shù)的定義域為”，若為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由真得求出的取值范圍，由真得，，求出的取值范圍，再取它們交集即可．【詳解】由，得，則，所以或由函數(shù)的定義域為，則，，所以a=0或因為為真命題，所以均真，則故選：A8.設(shè)數(shù)列和的前項和分別為，，已知數(shù)列的等差數(shù)列，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式計算得，故，，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求解即可?！驹斀狻拷猓河?，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以得解得所以．則，所以．所以數(shù)列的前項和，數(shù)列的前項和，則．故選：D9.已知函數(shù)（，）的最小正周期為，其最小值為，且滿足，則（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)最小正周期和最小值可求得；由已知得到關(guān)于點對稱，分別在和兩種情況下，利用整體代換的方式可構(gòu)造方程求得.【詳解】由最小正周期為，可得：．最小值，；，關(guān)于點對稱；若，則，，，，；若，則，，，，；綜上可得：．故選：B.10.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式化簡計算即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，則，又，，故，又，解得：，所以：.故選：C.11.已知，若當時，總有，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，由已知條件可知函數(shù)為減函數(shù)，即在恒成立，解不等式可得，即可求得的最大值.【詳解】由，可得，，則，即，化簡可得：，設(shè)，，，，為減函數(shù)，則在恒成立，由，解得：，的最大值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：將已知條件變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵.12.已知的內(nèi)角，，滿足，則在的外接圓內(nèi)任取一點，該點取自內(nèi)部的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由余弦和、差角公式將條件化簡可得，由正弦定理結(jié)合三角形的面積公式得出，由幾何概率公式可得答案.【詳解】由可得所以由正弦定理可得，其中為的外接圓的直徑.所以,在的外接圓內(nèi)任取一點，該點取自內(nèi)部的概率為故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用余弦的和、差角公式化簡，利用正弦定理結(jié)合三角形的面積公式求三角函數(shù)面積以及幾何概率問題，解答本題的關(guān)鍵是先化簡條件得出，再由正弦定理得出，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若向量，的夾角為，，，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和模的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】因為，所以.故答案為：.14.隨著近年來中國經(jīng)濟?文化的快速發(fā)展，越來越多的國外友人對中國的自然和人文景觀表現(xiàn)出強烈的興趣.一外國家庭打算明年來中國旅行，他們計劃在北京?上海?浙江?四川?貴州?云南6個地方選3個去旅行，其中北京和上海至少選一個，則不同的旅行方案種數(shù)為___________.(用數(shù)字作答)【答案】16【解析】【分析】由題意利用組合、組合數(shù)公式，分類討論，計算求得結(jié)果.【詳解】若北京和上海只選一個，則方法共有種，若北京和上海都選，則方法共有種，所以北京和上海至少選一個，則不同的旅行方案種數(shù)為種.故答案為:16.15.已知橢圓的右焦點為，直線與交于，兩點，若，則橢圓的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】先不妨設(shè)的坐標，再求出到直線的距離為，利用等腰三角形的性質(zhì)，列出，解出即可.【詳解】根據(jù)題意，把代入中，得，不妨設(shè)，且，則到直線的距離為，由，得，則，平方計算得.故答案為：.【點睛】思路點睛：1.不妨設(shè)的坐標，再求出到直線的距離為，2.為等腰三角形，且，列出，解出.16.已知函數(shù)的最小值為，函數(shù)的零點與極小值點相同，則___________.【答案】【解析】【分析】求，由可得的值，求，討論、、，判斷的最值及的單調(diào)性，求出的極小值點，由極小值等于即可得的值即可求解.【詳解】由可得，因為的最小值為，所以是的極值點，所以，所以；當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)無極小值點，不符合題意；由可得，令，可得或，當時，，由可得或；由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值點為，由題意可得，解得，此時；當時，當時，，不合題意；所以.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角的對邊分別為，已知（1）求角;（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用三角公式得到，即可求出.（2）由求出，利用余弦定理求得a，利用正弦定理即可求得.【詳解】（1）由可得，即，故，因為，所以，所以，所以.（2）由可得，即，又知由余弦定理得，故.從而由正弦定理得.18.某職業(yè)培訓學?，F(xiàn)有六個專業(yè)，往年每年各專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率（直接就業(yè)的學生人數(shù)與招生人數(shù)的比值）統(tǒng)計如下表：專業(yè)機電維修藝術(shù)舞蹈汽車美容餐飲電腦技術(shù)美容美發(fā)招生人數(shù)就業(yè)率（Ⅰ）從該校往年學生中隨機抽取人，求該生是“餐飲”專業(yè)且直接就業(yè)的概率；（Ⅱ）為適應(yīng)人才市場的需求，該校決定明年將“電腦技術(shù)”專業(yè)的招生人數(shù)減少，將“機電維修”專業(yè)的招生人數(shù)增加，假設(shè)“電腦技術(shù)”專業(yè)的直接就業(yè)人數(shù)不變，“機電維修”專業(yè)的就業(yè)率不變，其他專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率都不變，要使招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率比往年提高個百分點，求的值．【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意求得往年每年的招生人數(shù)為，進而求得“餐飲”專業(yè)直接就業(yè)的學生人數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解；（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，求得往年全校整體的就業(yè)率，根據(jù)招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率，列出方程，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，該校往年每年的招生人數(shù)為，“餐飲”專業(yè)直接就業(yè)的學生人數(shù)為，所以所求的概率為．（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，可得往年各專業(yè)直接就業(yè)的人數(shù)分別為，，，，，，往年全校整體的就業(yè)率為，招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率為，解得．19.已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，然后得到即可；（2）可得，然后可算出，然后可求出答案.【詳解】（1）由可得，于是，即，而，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以.（2）由（1）知，所以.因為，所以，因此.20.已知拋物線，過點的直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，且.（1）求拋物線的方程；（2）若線段的中點為，的中垂線與的準線交于第二象限內(nèi)的點，且，求直線與軸的交點坐標.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達定理，代入，得出答案.

(2)由（1）中得出的韋達定理結(jié)合的值，先用表示出的長度，得出點的坐標，得出的中垂線的方程，進一步得出點的坐標，從而用表示出的長度，由條件求出的值，從而可得答案.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，，，由，得，于是.所以，即，故拋物線的方程為.（2）由（1）可得，顯然.則，，所以，點，即.從而直線的方程為，令，可得點，所以，由，得，得，所以.所以的方程為，因此直線與軸的交點坐標為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積求拋物線的方程，根據(jù)弦長公式求直線的方程，解答本題的關(guān)鍵是由條件表示出,以及，從而得到直線的方程為，進一步得出，得出,屬于中檔題.21已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若，證明：.【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出函數(shù)的極值；（2）根據(jù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，可得，得，兩式相減得，兩式相加得，欲證，即證，即證，即證，即證，令，，求出函數(shù)的最大值即可得證.【詳解】（1）解：當時，定義域為，，由得；由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的極小值為，無極大值；（2）證明：由題意得.當時，，則函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)最多一個零點，與題意相矛盾；當時，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，兩式相減得，兩式相加得，欲證，即證，即證，即證，即證令，，則，在上單調(diào)遞增，，，所以.【點睛】本題考查了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及最值問題，還考查了不等式的證明問題，考查了計算能力、數(shù)據(jù)分析能力及邏輯推理能力，考查了分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，難度較大.（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)且)，與坐標軸交于，兩點.（1）求；（2）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求外接圓的極坐標方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由參數(shù)方程得出的坐標，最后由兩點間距離公式，即可得出的值；（2）由的外接圓的圓心為的中點，半徑為，得出圓的普通方程，再化為極坐標方程即可.【詳解】（1）令，因為，所以，將代入，得與軸的交點為.令，因為，所以，代入得與軸的交點為.所以.（2）由（1）知，的外接圓的圓心為的中點，半徑為，所以其直角坐標方程為，即，所以極坐標方程為，即.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集