概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：第1章 概率論的基本概念2

概率度量了隨機事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。概率是什么？？§3頻率與概率(一)頻率

在相同條件下,進行了n次試驗,在這n次試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率,并記成fn(A).

由定義,易見頻率具有下述基本性質(zhì):

1,0fn(A)1;2,fn(S)=1;

3,若A1,A2,...,Ak是兩兩互不相容的事件,即對于ij,AiAj=,i,j=1,2,...,k,則

fn(A1A2...Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(Ak).歷史上的擲硬幣試驗試驗者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德摩根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005概率的統(tǒng)計定義在相同的條件下，重復(fù)進行n次試驗，若事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定在某個常數(shù)p(0p1)附近擺動，則稱p為事件A發(fā)生的概率，記為p(A).

投籃命中率種子發(fā)芽率產(chǎn)品合格率

頻率穩(wěn)定于概率降水概率60%

在天氣預(yù)報覆蓋的地區(qū)內(nèi)，60%的地區(qū)將有降水?

在天氣預(yù)報的時間范圍內(nèi)，60%的時間將有降水?

在完全相同的大氣條件下，歷史上那些天中有60%發(fā)生了降水。(二)概率

設(shè)E是隨機試驗,S是它的樣本空間,對于E的每一事件A賦予一個實數(shù),記為P(A),稱為事件A的概率,如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件:

非負性:對于每一個事件A,有P(A)0;

規(guī)范性:對于必然事件S,有P(S)=1;

可列可加性:設(shè)A1,A2,...是兩兩互不相容事件,

即對于ij,AiAj=f,i,j=1,2,...,則有

P(A1A2...)=P(A1)+P(A2)+... (3.1)

由概率的定義可推得概率的一些重要性質(zhì).性質(zhì)1

P(f)=0性質(zhì)2(有限可加性)若A1,A2,...,An是兩兩互不相容的事件,則有

P(A1A2...An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)事件解釋為區(qū)域概率解釋為區(qū)域面積性質(zhì)3設(shè)A,B是兩個事件,若AB,則有

P(B-A)=P(B)-P(A)

P(B)P(A) SBA性質(zhì)4對于任一事件A,P(A)1性質(zhì)5(逆事件的概率)

對任一事件A,有性質(zhì)6(加法公式)對任意兩事件A,B有

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).

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§4等可能概型（古典概型）

E1:拋一枚硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況,

E4:擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),

它們具有兩個共同的特點:

1,試驗的樣本空間只包含有限個元素;

2,試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.

具有上面兩個特點的試驗稱為等可能概型,也稱為古典概型.12

設(shè)試驗的樣本空間為S={e1,e2,...,en}.由于在試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同, P({e1})=P({e2})=...=P({en}).

P({e1}{e2}...{en})

=P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei})

=P(S)=113若事件A包含k個基本事件,即這里i1,i2,...,ik是1,2,...,n中某k個不同的數(shù).分類加法計數(shù)原理第一類方法有m1種

……第n類方法有mn

種做一件事共有n類方法分步乘法計數(shù)原理第一步有m1

種方法

……第n步有mn

種方法做一件事共有n個步驟當k=n時，稱為全排列，從n個不同的元素中,任取k個元素,按照一定的順序排成一列,全部排列的個數(shù)為從n個不同的元素中,任取k個元素并成一組，全部組合數(shù)為一個盒子中有5個球，其中4個白球，1個紅球。從中任取一個，求取到紅球的概率。S={紅，白}不具備等可能性將每一種取法看做一個基本事件白1白2白3白4紅S={白1,白2,白3,白4,紅}A={紅}20例2一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機地取一只.考慮兩種取球方式:

(a)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回抽樣.

(b)第一次取一球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽樣,例2一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機地取一只.在放回抽樣的方式下求

(1)取到的兩只球都是白球的概率;

(2)取到的兩只球顏色相同的概率;

(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.解：設(shè)A為事件“取到的兩只球都是白球”

B為事件“取到的兩只球都為紅球”;

C為事件“取到的兩只球中至少有一只是白球”22例5袋中有a只白球,b只紅球,k個人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,求第i(i=1,2,...,k)個人取到白球(記為事件Bi)的概率(ka+b).解

(1)放回抽樣的情況,顯然有23例3將n只球隨機地放入N(Nn)個盒子中去,試求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限).

解記A為事件“每個盒子至多有一只球”

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許多問題和本例有相同的數(shù)學(xué)模型.例如,將n個人(球)隨機地放入365個日期(盒子)中,他們的生日各不相同的概率為因而,n個人中至少有兩人生日相同的概率25經(jīng)計算可得下述結(jié)果:n20233040p0.4110.5070.7060.891n5064100p0.9700.9970.999999726例4設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有D件次品,今從中任取n件,問其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?(4.2)式即所謂超幾何分布的概率公式.課堂練習P256題例：某班級有100名學(xué)生，見下表。男女合計深圳12921外地681179合計8020100§5解：記B為事件“學(xué)生來自深圳”，

男女合計深圳12921外地681179合計8020100(1)從中任取一名學(xué)生，求這名學(xué)生來自深圳的概率。(2)從中任取一名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)為男生，求這名學(xué)生來自深圳的概率。記B=“學(xué)生來自深圳”，A=“學(xué)生為男生”，現(xiàn)在這個問題所求的概率是在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B|A)。相應(yīng)，把P(A)、P(B)等稱為無條件概率。(2)從中任取一名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)為男生，求這名學(xué)生來自深圳的概率。解：B為事件“學(xué)生來自深圳”A為事件“學(xué)生為男生”

男女合計深圳12921外地681179合計802010032對于一般古典概型問題,設(shè)試驗的基本事件總數(shù)為n,A所包含的基本事件數(shù)為m(m>0),AB所包含的基本事件數(shù)為k,即有A合計Bk合計mn稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。

一般地，設(shè)A、B是S中的兩個事件，若P(A)>0，則

條件概率的定義34例2

一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品,從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.

設(shè)事件A為"第一次取到的是一等品",事件B為"第二次取到的是一等品".試求條件概率P(B|A).“條件概率”和“概率”條件概率P(|A)符合概率定義中的三個條件,非負性:對任一事件B,有P(B|A)0；規(guī)范性:對于樣本空間S,有P(S|A)=1；可列可加性:設(shè)B1,B2,...是兩兩互斥事件，?36乘法定理

設(shè)P(A)>0,則有

P(AB)=P(A)P(B|A)

(5.3)設(shè)P(AB)>0,推廣：

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)一般地,設(shè)A1,A2,...,An為n個事件,n2,且P(A1A2...An-1)>0,則有

P(A1A2...An)=P(A1)P(A1|A2)...

P(An-1|A1A2...An-2)P(An|A1A2...An-1)(5.5)37例3設(shè)袋中裝有r只紅球,t只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色后放回,并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球兩次,試求第一,二次取到紅球的概率.

解以Ai(i=1,2)表示事件"第i次取到紅球",38例4某種透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下來未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.

解

以Ai(i=1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”例5某電子設(shè)備廠所用元件由三家元件廠供給,根據(jù)以往紀錄有以下數(shù)據(jù):設(shè)這三廠產(chǎn)品在倉庫中混合擺放無區(qū)別標志在倉庫中任取一只元件,求它是次品的概率.制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05解以A表示事件“取到的是次品”以Bi（i=1,2,3）表示事件“取到的產(chǎn)品由第i家工廠生產(chǎn)”制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05定義設(shè)S為試驗E的樣本空間,B1,B2,...,Bn為E的一組事件,若

(1)BiBj=f,ij,i,j=1,2,...,n;

(2)B1B2...Bn=S,

則稱B1,B2,...,Bn為樣本空間的一個劃分.

定理

設(shè)試驗E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則(5.6)式稱為全概率公式.解以A表示事件“取到的是次品”以Bi（i=1,2,3）表示事件“取到的產(chǎn)品由第i家工廠生產(chǎn)”制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05如果已取到一只次品,求它由1廠生產(chǎn)的概率.定理

設(shè)試驗E的樣本空間為S.A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則

上式稱為貝葉斯公式。乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.例7

對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當機器調(diào)整得良好時,產(chǎn)品的合格率為98%,而當機器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上調(diào)整良好的概率為95％.

試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時,機器調(diào)整良好的概率是多少?解

設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”,

B為事件"機器調(diào)整良好"25頁作業(yè):3(1)(3)5，8，14

可思考9題§6獨立性

直觀角度，

A是否發(fā)生和B是否發(fā)生互不影響。

袋中有3只白球,1只紅球,兩個人依次在袋中取一只球,作放回抽樣;

以A表示第一個人抽到紅球；

以B表示第二個人抽到紅球

概率論角度，

P(B|A)=P(B)

P(A|B)=P(A)定義設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B), (6.1)

則稱事件A,B相互獨立,簡稱A,B獨立.

A、B相互獨立A、B互不相容若P(A)>0,P(B)>0則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立.P(AB)=P(A)P(B)

AB=f定理一設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,若A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B)反之亦然.AB

獨立B的對立事件A的對立事件定義設(shè)A,B,C是三個事件,如果滿足等式

則稱事件A,B,C