數(shù)列復(fù)習(xí)講義

精銳教育參訓(xùn)教師講義科目：高中數(shù)學(xué)參訓(xùn)教師：劉春影適用對象：教師年級：高三適合程度：(中等)課時：(6)X40min課題數(shù)列重點題型復(fù)習(xí)授課時間宋體五號不加粗教學(xué)目標(biāo)體統(tǒng)掌握數(shù)列中通項公式和前n項和求法，了解數(shù)列的應(yīng)用并解決數(shù)列綜合題。教學(xué)內(nèi)容【考試要求】考試內(nèi)容考試要求AB}C等差數(shù)列的通項公式V等差數(shù)列前n項和公式V等比數(shù)列的通項公式V等比數(shù)列前n項和公式V【知識梳理】知識點1一、數(shù)列的通項的求法公式法：①等差數(shù)列通項公式a—a+(n—l)d:n1②等比數(shù)列通項公式a=aqn-i.n1[S(n=1)作差法:已知S(即a+a++a=f(n))求a用作差法：a=<1.n12nnnIs—S,(n>2)nn—1ff(1),(n=1)3?作商法：已知a-a--a=f(n)求a用作商法：a=彳f(n)(n、2).12nnn一,(n么2)If(n-1)4.疊加法:若a—a=f(n)求a用疊加法.n+1nn5?疊乘法：已知U=f(n),求a用疊乘法.ann6.構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：①形如a=ka+b,a=ka+bn,a=ka+a-n+b(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定nn—1nn—1nn—1系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求a.②形如a=」nL的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法”求通項.nka+bn—1、數(shù)列求和的方法1、公式法：等差數(shù)列求和公式:等比數(shù)列求和公式;=n(a+U或S=na+丄n(n-1)d=+a--等差數(shù)列求和公式:等比數(shù)列求和公式;naia(1—naia(1—qn)(q=1)a—aq1n(q豐1)1—q2、分組求和法:若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和，可將其分成幾部分來求3、倒序相加法:此方法源于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，目的在于利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取，以便化簡后求和.n4、錯位相減法:源于等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，對于形如｛ab｝的數(shù)列，其中｛a｝nnnn為等比數(shù)列，均可用此法.5、裂項相消法:如果一個數(shù)列的每一項都能化為兩項之差，而前一項的減數(shù)恰與后一項的被減數(shù)相同,一減一加，中間項全部相消為零，那么原數(shù)列的前n項之和等于第一項的被減數(shù)與最末項的減數(shù)之差.多用于分母為等差數(shù)列的相鄰k項之積，且分子為常數(shù)的分式型數(shù)列的求和.公式：1公式：1+2+3++n=丄n(n+1)；212+22+32++n2=1n(n+1)(2n+1)；613+13+23+33++n3=[]2；21+3+5++n=n2；常見裂項公式：」n(n常見裂項公式：」n(n+1)nn+11—)；1=丄[—ii];n(n+k)knn+kn(n一1)(n+1)2n(n+1)(n+1)(n+2)常見放縮公式：2(ln+1i.n)=知識點2一、等差或等比數(shù)列的證明判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:1、定義法:對于nM2的任意自然數(shù)，驗證a一a(a/a)為同一常數(shù)。nn—1nn—12、通項公式法：若(n-i)d二％+(n-k)d，則｛a｝為等差數(shù)列；n｝卩一］_ju_若，則｛a｝為等比數(shù)列。n3、中項公式法：驗證2性=占+包七3規(guī)+1_碣碼+2)耳EN都成立。知識點3一、數(shù)列的應(yīng)用1、“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細心計算

“年限”?對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決⑵利率問題：>①單利問題：如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：若每期存入本金P元，每期利率為r，則n期后本利和為：S=p(1+r)+p(1+2r)“年限”?對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決⑵利率問題：>①單利問題：如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：若每期存入本金P元，每期利率為r，則n期后本利和為：S=p(1+r)+p(1+2r)+p(1+nr)=p(n+n(n+?r)(等差數(shù)列問題)；n2②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款)P元，采用分期等額還款方式,從借款日算起，一期(如一年)后為第一次還款日，如此下去，分n期還清?如果每期利率為r(按復(fù)利)，那么每期等額還款X元應(yīng)滿足：p(1+r)n=x(1+r)n—1+x(1+r)n-2++x(1+r)+x(等比數(shù)列問題).【精講精練】【例題□★★(2011東城二模文)已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S，且S二4a-3(ngN*)。(I)證明:數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列;n(II)若數(shù)列｛b｝滿足b二a+b(ngN*),nn+1nn且管2，求數(shù)列｛bn｝的通項公式.【考點】等比數(shù)列通項與前n項和公式【分析】根據(jù)a與s的關(guān)系可求得a，nnn繼而代入已知條件中即可得到關(guān)于數(shù)列缶｝的遞推關(guān)系n式，再利用疊加法求得通項。【解答】解：(I)證明：由S=4a一3，n=1時，a=4a一3，解得a=1nn111則S=4a—3(n>2)，n—1n—1因為S=4a—3，nn所以當(dāng)n>2時，a—S=4a—4a，n—1nn—14整理得an=詐—1-所以｛a｝是首項為n1,公比為4的等比數(shù)列.(II)因為a=(3)n-1，由b=a+b(ngN*)，得b—b=(一)n-1.n+1nnn+1n3當(dāng)n>2時，有4b一b=(―)n-2

nn-1-?=n-?=n-2)n-3b1=(-)0可得b=b+(b一b)+(b一b)++(b一b)n12'132nn-1I-(3)n-14=2+―—=3(-)n-1-1，(n>2),1--33當(dāng)n=1時，冬=2，也滿足上式,n~1n~1-1。所以數(shù)列｛b｝的通項公式為b=nn【點評】本題主要考察用作差法和疊加法求數(shù)列通項的技巧，要注意n=1時的情況，必要時分段書寫?！眷柟獭俊俊铩铩飻?shù)列｛a｝的前n項和S=1+ra（r為不等于0,1的常數(shù)），求其通項公式a。TOC\o"1-5"\h\znnnn【考點】數(shù)列通項求法【分析】可利用a與s的關(guān)系可求得通項公式a。nnnn一a)，n-1，a(r-1)=ra,nn-1r「口n一a)，n-1，a(r-1)=ra,nn-1r「口，nnn-1n-1S一S=r(a一a)，nn-1nn-1a=ra一rannn-1a?/r豐1,.—an-1r???r豐0，.{a}是公比為的等比數(shù)列.nr-1又當(dāng)n=1時，1+巴,【點評】本題復(fù)習(xí)作差法求通項公式，注意題中字母的范圍，必要時要分類討論。

【例題2]★★設(shè)｝是首項為1的正項數(shù)列，且滿足（n+l【例題2]★★設(shè)｝是首項為1的正項數(shù)列，且滿足（n+l）a2-na2+aa二0（n&N*）,nn+1nn+1n則它的通項公式a=.n【考點】數(shù)列通項公式的求法?！痉治觥炕喴阎獥l件中給出的遞推公式，通過疊乘等式，得到通項。【解答】解：由(n+1)a2-na2+a?an+1nn+1n=0，得[(n+1)a-na]?(a+a)=0.n+1nn+1n由an>0，得a,+a豐°,1a(n+1)a-na二0，即;nn+1anan—1a—n—1an—2將以上n-1個式子疊乘,1因為a廣1，所以an=齊【點評】形如a二a?/（n）（n2nn—12）的遞推數(shù)列求通項適用此法?！纠}3]^★★數(shù)列L｝，首項為a，滿足a二Aa+B（A豐1），求通項公式a。n1n+1nn【考點】數(shù)列通項公式的求法?！痉治觥空碜冃芜f推公式，構(gòu)造新數(shù)列，再利用整體代換方法求得通項?！窘獯稹拷猓涸O(shè)存在一實數(shù)九，又因為解：設(shè)存在一實數(shù)九，又因為a=Aan+1n由a—九二A(an+1.滿足a—九一A（a—九），即a—Aa+九（1—A）.n+1nn+1nB+B，所以，九（1-A）—B即：九—1-A—九）可知數(shù)列—九｝是首項為a—九，公比為A的等比數(shù)列。n1B故a—九二(a—九)An-1，即a—(a—九)An-1+九.代入九—得:n1n1°1——A

(ai)A(ai)An-1+1-AB1-A【點評】注意此類問題中可用待定系數(shù)法求出九?！眷柟?】★★根據(jù)下面各個數(shù)列匕｝的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式。n⑴a二=1,a二二a+2n(neN*)1n+1⑵a二=1,a二a(neN*)1n+1n+1n⑶a二=1,a二1a+1(neN*)1n+12n【考點】數(shù)列通項公式的求法?！痉治觥扛鶕?jù)不同遞推公式的特點，依次選擇用疊加、疊乘、構(gòu)造法求得各個通項。【解答】解：（1）Ta=a+2n，?.a—a=2n，n+1nn+1n..=1+2x1+2x2+?…+2x(n—1)—a)n—1=1+nx(n-1)=n2-n+1a(2)Tf!ana(2)Tf!an又由題意可知，(n+1)aan—an—1n+1na=(n—1)a=nn-1a=a?—1a1-=na對一切自然數(shù)n成立,1a=—nn-2=An-2=An一2）「.｛a-2｝是首項為％-2=-1公比為■的等n12ta=a+1aTOC\o"1-5"\h\zn+12nn+1比數(shù)列，「a-2=-1?()n-1,.a=2-([)n-1n2n2【點評】本例復(fù)習(xí)求通項公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法?！纠}4】卄求數(shù)列2丄,4丄,6丄，,2n+丄，…的前n項和S.48162n+1n【考點】分組法數(shù)列求和?！痉治觥看藬?shù)列的通項公式是a=2n+，而數(shù)列｛2n｝是一個等差數(shù)列，數(shù)列］|是一個n2n+1I2n+1I數(shù)列，故采用分組求和法求解.【解答】

解：S=(2解：S=(2+4+6++2n)+n(1111、——+——+——++(2223242n+1丿=n(n+1)+---—22n+1如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別【點評】在求和時，一定要認真觀察數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和.如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別【例題5】*★數(shù)列匕｝為等差數(shù)列，試證明數(shù)列的前n項和H2n【考點】等差數(shù)列求和方法?！痉治觥坷玫炔顢?shù)列的性質(zhì)，倒序相加求和?！窘獯稹孔C明：由題意得：&P1+曲+込+…+磚與+気-嚴遍，即兩式左右分別相加，得2&二佃+理）+（旳+%）+仏+叭…+龜）+仏十叭）由等差數(shù)列性質(zhì)可知：a+a-a+a-…=a+a-a+a1n2n-1n-12n1所以，2書廣也仙+時）s_挖（口］7）于是有：?這就是倒序相加法.【點評】倒序相加法主要適用于等差數(shù)列求和。na（q=1）【例題6】*★數(shù)列L｝為等比數(shù)列，試證明數(shù)列的前n項和s=］a（1-qn）nn—1（q豐1）li-q【考點】等比數(shù)列求和方法?！痉治觥糠诸愑懻?，當(dāng)公比不為1時用錯位相減法求和?！窘獯稹孔C明：設(shè)等比數(shù)列匕｝首項為a］，公比為q，則TOC\o"1-5"\h\zn1當(dāng)q=1時，a=a=…a，所以s=na12nn1當(dāng)q主1時，a=aqn-1n1s=a+aq+aq2hfaqn-2+aqn-1①n11111qs=aq+aq2ffaqn-2+aqn-1+aqn②n11111①-②得：(1-q)s二a(1-qn)，又因為q豐1，所以s二?)1n1—qna(q=1)a(1—qn)(亠1)1(q豐1)1-q【點評】用錯位相減法求和時要注意公比qH1。【變式】】★★設(shè)數(shù)列ta｝滿足a二n3n，neN，求其前n項和s。nnn【考點】錯位相減法求和方法的應(yīng)用。【分析】仿照等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法進行錯位相減求數(shù)列和?！窘獯稹拷猓河深}意得：s—3+2x32+3x33+?…+n3nn3s—32+2x33ff(n—l)3n+n3n+1n②-①得：TOC\o"1-5"\h\z2s—n3n+1—(3+32+33++3”)n—n3n+11—n3n+11-3所以，s-竺罟+344【點評】形如｛ab｝的數(shù)列，其中｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝為等比數(shù)列，均可用此法.nnnn【例題7】(2010山東卷理)已知等差數(shù)列｛a｝滿足：a—7，a+a—26，｛a｝的前n項n357n和為S.n(I)求a及S；nn(II)令b二1(nGN*)，求數(shù)列｛b｝的前n項和T.(II)令b二1(nGN*)，求數(shù)列｛b｝的前n項和T.na2—1nnn【考點】等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用。【分析】(根據(jù)等差數(shù)列通項公式并結(jié)合已知條件求岀a存口d，從而可得到通項及S，在求岀b,1nn并根據(jù)其通項形式特點進行裂項求和?！窘獯稹拷猓?【)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，因為a3-7，a5+叮26,所以有a+2d=712a+10d=26J1，解得a=3,d=2,1所以a—3+2(n—1)=2n+1；nS=3n+n(n-1)nx2二n2+2n。2(11)由(I)知a=2n+1,n所以b111I===na2-1(2n+1)2-14n^1111所以Tn=4-(1-2+2—3++丄-丄)=--(1-丄)=n—nn+14n+14(n+1)即數(shù)列｛b｝的前n項和Tnnn4(n+1).35求+++1212+2212+22+32【考點】裂項相消求和法的應(yīng)用?！痉治觥渴紫葘?shù)列的通項公式化簡，然后注意到它可寫成兩項的差，在求和的過程中，中間的項互抵消了，從而可求岀原數(shù)列的前n項和.+——(neN*)的和.12+22++n2【點評】熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識及常用裂項公式是解答好本類題目的關(guān)鍵?！咀兪健俊俊铩铩镆阎?2+22++n2=-n(n+1)(2n+1),67【解答】解:2n+12n+16a—————n12+22++n21n(n+1)(2n+1)n(n+1)6==6=61=611++_1x22x31\f11]1—-++v2丿V23丿Sn1+n(n+1)_11

+————nn+1(1)=61———vn+1丿=lnn+1【點評】注意裂項公式的變形?！纠}8】*★★已知數(shù)列L｝中，S是其前n項和，并且S=4a+2(n=1,2,),a=1,TOC\o"1-5"\h\znnn+1n1(1)設(shè)數(shù)列b=a-2a(n=1,2,)，求證：數(shù)列￡｝是等比數(shù)列；nn+1nn[⑵設(shè)數(shù)列c=仝,(n=1,2,……)，求證：數(shù)列：｝是等差數(shù)列；n2nn【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定?！痉治觥坑捎冢鸼｝和仏｝中的項都和｛a｝中的項有關(guān)，｛a｝中又有S=4a+2,可由S-Snnnnn+1nn+2n+1作切入點探索解題的途徑.【解答】解：(1)由s=4a+2得：s=4s+2，兩式相減，得a=4a+4a即：TOC\o"1-5"\h\zn+1nn+2n+1n+2n+!na—2a=2(a—a)，又b=a一2a，所以b=2b①n+2n+!n+!nnn+1nn+!n已知s=4a+2,a=1,解得a=5,b=a—2a=3②2112121由①和②得，數(shù)列缶｝是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3-2n-1nna(2)因為c=才(ngN),n2naaa一2ab3-2n—13C—C=——n=—n+4n=n—==—所以n+1n2n+12n2n+12n+12n+!4又C=才=，股數(shù)列：｝是首項為石，公差為^■的等差數(shù)列，即C=n~~122n24n44【點評】定義法是證明等差數(shù)列和等比數(shù)列最常用的方法，但要注意n=1時的情形?！纠}9】*★用分期付款的方式購買家電一件，價格為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若從交付150元后的第一個月開始算分期付款的第一月，問分期付款的第10個月該交付多少錢全部貸款付清后，買這件家用電器實際花費多少錢【考點】數(shù)列的應(yīng)用(分期付款模型)【分析】購買時交付150元后，還欠款1000元，按題意應(yīng)分20次付清.由于每次都必須交50元，外加上所欠余款的利息，這樣每次交付欠款的數(shù)額順次構(gòu)成一數(shù)列.【解答】解：設(shè)每次交付欠款的數(shù)額依次為a,a,,a，則1220a=50+1000x1%=60(元),1a二50+(1000—50)x1%二59.5，2&1F9a=50+(1000—9x50)x1%=55.5(元)，即第10個月應(yīng)付款元.10由于｛a｝是以60為首項，以—0.5為公差的等差數(shù)列，n所以有60+(60-19xOh)x20=1105(元).202即全部付清后實際共付款1105+150=1255(元).【點評】采用分期付款的方法，購買售價為a元的商品(或貸款a元)，每期付款數(shù)相同，購買后1個月(或1年)付款1次，過1個月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付?款后全部付清.如果月利率(或年利率)為b,那么每期付款x元滿足下列關(guān)系：不按復(fù)利計息時為a(1+nb)=x｛1+(1+b)+(1+2b)++[1+(n—l)b]｝，按復(fù)利計息時為a(1+b)n=x[1+(1+b)+(1+b)2++(1+b)n-1]，化簡，得x[(1+b)n—1]=ab(1+b)n.【同步測控】練習(xí)1、求下列數(shù)列的前n項和S:n(1)5,55,555,5555,5(10n-1),(3)1(1)5,55,555,5555,5(10n-1),(3)111^393^51n(n+2)_1nn+Mn+1TOC\o"1-5"\h\za,2a2,3a3,,nan,；1x3,2x4,3x5,,n(n+2),sin21+sin22+sin23++sin289.練習(xí)2、(2011朝陽二模理)已知數(shù)列｛a｝滿足a_2，且aa+a—2a_0,neN*，則a_n1n+1nn+1n2;并歸納岀數(shù)列｛a｝的通項公式ann/練習(xí)3、設(shè)二次方程ax2—ax+1_0(neN)有兩根a和卩，且滿足6a—2a卩+6卩_3nn+1⑴試用an表示an+1；⑵求證：h—3＞是等比數(shù)列;⑶當(dāng)a1_時，求數(shù)列ta｝的通項公式。16n【精銳小測】測試1、an+測試1、an+1_-2L7，b_

a+1nna+2—n—a—1n，neN*，則數(shù)列｛b｝的通項公式bnOO測試2、已知數(shù)列｛a｝的通項公式a_—2n+11，如果b_a|(neN)，求數(shù)列｛｝的前n項和。nnnnn測試3、(2011遼寧卷理)已知等差數(shù)列｛a｝滿足a=0,a+a=-10n268(I)求數(shù)列｛a｝的通項公式;n(H)求數(shù)列〔2—^的前n項和.66【參考答案】【同步測控答案】n個5n個練習(xí)1、解：(1)S=5+55+555++555=-(9+99+999++999)n9=9[(10—1)+(102—1)+(103—1)++(10n—1)]=9[10+102+103++10n-n]=8>--9n?(2)???=2(-—-),n(n+2)2nn+2???S=-[(1—-)+(-—-)+(-—-)++(丄一丄)]=-(1+-—丄一^).n232435nn+222n+1n+2<n+1—、[n⑶n4—+Jn+1(傷+Jn+1)(Jn+1-麻)?:Sn=72+^+^?2+=(、迂—1)+(爲(wèi)—、；:2)++(、：n+1—\n)=\n+1一1.⑷S=a+2a2+3a3++nan,n當(dāng)a=1時，Snn(n+1)=1+2+3+…+n=2當(dāng)a豐1時，Sn=a+2a2+3a3+fnan,aSn=a2+2a3+3a4+—fnan+1,兩式相