2020版高考數(shù)學(浙江專用版)新增分大一輪課件：第八章立體幾何與空間向量84

大一輪復習講義§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)第八章立體幾何與空間向量大一輪復習講義§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)第八章立1NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析課時作業(yè)NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎知識自主學習題21基礎知識自主學習PARTONE1基礎知識自主學習PARTONE3知識梳理1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理ZHISHISHULIl∥aa?αl?α

文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與

的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的____與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)?l∥b此平面內(nèi)交線l∥al?βα∩β＝b知識梳理1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理ZHISHISHUL2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條

與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)?α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面

，那么它們的____平行?a∥b相交直線相交交線α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝bα∥βb∥βa∩b＝Pa?αb?α2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判1.一條直線與一個平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎？【概念方法微思考】提示不都平行.該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面.1.一條直線與一個平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平面平行嗎？提示平行.可以轉(zhuǎn)化為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”，這就是面面平行的判定定理.2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.(

)(2)平行于同一條直線的兩個平面平行.(

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(

)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(

)基礎自測JICHUZICE題組一思考辨析×××√12345××61.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)基礎自題組二教材改編123452.[P58練習T3]平面α∥平面β的一個充分條件是A.存在一條直線a，a∥α，a∥βB.存在一條直線a，a?α，a∥βC.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD.存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α√解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.6題組二教材改編123452.[P58練習T3]平面α∥平面3.[P62A組T3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關系為________.平行12345解析連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.63.[P62A組T3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D題組三易錯自糾123454.對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題是真命題的是A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m∥α，n?α，則m∥nC.若m∥α，n⊥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n解析對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確.√6題組三易錯自糾123454.對于空間中的兩條直線m，n和一123455.若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一與a平行的直線解析當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A.√6123455.若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則123456.設α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是______.(填上所有正確的序號)解析在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足.6②④123456.設α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給2題型分類深度剖析PARTTWO2題型分類深度剖析PARTTWO14題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)多維探究命題點1直線與平面平行的判定例1

(2018·紹興模擬)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點M，N分別為A1C1，AB1的中點.(1)證明：MN∥平面BB1C1C；題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)多維探究命題點1直線與平證明連接A1B，BC1，點M，N分別為A1C1，A1B的中點，所以MN為△A1BC1的一條中位線，所以MN∥BC1，又MN?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.證明連接A1B，BC1，點M，N分別為A1C1，A1B的中(2)若CM⊥MN，求三棱錐M—NAC的體積.解設點D，E分別為AB，AA1的中點，AA1＝a，連接ND，CD，由CM⊥MN，得CM2＋MN2＝CN2，又NE⊥平面AA1C1C，NE＝1，(2)若CM⊥MN，求三棱錐M—NAC的體積.解設點D，E命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；命題點2直線與平面平行的性質(zhì)證明取PC的中點M，連接DM，MF，∵M，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，∵E為DA的中點，四邊形ABCD為正方形，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.證明取PC的中點M，連接DM，MF，∵E為DA的中點，四邊(2)求點F到平面PDC的距離.(2)求點F到平面PDC的距離.解∵EF∥平面PDC，∴點F到平面PDC的距離等于點E到平面PDC的距離.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴CB⊥平面PAB，解∵EF∥平面PDC，∵PA⊥平面ABCD，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC為直角三角形，其中PD⊥CD，連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴PD2＋DC2＝PC2，連接EP，EC，易知VE－PDC＝思維升華判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).思維升華判斷或證明線面平行的常用方法(1)求證：EF∥平面PAD；∵BC∥AD，∴EF∥AD.又EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(1)求證：EF∥平面PAD；∵BC∥AD，∴EF∥AD.2020版高考數(shù)學(浙江專用版)新增分大一輪課件：第八章立體幾何與空間向量84∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC連接BD，DF，設點D到平面AFB的距離為d，又S△ABD＝1，點F到平面ABD的距離為1，連接BD，DF，設點D到平面AFB的距離為d，又S△ABD＝例3

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)師生共研證明∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.例3如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明∵E，F(xiàn)分別是AB，引申探究1.在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.引申探究1.在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，A證明如圖所示，連接A1C，AC1，交于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C，AC1，交于點M，2020版高考數(shù)學(浙江專用版)新增分大一輪課件：第八章立體幾何與空間向量84解連接A1B，AB1，交于點O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，同理，AD1∥C1D，又AD∥C1D1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，解連接A1B，AB1，交于點O，連接OD1.同理，AD1∥思維升華證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.思維升華證明面面平行的方法跟蹤訓練2

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點.(1)求證：平面BDM∥平面EFC；跟蹤訓練2如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正證明如圖，設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN，又M為棱AE的中點，∴MN∥EC.∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF.∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.證明如圖，設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積.(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積.解連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中點，∴V三棱錐A－NEF＝V三棱錐C－NEF，解連接EN，F(xiàn)N.題型三平行關系的綜合應用師生共研例4

如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；證明∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.題型三平行關系的綜合應用師生共研例4如圖所示，四邊形EF(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.解設EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∵四邊形EFGH為平行四邊形，又∵0<x<4，∴8<l<12，即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8,12).(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在跟蹤訓練3

如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點，過A，C，E三點作平面α與正方體的面相交.(1)畫出平面α與正方體ABCD－A1B1C1D1各面的交線；解

如圖，交線即為EC，AC，AE，平面α即為平面AEC.跟蹤訓練3如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱D(2)求證：BD1∥平面α.證明連接AC，BD，設BD與AC交于點O，連接EO，∵四邊形ABCD為正方形，∴O是BD的中點，又E為DD1的中點.∴OE∥BD1，又OE?平面α，BD1?平面α.∴BD1∥平面α.(2)求證：BD1∥平面α.證明連接AC，BD，設BD與A3課時作業(yè)PARTTHREE3課時作業(yè)PARTTHREE44基礎保分練123456789101112131415161.(2018·溫州模擬)已知α，β為兩個不同的平面，直線l?α，那么“l(fā)∥β”是“α∥β”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若l∥β，且l?α，則α，β相交或平行，故l∥β且l?αD?/α∥β，而α∥β且l?α?l∥β，所以“l(fā)∥β”是“α∥β”的必要不充分條件，故選B.√基礎保分練123456789101112131415161.123456789101112131415162.已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析A項，α，β可能相交，故錯誤；B項，直線m，n的位置關系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤；D項，假設m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項正確.√123456789101112131415162.已知m，n123456789101112131415163.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是A.異面

B.平行C.相交

D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵平面A1B1EC∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.√123456789101112131415163.如圖所示的123456789101112131415164.(2019·臺州模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有A.0條 B.1條C.2條 D.0條或2條解析如圖設平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，則CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條，故選C.√123456789101112131415164.(2019解析由線面垂直的判定定理，可知C正確.123456789101112131415165.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下列給出的條件中一定能推出m⊥β的是A.α⊥β且m?α B.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β√解析由線面垂直的判定定理，可知C正確.1234567891123456789101112131415166.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是√123456789101112131415166.如圖，在下12345678910111213141516解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交；B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；12345678910111213141516解析A項，作12345678910111213141516C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.12345678910111213141516C項，作如圖③123456789101112131415167.(2018·杭州模擬)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是_____.(填序號)解析①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤.②123456789101112131415167.(2018123456789101112131415168.棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是_____.解析由面面平行的性質(zhì)知截面與面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為

.123456789101112131415168.棱長為2的123456789101112131415169.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上.若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度為_____.解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F為DC中點，123456789101112131415169.如圖所示，1234567891011121314151610.(2018·金華模擬)如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件________________________________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.點M在線段FH上(或點M與點H重合)1234567891011121314151610.(2011234567891011121314151611.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；1234567891011121314151611.如圖，四12345678910111213141516證明由題設知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.12345678910111213141516證明由題設知12345678910111213141516(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.證明由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.12345678910111213141516(2)若平面A1234567891011121314151612.(2018·紹興模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝

，且△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點，G為△PAD的重心.(1)求證：GF∥平面PDC；1234567891011121314151612.(20112345678910111213141516證明連接AG并延長交PD于點H，連接CH.又HC?平面PCD，GF?平面PCD，∴GF∥平面PDC.12345678910111213141516證明連接AG12345678910111213141516(2)求三棱錐G—PCD的體積.12345678910111213141516(2)求三棱錐12345678910111213141516解方法一由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點，知PE⊥AD，BE⊥AD，又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3，由(1)知GF∥平面PDC，12345678910111213141516解方法一由12345678910111213141516又△ABD為正三角形，得∠CDF＝∠ABD＝60°，方法二由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點，知PE⊥AD，BE⊥AD，又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3，連接CE，12345678910111213141516又△ABD為正12345678910111213141516又△ABD為正三角形，得∠EDC＝120°，12345678910111213141516又△ABD為正技能提升練1234567891011121314151613.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個動點，且EF＝

，則下列結(jié)論中錯誤的是A.AC⊥BFB.三棱錐A－BEF的體積為定值C.EF∥平面ABCDD.異面直線AE，BF所成的角為定值√技能提升練123456789101112131415161312345678910111213141516解析∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，易證AC⊥平面BDD1B1，∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正確；對于選項B，∵E，F(xiàn)，B在平面BDD1B1上，∴A到平面BEF的距離為定值，∴△BEF的面積為定值，∴三棱錐A－BEF的體積為定值，故B正確；12345678910111213141516解析∵ABC12345678910111213141516對于選項C，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；對于選項D，異面直線AE，BF所成的角不為定值，令上底面中心為O，當F與B1重合時，E與O重合，易知兩異面直線所成的角是∠A1AO，當E與D1重合時，點F與O重合，連接BC1，易知兩異面直線所成的角是∠OBC1，可知這兩個角不相等，故異面直線AE，BF所成的角不為定值，故D錯誤.12345678910111213141516對于選項C，∵1234567891011121314151614.如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動，始終保持MN∥平面DCC1D1，設BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是√1234567891011121314151614.如圖所示12345678910111213141516解析過M作MQ∥DD1，交AD于點Q，連接QN.∵MQ?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，∴MQ∥平面DCC1D1，∵MN∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，12345678910111213141516解析過M作M12345678910111213141516在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象為焦點在y軸上的雙曲線上支的一部分.故選C.12345678910111213141516在Rt△MQN拓展沖刺練1234567891011121314151615.如圖，在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于D，E，F(xiàn)，H，且D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為√拓展沖刺練123456789101112131415161512345678910111213141516解析取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG?平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，12345678910111213141516解析取AC的12345678910111213141516所以HF∥DE且HF＝DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形.因為AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，12345678910111213141516所以HF∥DE1234567891011121314151616.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AC與BD相交于點O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，三棱錐P－ACD的體積為9.(1)求AD的值；解在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，1234567891011121314151616.如圖，在12345678910111213141516(2)過點O的平面α平行于平面PAB，平面α與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，求截面EFGH的周長.12345678910111213141516(2)過點O的12345678910111213141516解方法一由題意知平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，點O在EF上，平面PAB∩平面ABCD＝AB，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得EF∥AB，同理EH∥BP，F(xiàn)G∥AP.又易知BE＝AF，AD＝2BC，所以FD＝2AF.12345678910111213141516解方法一由12345678910111213141516如圖，作HN∥BC，GM∥AD，N∩PB＝N，GM∩PA＝M，則HN∥GM，HN＝GM，所以四邊形GMNH為平行四邊形，所以GH＝MN，又EF＝AB＝3，12345678910111213141516如圖，作HN∥12345678910111213141516方法二因為平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，點O在EF上，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB，同理EH∥BP，F(xiàn)G∥AP.因為BC∥AD，AD＝6，BC＝3，12345678910111213141516方法二因為平12345678910111213141516如圖，連接HO，則HO∥PA，所以HO⊥EO，HO＝1，12345678910111213141516如圖，連接HO12345678910111213141516又EF＝AB＝3，過點H作HN∥EF交FG于點N，12345678910111213141516又EF＝AB＝大一輪復習講義§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)第八章立體幾何與空間向量大一輪復習講義§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)第八章立82NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析課時作業(yè)NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎知識自主學習題831基礎知識自主學習PARTONE1基礎知識自主學習PARTONE84知識梳理1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理ZHISHISHULIl∥aa?αl?α

文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與

的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的____與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)?l∥b此平面內(nèi)交線l∥al?βα∩β＝b知識梳理1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理ZHISHISHUL2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條

與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)?α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面

，那么它們的____平行?a∥b相交直線相交交線α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝bα∥βb∥βa∩b＝Pa?αb?α2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判1.一條直線與一個平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎？【概念方法微思考】提示不都平行.該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面.1.一條直線與一個平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平面平行嗎？提示平行.可以轉(zhuǎn)化為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”，這就是面面平行的判定定理.2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.(

)(2)平行于同一條直線的兩個平面平行.(

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(

)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(

)基礎自測JICHUZICE題組一思考辨析×××√12345××61.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)基礎自題組二教材改編123452.[P58練習T3]平面α∥平面β的一個充分條件是A.存在一條直線a，a∥α，a∥βB.存在一條直線a，a?α，a∥βC.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD.存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α√解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.6題組二教材改編123452.[P58練習T3]平面α∥平面3.[P62A組T3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關系為________.平行12345解析連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.63.[P62A組T3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D題組三易錯自糾123454.對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題是真命題的是A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m∥α，n?α，則m∥nC.若m∥α，n⊥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n解析對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確.√6題組三易錯自糾123454.對于空間中的兩條直線m，n和一123455.若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一與a平行的直線解析當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A.√6123455.若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則123456.設α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是______.(填上所有正確的序號)解析在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足.6②④123456.設α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給2題型分類深度剖析PARTTWO2題型分類深度剖析PARTTWO95題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)多維探究命題點1直線與平面平行的判定例1

(2018·紹興模擬)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點M，N分別為A1C1，AB1的中點.(1)證明：MN∥平面BB1C1C；題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)多維探究命題點1直線與平證明連接A1B，BC1，點M，N分別為A1C1，A1B的中點，所以MN為△A1BC1的一條中位線，所以MN∥BC1，又MN?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.證明連接A1B，BC1，點M，N分別為A1C1，A1B的中(2)若CM⊥MN，求三棱錐M—NAC的體積.解設點D，E分別為AB，AA1的中點，AA1＝a，連接ND，CD，由CM⊥MN，得CM2＋MN2＝CN2，又NE⊥平面AA1C1C，NE＝1，(2)若CM⊥MN，求三棱錐M—NAC的體積.解設點D，E命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；命題點2直線與平面平行的性質(zhì)證明取PC的中點M，連接DM，MF，∵M，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，∵E為DA的中點，四邊形ABCD為正方形，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.證明取PC的中點M，連接DM，MF，∵E為DA的中點，四邊(2)求點F到平面PDC的距離.(2)求點F到平面PDC的距離.解∵EF∥平面PDC，∴點F到平面PDC的距離等于點E到平面PDC的距離.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴CB⊥平面PAB，解∵EF∥平面PDC，∵PA⊥平面ABCD，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC為直角三角形，其中PD⊥CD，連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴PD2＋DC2＝PC2，連接EP，EC，易知VE－PDC＝思維升華判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).思維升華判斷或證明線面平行的常用方法(1)求證：EF∥平面PAD；∵BC∥AD，∴EF∥AD.又EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(1)求證：EF∥平面PAD；∵BC∥AD，∴EF∥AD.2020版高考數(shù)學(浙江專用版)新增分大一輪課件：第八章立體幾何與空間向量84∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC連接BD，DF，設點D到平面AFB的距離為d，又S△ABD＝1，點F到平面ABD的距離為1，連接BD，DF，設點D到平面AFB的距離為d，又S△ABD＝例3

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)師生共研證明∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.例3如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明∵E，F(xiàn)分別是AB，引申探究1.在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.引申探究1.在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，A證明如圖所示，連接A1C，AC1，交于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C，AC1，交于點M，2020版高考數(shù)學(浙江專用版)新增分大一輪課件：第八章立體幾何與空間向量84解連接A1B，AB1，交于點O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，同理，AD1∥C1D，又AD∥C1D1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，解連接A1B，AB1，交于點O，連接OD1.同理，AD1∥思維升華證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.思維升華證明面面平行的方法跟蹤訓練2

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點.(1)求證：平面BDM∥平面EFC；跟蹤訓練2如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正證明如圖，設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN，又M為棱AE的中點，∴MN∥EC.∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF.∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.證明如圖，設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積.(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積.解連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中點，∴V三棱錐A－NEF＝V三棱錐C－NEF，解連接EN，F(xiàn)N.題型三平行關系的綜合應用師生共研例4

如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；證明∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.題型三平行關系的綜合應用師生共研例4如圖所示，四邊形EF(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.解設EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∵四邊形EFGH為平行四邊形，又∵0<x<4，∴8<l<12，即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8,12).(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在跟蹤訓練3

如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點，過A，C，E三點作平面α與正方體的面相交.(1)畫出平面α與正方體ABCD－A1B1C1D1各面的交線；解

如圖，交線即為EC，AC，AE，平面α即為平面AEC.跟蹤訓練3如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱D(2)求證：BD1∥平面α.證明連接AC，BD，設BD與AC交于點O，連接EO，∵四邊形ABCD為正方形，∴O是BD的中點，又E為DD1的中點.∴OE∥B