高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 7.4 統(tǒng)計(jì) 理

第4講統(tǒng)計(jì)

重點(diǎn)知識(shí)回顧

1．抽樣方法類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)數(shù)比較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個(gè)部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)數(shù)比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成整理ppt2．總體分布的估計(jì)：(1)總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律叫總體分布．(2)樣本頻率分布：樣本中所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組)的頻率分布狀況(變化規(guī)律)叫做樣本頻率分布，可用樣本頻率分布表、樣本頻率分布直方圖等表示．(3)總體分布的估計(jì)：從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，樣本容量越大其估計(jì)值就越精確．3．正態(tài)分布：(1)正態(tài)分布函數(shù)：f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0,1)是一種特殊的正態(tài)分布曲線，Φ(－x0)＝1－Φ(x0)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)的取值概率P＝Φ(b)－Φ(a)．整理ppt(2)由于一般的正態(tài)總體N(μ，σ2)的圖象不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于任一正態(tài)總體N(μ，σ2)，其取值小于x的概率F(x)＝Φ，只要會(huì)用它求正態(tài)總體N(μ，σ2)在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可．(3)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線在x軸上方，與x軸不相交；②曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；③曲線在x＝μ處位于最高點(diǎn)；④當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降．并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無(wú)限靠近；⑤當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中．整理ppt

主要考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一抽樣方法

命題規(guī)律在高考試題中對(duì)抽樣方法的考查主要是三種抽樣方法，試題通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．

●例1

為了考察某校的教學(xué)水平，將抽查這個(gè)學(xué)校高三年級(jí)的部分學(xué)生本年度的考試成績(jī)．為了全面反映實(shí)際情況，采取以下三種方式進(jìn)行抽查(已知該校高三年級(jí)共有20個(gè)班，并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機(jī)方式編好了學(xué)號(hào)，假定該校每班學(xué)生的人數(shù)相同)：①?gòu)母呷昙?jí)20個(gè)班中任意抽取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嘀腥我獬槿?0名學(xué)生，考察他們的學(xué)習(xí)成績(jī)；②每個(gè)班抽取1人，共計(jì)20人，考察這20名學(xué)生的成績(jī)；③把學(xué)生按成績(jī)分成優(yōu)秀、良好、普通三個(gè)級(jí)別，從其中共抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察(已知該校高三學(xué)生共1000人，若按成績(jī)分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．整理ppt根據(jù)上面的敘述，試回答下列問(wèn)題：(1)上面三種抽取方式的總體、個(gè)體、樣本分別是什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，樣本容量分別是多少？

(2)上面三種抽取方式各自采用的是何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟．

【分析】三種抽樣方法的步驟各有不同，充分掌握抽樣方法的實(shí)施步驟是解決本題的關(guān)鍵．

【解析】(1)這三種抽取方式的總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績(jī)，個(gè)體都是指高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生本年度的考試成績(jī)．其中第一種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績(jī)，樣本容量為20；第二種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績(jī)，樣本容量為20；第三種抽取方式的樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績(jī)，樣本容量為100．(2)三種抽取方式中，第一種采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；第二種采用的是系統(tǒng)抽樣法和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；第三種采用的是分層抽樣法和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．整理ppt(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步，首先用抽簽法在這20個(gè)班中任意抽取一個(gè)班．第二步，然后從這個(gè)班中按學(xué)號(hào)用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績(jī)．第二種方式抽樣的步驟如下：第一步，首先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從第一個(gè)班中任意抽取一名學(xué)生，記其學(xué)號(hào)為a．第二步，在其余的19個(gè)班中，選取學(xué)號(hào)為a的學(xué)生，加上第一個(gè)班中的一名學(xué)生，共計(jì)20人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步，分層，因?yàn)槿舭闯煽?jī)分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取樣本時(shí)，應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個(gè)層次．第二步，確定各個(gè)層次抽取的人數(shù)．因?yàn)闃颖救萘颗c總體的個(gè)體數(shù)之比為100∶1000＝1∶10，所以在每個(gè)層次中抽取的個(gè)體數(shù)依次為、、，即15、60、25．整理ppt第三步，按層次分別抽取．在優(yōu)秀生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取15人；在良好生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取60人；在普通生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取25人．

【點(diǎn)評(píng)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)抽取得到樣本；系統(tǒng)抽樣是將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽??；分層抽樣是將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取．

★互動(dòng)變式1

(1)某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)的產(chǎn)品共有16件，那么此樣本的容量n＝________件．整理ppt(2)一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0,1,2，…，99，依編號(hào)順序平均分成10小組，組號(hào)依次為1,2,3，…，10．現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k小組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m＋k的個(gè)位數(shù)字相同．若m＝6，則在第7組中抽取的號(hào)碼是________．

【解析】(1)16∶n＝2∶(2＋3＋5)，∴n＝80．(2)“事先制定的規(guī)則”是“如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k小組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m＋k的個(gè)位數(shù)字相同”．∵m＝6，k＝7，m＋k＝13，∴在第7小組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)是3，又第7小組的十位數(shù)是6，∴在第7小組中抽取的號(hào)碼是63．

[答案](1)80(2)63整理ppt考點(diǎn)二總體分布的估計(jì)

命題規(guī)律統(tǒng)計(jì)中常用樣本頻率分布來(lái)估計(jì)總體分布，因此樣本頻率分布直方圖是高考的命題點(diǎn)，通常以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，也會(huì)在解答題中進(jìn)行考查．

●例2

(1)[2008年·廣東]為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量．產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)，由此得到頻率分布直方圖如下圖所示，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是______．

整理ppt(2)在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個(gè)長(zhǎng)方形，這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等差數(shù)列{an}，已知a2＝2a1，且樣本容量為400，則小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為_(kāi)_____．

【解析】(1)(0.040＋0.025)×10×20＝13．(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有a1＋d＝2a1，得d＝a1，由于4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，即各組的頻率也構(gòu)成等差數(shù)列，∴4a1＋d＝400，即10a1＝400，所以a1＝40，面積最大的一組的頻數(shù)為a4＝40＋3×40＝160．整理ppt

[答案]

(1)13(2)160

【點(diǎn)評(píng)】頻率分布直方圖是用圖形面積的大小表示在各區(qū)間內(nèi)取值的頻率，頻數(shù)＝頻率×樣本容量(總數(shù))，所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1．特別注意如果縱軸表示，則要用“頻數(shù)＝×組距×樣本容量(總數(shù))”公式求頻數(shù).

★互動(dòng)變式2

(1)[2011年·山東]從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為()

(A)． (B)．(C)3． (D)．(2)將容量為100的樣本數(shù)據(jù)分為10組，若前7組的頻率之和為0.79，而剩下的3組頻率成等差數(shù)列，公差為0.05，則剩下的3組中頻率最大的一組的頻率為_(kāi)_______．分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010整理ppt

【解析】(1)這100人的成績(jī)的平均數(shù)為＝3，則方差為,則標(biāo)準(zhǔn)差為．(2)剩下的三組頻率之和為0.21，設(shè)第8組頻率為x，則x＋x＋0.05＋x＋0.1＝0.21，x＝0.02，故最大一組的頻率之和為0.12．

[答案]

(1)B(2)0.12整理ppt

●例3

對(duì)某公司生產(chǎn)的電子原件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下表：

(1)畫(huà)出頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該公司電子原件壽命在400h以上的概率；(3)估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望．

【分析】畫(huà)頻率分布直方圖，需先列出頻率分布表，再由頻率分布表求壽命在400h以上電子原件的概率，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算求得總體的數(shù)學(xué)期望．壽命/h100～200200～300300～400400～500500～600個(gè)數(shù)2030804030整理ppt

【解析】(1)列出頻率分布表，再由頻率分布表畫(huà)出頻率分布直方圖．壽命/h頻數(shù)頻率累積頻率100～200200.100.10200～300300.150.25300～400800.400.65400～500400.200.85500～600300.151合計(jì)2001整理ppt(2)由頻率分布表得壽命在400h以上的電子原件出現(xiàn)的頻率為0.2＋0.15＝0.35．(3)樣本的期望為：×0.10＋×0.15＋×0.4＋×0.2＋×0.15＝365．可以估計(jì)總體數(shù)學(xué)期望為365h．整理ppt

【點(diǎn)評(píng)】畫(huà)頻率分布直方圖的基本步驟有：(1)求極差(即樣本數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差)；(2)確定組數(shù)和組距：極差＝組數(shù)×組距；(3)決定分點(diǎn)，應(yīng)避免將樣本中的數(shù)據(jù)作為分點(diǎn)，常把分點(diǎn)的數(shù)值取得樣本數(shù)據(jù)多一位小數(shù)；(4)列出頻率分布表，進(jìn)而繪制出頻率分布直方圖．

★互動(dòng)變式3

某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

整理ppt(1)求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；(3)從成績(jī)是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．

【解析】(1)因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率：

f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3；直方圖如下圖所示．

整理ppt(2)依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，∴抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是75%．利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15×＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71．∴估計(jì)這次考試的平均分是71分．(3)∵在[70,80)，[80,90)，[90,100]這三個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)分別是18,15,3；∴從成績(jī)是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人，他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率為：P＝．整理ppt考點(diǎn)三正態(tài)分布

命題規(guī)律

正態(tài)分布這兩年開(kāi)始在各省市高考中出現(xiàn)了，2010年高考中還會(huì)出現(xiàn)更多這方面的題型，主要是考查正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，難度不大，但屬于偏冷知識(shí)點(diǎn)，易忽略這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．

●例4

如果隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，且Eξ＝3，Dξ＝1，則P(－1＜ξ≤1)等于()(A)2Φ(1)－1． (B)Φ(4)－Φ(2)．(C)Φ(2)－Φ(4)． (D)Φ(－4)－Φ(－2)．

【解析】對(duì)正態(tài)分布，μ＝Eξ＝3，σ2＝Dξ＝1，故P(－1＜ξ≤1)＝Φ(1－3)－Φ(－1－3)＝Φ(－2)－Φ(－4)＝Φ(4)－Φ(2)．

[答案]

B

【點(diǎn)評(píng)】這類問(wèn)題解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．整理ppt

★互動(dòng)變式4某地區(qū)在高三第二輪復(fù)習(xí)時(shí)組織一次大型調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)f(x)＝e－(x∈(－∞，＋∞))，則下列命題不正確的是()(A)該地區(qū)這次考試的數(shù)學(xué)平均分為88分．

(B)分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在56分以下的人數(shù)相同.

(C)分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同.(D)該地區(qū)這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10．

【解析】由題意可知，μ＝88，σ2＝100，故σ＝10，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可