統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章

第三章集中量教學(xué)目的:通過本章學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)理解集中量.算術(shù)平均數(shù).中位數(shù).眾數(shù).幾何平均數(shù)等基本概念，了解各種集中量指標(biāo)的優(yōu)缺點(diǎn)和用途，并熟練掌握各種集中量指標(biāo)的計(jì)算方法。統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖只是簡明.概括.直觀的反映了一組數(shù)據(jù)的分布特征，這對(duì)于統(tǒng)計(jì)分析還是不夠的。為了進(jìn)一步分析研究，比較精確地把握一組數(shù)據(jù)的分布特征，還需計(jì)算出反映一組數(shù)據(jù)分布特征的統(tǒng)計(jì)量，【如】：集中量.差異量等。集中量：是表示一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢(shì)的量。集中量是一組數(shù)據(jù)整體水平的代表量。不同群體間學(xué)生成績比較時(shí)，需要用集中量指標(biāo)。常用的集中量指標(biāo)有算術(shù)平均數(shù).中位數(shù).眾數(shù).加權(quán)平均數(shù).幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)。第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的概念1.算術(shù)平均數(shù)：是一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)所得之商，簡稱為平均數(shù)或均值，一般用表示。表示一組數(shù)據(jù)的總和，N表示數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。2.算術(shù)平均數(shù)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）一組數(shù)據(jù)的總和等于該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)的乘積。（2）各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離差和等于零，即（3）若一組數(shù)據(jù)由若干個(gè)部分組成，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可由各部分平均數(shù)合并而得。二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法1.原始數(shù)據(jù)計(jì)算法利用定義公式（3.1）計(jì)算?！救纭浚?名學(xué)生的外語成績?yōu)椋?9.62.84.90.71，則這5名學(xué)生的外語平均成績?yōu)椋?.頻數(shù)分布表計(jì)算法我們以40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布表為例，說明其計(jì)算方法。表3.140名學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)60——65——70——75——80——85——f6812554Xc62.567.572.577.582.587.5Xc為各組的組中值（可看作各組f數(shù)據(jù)的平均數(shù)）.f為各組組頻數(shù)，N=Σf，則注意：公式（3.2）的邏輯意義。表3.140個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：注：組中值Xc的值一般統(tǒng)計(jì)表中不標(biāo)出，計(jì)算時(shí)需同學(xué)們自己確定。三、算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)（一）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)1.反映靈敏；2.嚴(yán)密確定；3.簡明易懂，計(jì)算方便；4.適合代數(shù)運(yùn)算；5.受抽樣變動(dòng)影響較小。（二）算術(shù)平均數(shù)的缺點(diǎn)1.易受兩極端值的影響；2.某個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清時(shí)，就無法計(jì)算算術(shù)平均數(shù)。注：算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最廣的一個(gè)集中量指標(biāo)。第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念中位數(shù)：是位于按一定大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的那個(gè)數(shù)，在它上下各有一半頻數(shù)分布著（中位數(shù)用Md表示）。二、中位數(shù)的計(jì)算方法（一）原始數(shù)據(jù)計(jì)算法利用原始數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)，要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。【如】：81.84.89.90.93。這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)就是Md=89。2.當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)為中央位置上兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。即第與第兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。【如】：81，84，89，90，93，95。這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：Md=（89+90）÷2=89.5注意：在計(jì)算中位數(shù)時(shí)，首先是將數(shù)據(jù)按大小順序排列。（二）頻數(shù)分布表計(jì)算方法利用頻數(shù)分布表計(jì)算中位數(shù)有兩種方法：1.是按由小到大的方向計(jì)算二者的原理是一致的，我們以由小到大的方向計(jì)算來分析。表3.250個(gè)英語分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)頻數(shù)f累積頻數(shù)85——55080——124575——203370——101365——33（1）確定中位數(shù)所在組（2）確定中位數(shù)所在組所取多少個(gè)頻數(shù)與頻數(shù)的距離Md的值肯定大于該組的下限（Lmd），也就是Md的值是在Lmd的值上再加上一定的數(shù)值，那么該加多少呢？我們從表中可知，75——這一組的組頻數(shù)fmd=20，這一組的起止范圍為75～（3）求出中位數(shù)從上述分析中我們可以得出：注：①.Lmd為中位數(shù)所在組的下限；②.n1為與Lmd相鄰的那一組的累積頻數(shù)；③.fmd為Md所在組的組頻數(shù)；④.i為組距。表3.2中50分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為：利用公式（3.3）計(jì)算中位數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是要確定Md所在組以及Lmd.fmd和n1的值。2.是按由大到小的方向計(jì)算同理，我們可得出按由大到小的方向計(jì)算Md的公式：與公式3.3不同的是Umd為Md所在組的上限，n2為上限Umd以上各組頻數(shù)總和。在表3.2中，Umd=80，n2=17，fmd=20.3.特殊情況：完全對(duì)稱條件下的計(jì)算三.百分位數(shù)的概念及其計(jì)算方法1.百分位數(shù)的概念百分位數(shù)：是指位于按大小順序排列的一組數(shù)中某一百分位置的數(shù)據(jù)。常用Pp表示?！救纭浚旱?0百分位數(shù)（P80），假定P80=78，它的含義是指在一組數(shù)據(jù)中，比78小的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)占數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)的80%，而大于78的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)占數(shù)據(jù)總數(shù)的20%（中位數(shù)也是一個(gè)百分位數(shù)）。2.百分位數(shù)的計(jì)算方法百分位數(shù)計(jì)算原理與中位數(shù)相同。其計(jì)算公式為：Pp表示百分位數(shù)，p表示百分位，N為總頻數(shù)，Lp表Pp所在組的下限，n為小于Lp的頻數(shù)總和，fp表為Pp所在組的組頻數(shù)，i為組距。利于公式（3.5）計(jì)算頻數(shù)分布表中的百分位數(shù)的解題過程可分為：（1）由p·N確定Pp所在組；（2）根據(jù)Pp所在組確定fp.Lp和n；（3）將fp.Lp和n.i代入公式（3.5）計(jì)算?！纠浚呵笙旅骖l數(shù)分布表的第80百分位數(shù)。表3.360個(gè)外語分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)65——70——75——80——85——f81420108cf822425260注：cf為累計(jì)頻數(shù)。解：由80%×60=48知P80在80—這一組。∴Lp=80，fp=10，n=42，i=5四、中位數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡明易懂，計(jì)算方便，不受兩極端值的影響。缺點(diǎn)：受抽樣變動(dòng)影響較大，反應(yīng)不靈敏，不適合代數(shù)運(yùn)算。第三節(jié)眾數(shù)一、眾數(shù)的概念眾數(shù)：是指一組數(shù)據(jù)中次數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)(用M0表示)。二、眾數(shù)的計(jì)算方法1.用觀察法尋找M0【如】：在60，70，65，65，71，65，62這組數(shù)據(jù)中，65是出現(xiàn)次數(shù)最多的一個(gè)數(shù)，因而這組數(shù)的M0=65。2.用公式求眾數(shù)（1）皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)法在近似正態(tài)時(shí)：（2）金氏插補(bǔ)法當(dāng)頻數(shù)呈偏態(tài)時(shí)可用金氏插補(bǔ)法。注：表3.3頻數(shù)分布不對(duì)稱，應(yīng)以金氏法計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn)。三.眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡明易懂，計(jì)算方便，不受兩極端值影響。缺點(diǎn)：反應(yīng)不靈敏，受分組影響較大，易受抽樣變動(dòng)的影響。三者的關(guān)系與數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān)第四節(jié)加權(quán)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)一.加權(quán)平均數(shù)加平均數(shù)：是指重要性不同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)。1.當(dāng)總權(quán)數(shù)為1時(shí)，計(jì)算公式可表示為W為權(quán)數(shù)。HYPERLINK【例題】：某校規(guī)定期中考試成績占40%，期末占60%，學(xué)生A的期中成績?yōu)?0分，期末成績?yōu)?0分，則該生的學(xué)期總平均成績?yōu)椋?.當(dāng)總權(quán)數(shù)不等于1時(shí)HYPERLINK【例】：某中學(xué)初一年級(jí)語文測(cè)驗(yàn)。（一）班48人的平均分為82分，（二）50人的平均分為79分，則全年級(jí)的平均分為：二.幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)：是N個(gè)數(shù)據(jù)連乘積的N次方根。1.X是原始數(shù)據(jù)中后一數(shù)據(jù)與前一個(gè)數(shù)的比；2.N是X的個(gè)數(shù)，而不是原始數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；HYPERLINK【如】：某小學(xué)近三年的教學(xué)經(jīng)費(fèi)如下圖，問該小學(xué)近年來教學(xué)經(jīng)費(fèi)的年平均增長率是多少？單位：元年份200020012002經(jīng)費(fèi)11,