傳輸原理-第十二章-對(duì)流換熱的基本方程和分析解課件

第十二章對(duì)流換熱的基本方程和分析解第十二章12.1對(duì)流換熱概述12.2對(duì)流換熱微分方程組12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程近似解12.6小結(jié)第12章對(duì)流換熱的基本方程和分析解12.1對(duì)流換熱概述第12章對(duì)流換熱的基本方程和分析解流體與不同溫度的固體壁面接觸時(shí)，因相對(duì)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的熱量傳遞過程稱為對(duì)流換熱。對(duì)流換熱與熱對(duì)流的區(qū)別：①熱對(duì)流是傳熱的三種基本方式之一，但對(duì)流換熱不是；②對(duì)流換熱是導(dǎo)熱和對(duì)流這兩種基本傳熱方式的綜合；③對(duì)流換熱必然涉及流體與不同溫度的固體壁面(或液面)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。12.1對(duì)流換熱概述流體與不同溫度的固體壁面接觸時(shí)，因相對(duì)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的熱量傳遞綜合以上分析，可將對(duì)流換熱系數(shù)α與各影響因素寫成如下函數(shù)關(guān)系：式中，Ψ為壁面的幾何因素。12.1對(duì)流換熱概述對(duì)流換熱是流體的導(dǎo)熱和對(duì)流共同作用的結(jié)果，其影響因素主要有：①流體流動(dòng)的起因②流體有無相變③流體的流動(dòng)狀態(tài)④流體的物理性質(zhì)⑤換熱表面(指固體)的幾何因素綜合以上分析，可將對(duì)流換熱系數(shù)α與各影響因素寫成如下函數(shù)關(guān)(1)換熱微分方程由于在貼壁處流體受到黏性的作用，沒有相對(duì)于壁面的流動(dòng)，因此被稱為貼壁處的無滑移邊界條件。將傅里葉定律應(yīng)用于貼壁流體層，與牛頓冷卻公式聯(lián)系，得換熱微分方程：式中,為貼壁處流體的法向溫度變化率，℃/m；λ為流體的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；△T為傳熱面上的平均溫度差，℃，α為對(duì)流換熱系數(shù)，W/(m2·℃)。12.2對(duì)流換熱微分方程(1)換熱微分方程式中,(2)熱量傳輸微分方程推導(dǎo)依據(jù)是能量守恒定律，采用微元體分析法，假定流體不可壓縮，微元體只有內(nèi)能發(fā)生變化，忽略位能、動(dòng)能的變化。12.2對(duì)流換熱微分方程對(duì)于不可壓縮流體，不存在體積功，只有黏性力作功產(chǎn)生摩擦熱。微元體獲得的熱能有：一是通過微元體界面從外界以對(duì)流和導(dǎo)熱方式得到；二是由微元體的內(nèi)熱源產(chǎn)生。(2)熱量傳輸微分方程12.2對(duì)流換熱微分方程對(duì)于對(duì)于不可壓縮流體，不存在體積功，只有黏性力作功產(chǎn)生摩擦熱。

微元體獲得的熱能：一是由微元體界面從外界以對(duì)流和導(dǎo)熱方式得到；二是由微元體的內(nèi)熱源產(chǎn)生。微元體在熱量傳輸過程的熱力學(xué)第一定律為：

12.2對(duì)流換熱微分方程Q1為單位時(shí)間內(nèi)通過對(duì)流傳入微元體凈熱量；Q2為單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)熱傳入微元體的凈熱量；Q3為單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)熱源生成的熱量；Q4為單位時(shí)間里外界對(duì)微元體作黏性功產(chǎn)生的摩擦熱；Q5為單位時(shí)里內(nèi)微元體內(nèi)能的增加量。單位都是J/s。對(duì)于不可壓縮流體，不存在體積功，只有黏性力作功產(chǎn)生摩擦熱。在x方向，由于流體流動(dòng)，單位時(shí)間內(nèi)從EFGH面對(duì)流傳入和從ABCD面對(duì)流傳出的熱量分別為（U為每千克流體的內(nèi)能）：12.2對(duì)流換熱微分方程在x方向，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量為

在x方向，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量為：同理，可寫出y和z方向在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量。因此，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流凈傳入微元體的總熱量為：在x方向，由于流體流動(dòng)，單位時(shí)間內(nèi)從EFGH面對(duì)流傳入和從由動(dòng)量傳輸可知，對(duì)于不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為12.2對(duì)流換熱微分方程在x方向，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量為導(dǎo)熱傳入微元體的熱量可按傅里葉定律計(jì)算，在λ不為常數(shù)的情況下，單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)熱傳入微元體的凈熱量為：

由動(dòng)量傳輸可知，對(duì)于不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為12.2為計(jì)算微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量，定義單位時(shí)間、單位體積所生成的熱量為內(nèi)熱源強(qiáng)度，用qv

表示。于是單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)熱源生成的熱量為：

12.2對(duì)流換熱微分方程外界流體對(duì)微元體所做黏性功的推導(dǎo)比較復(fù)雜，令單位體積流體由于黏性力作用產(chǎn)生的摩擦熱速率為Φ，稱為耗散熱。則為單位時(shí)間內(nèi)黏性功產(chǎn)生的熱能量為：

單位時(shí)間內(nèi)，微元體內(nèi)能的增加量為：

為計(jì)算微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量，定義單位時(shí)間、單位體積所生成的代入原式，消去dxdydz，整理后可得：

12.2對(duì)流換熱微分方程對(duì)于不可壓縮流體(或固體)，可認(rèn)為dU=cVdT，并且cV≈cP，于是：

代入原式，消去dxdydz，整理后可得：12.2方程中最后一項(xiàng)耗散熱是流體黏度和剪切應(yīng)變率的函數(shù)，對(duì)一般工程問題可忽略不計(jì)。于是可變?yōu)椋?/p>

如果流體的導(dǎo)熱系數(shù)λ為常數(shù)，且流體無內(nèi)熱源，即qv=0，則可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：此式稱為傅里葉-克希荷夫?qū)嵛⒎址匠蹋m用于無內(nèi)熱源不可壓縮流體的對(duì)流換熱分析。稱為導(dǎo)溫系數(shù)，單位是m2/s。12.2對(duì)流換熱微分方程方程中最后一項(xiàng)耗散熱是流體黏度和剪切應(yīng)變率的函數(shù)，對(duì)一般工程

(3)連續(xù)性方程根據(jù)動(dòng)量傳輸理論，不可壓縮流體(ρ為常數(shù))的連續(xù)性方程為：

(4)運(yùn)動(dòng)(動(dòng)量傳輸)方程不可壓縮流體的納維-斯托克斯方程為：

12.2對(duì)流換熱微分方程

換熱方程式、熱量傳輸方程式、連續(xù)性方程式和運(yùn)動(dòng)(動(dòng)量傳輸)方程式。(3)連續(xù)性方程(4)運(yùn)動(dòng)(動(dòng)量傳輸)方程12這四個(gè)方程總稱為對(duì)流換熱微分方程組，是求解對(duì)流換熱系數(shù)的基本方程。如果將物性(ρ、λ、μ、ν)視為常數(shù)，求解對(duì)流換熱系數(shù)的基本途徑是：①

由連續(xù)性方程和動(dòng)量傳輸方程，結(jié)合定解條件，求出速度場(chǎng)；②由熱量傳輸方程，結(jié)合定解條件，求出溫度場(chǎng)；③由換熱微分方程求出局部對(duì)流換熱系數(shù)。對(duì)流換熱微分方程組描述了對(duì)流換熱過程所具有的共性，是對(duì)流換熱過程的一般描述。

12.2對(duì)流換熱微分方程這四個(gè)方程總稱為對(duì)流換熱微分方程組，是求解對(duì)流換熱系數(shù)的基單憑對(duì)流換熱微分方程組不能解出未知函數(shù)，必須給出具體問題的特定條件才能得到特定的解，描述對(duì)流換熱的具體條件稱為定解條件。用分析法求解對(duì)流換熱問題是非常困難的，直到普朗特提出了邊界層理論，并用數(shù)量級(jí)分析方法對(duì)微分方程組進(jìn)行了簡(jiǎn)化，其數(shù)學(xué)分析解才真正得到。只有在幾何形狀和邊界條件均簡(jiǎn)單的層流穩(wěn)態(tài)流動(dòng)條件下，對(duì)流換熱問題才可以得到精確的解。12.2對(duì)流換熱微分方程單憑對(duì)流換熱微分方程組不能解出未知函數(shù)，必須給出具體問題的特(1)溫度(熱)邊界層固體表面附近流體溫度發(fā)生劇烈變化的薄層稱為溫度邊界層(熱邊界層)，其厚度記為δT。對(duì)于對(duì)流換熱，類似于速度邊界層的定義，在熱量傳輸中通常將T＝Tw＋0.99(T∞－Tw)定義為δT的外邊界。12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組(1)溫度(熱)邊界層12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程

層流時(shí)，流體分層流動(dòng)，相鄰層間無流體的宏觀運(yùn)動(dòng)，因而在壁面法線方向上熱量的傳遞只能依靠流體內(nèi)部的導(dǎo)熱。湍流時(shí)，流動(dòng)邊界層可分為層流底層、緩沖層和湍流核心層。熱邊界層和流動(dòng)邊界層既有聯(lián)系又有區(qū)別。一般說，流動(dòng)邊界層總是從入口處(x=0)開始發(fā)展，而熱邊界層則不一定，它僅存在于壁面與流體間有溫差的地方。此外熱邊界厚度與流動(dòng)邊界層厚度也不一定相等，它們之間的關(guān)系主要決定于流體的狀態(tài)。12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組層流時(shí)，流體分層流動(dòng)，相鄰層間無流體的宏觀運(yùn)動(dòng)，因而在壁面

(2)邊界層對(duì)流換熱微分方程組

二維對(duì)流換熱問題可采用數(shù)量級(jí)分析方法，將方程式中數(shù)量級(jí)較小的項(xiàng)舍去，實(shí)現(xiàn)方程的合理簡(jiǎn)化,

通過比較各項(xiàng)的大小(普朗特的方法)由于dP/dx=0，可以得到邊界層對(duì)流換熱的微分方程組：四個(gè)方程包括四個(gè)未知數(shù)：υx、υy、T、a，加上定解條件可以求解。12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組(2)邊界層對(duì)流換熱微分方程組四個(gè)方程包括四個(gè)未知數(shù)：12.4.1平板層流換熱的分析解需要滿足的條件：①方程式中二階微分項(xiàng)的系數(shù)必須相等，這就需要ν=a或Pr=1。②溫度邊界條件必須與速度邊界條件相適應(yīng)。為此，只需將獨(dú)立變量T換成(T-Tw)/(T∞-Tw)。

替換

中的

12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解應(yīng)用布拉修斯的結(jié)果，可得到：12.4.1平板層流換熱的分析解12.4對(duì)流換熱邊界由換熱微分方程得：式中Nux稱為局部努塞爾特?cái)?shù)。波爾豪森研究了Pr不為1時(shí)的影響：代入流換熱系數(shù)表達(dá)式。在y=0處，溫度梯度為：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解可得溫度梯度：由換熱微分方程得：式中Nux稱為局部努塞爾特?cái)?shù)。波爾豪對(duì)上式積分可得：對(duì)寬為W、長(zhǎng)為L(zhǎng)的平板上的平均對(duì)流傳熱系數(shù)α，可用αx沿全板長(zhǎng)從0到L積分：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解由換熱微分方程得：對(duì)上式積分可得：對(duì)寬為W、長(zhǎng)為L(zhǎng)的平板上的平均對(duì)流傳熱系12.4.2液體金屬流過平板時(shí)的對(duì)流換熱對(duì)液體金屬沿平板流動(dòng)時(shí)的熱邊界層，假定熱邊界層內(nèi)整個(gè)截面上的實(shí)際流速可用主流速度來表示。一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解這樣，液體金屬流過平板的對(duì)流換熱問題，可看作半無限大物體(指液體金屬)，且表面溫度為常數(shù)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。以上對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算公式適用于恒壁溫，平板層流邊界層的情況，應(yīng)用范圍為：0.6<Pr<50，Re<5×105。12.4.2液體金屬流過平板時(shí)的對(duì)流換熱12.4對(duì)流公式中的誤差函數(shù)既可由表11-2，也可用收斂級(jí)數(shù)計(jì)算。對(duì)于很小的η值(即當(dāng)y→0時(shí))，取級(jí)數(shù)首項(xiàng)就可滿足要求：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解

將T對(duì)y求導(dǎo)，并代入公式得：

公式中的誤差函數(shù)既可由表11-2，也可用收斂級(jí)數(shù)計(jì)算。對(duì)于很考慮圖中虛線所示的控制體，它適用于平行流過無壓力梯度的平面。積分形式的熱力學(xué)第一定律公式可寫為：12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程組近似解在穩(wěn)定狀態(tài)及重力影響不大的情況下有：考慮圖中虛線所示的控制體，它適用于平行流過無壓力梯度的平面完整的熱量表達(dá)式為：12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程組近似解假設(shè)以Δx除上式兩邊，并取Δx趨近于零的極限，可得：：對(duì)于給定邊界條件：假設(shè)溫度變化為冪級(jí)數(shù)形式：完整的熱量表達(dá)式為：12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程組局部的換熱系數(shù)和努塞爾數(shù)分別為：12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程組近似解假設(shè)溫度變化為冪級(jí)數(shù)形式，并且在滿足一定邊界條件的情況下，可得表達(dá)式：可以得到溫度邊界層的厚度：根據(jù)平均和局部換熱系數(shù)的關(guān)系：局部的換熱系數(shù)和努塞爾數(shù)分別為：12.5對(duì)流換熱邊界層12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程組近似解例題14℃的空氣以1m/s的速度流過一塊寬1m，長(zhǎng)1.5m的平板，試求為使平板均勻保持50℃所需供給的熱量。解：空氣的定性溫度為：查相關(guān)表可得空氣在27℃時(shí)，ν=15.72×10-6m2/s；λ=0.02648W/(m℃)；Pr=0.697。首先計(jì)算雷諾數(shù)以判斷流動(dòng)狀態(tài)。12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程組近似解例題14℃的由于平板兩側(cè)面均以對(duì)流方式散熱，因此，供給平板的熱量應(yīng)為：因ReL小于臨界雷諾數(shù)，故全板長(zhǎng)的邊界層均為層流。利用熱邊界層厚度公式可求得平均給熱系數(shù)。12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程組近似解如果按國(guó)外最近出版的書中的公式計(jì)算：

由于平板兩側(cè)面均以對(duì)流方式散熱，因此，供給平板的熱量應(yīng)為：從對(duì)流換熱機(jī)理及影響因素入手，闡述了對(duì)流換熱的數(shù)學(xué)表達(dá)式和求解的方法。對(duì)流換熱過程可以用一組微分方程來描述。其中換熱微分方程是直接用來求解換熱系數(shù)的方程,能量微分方程描述流體內(nèi)的溫度分布,動(dòng)量微分方程和連續(xù)方程描述流體內(nèi)的速度分布。對(duì)流換熱微分方程組僅在層流條件下可以用分析方法求解。普朗特根據(jù)邊界層理論，應(yīng)用數(shù)量級(jí)分析方法，建立了邊界層微分方程組。邊界層積分方程組是求解對(duì)流換熱的一種近似方法。以平板層流換熱為例，由積分方程求解出流動(dòng)邊界層和熱邊界層的厚度，從而求出換熱系數(shù)及特征數(shù)方程式。12.6小結(jié)從對(duì)流換熱機(jī)理及影響因素入手，闡述了對(duì)流換熱的數(shù)學(xué)表達(dá)式和求第十二章對(duì)流換熱的基本方程和分析解第十二章12.1對(duì)流換熱概述12.2對(duì)流換熱微分方程組12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解12.5對(duì)流換熱邊界層積分方程近似解12.6小結(jié)第12章對(duì)流換熱的基本方程和分析解12.1對(duì)流換熱概述第12章對(duì)流換熱的基本方程和分析解流體與不同溫度的固體壁面接觸時(shí)，因相對(duì)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的熱量傳遞過程稱為對(duì)流換熱。對(duì)流換熱與熱對(duì)流的區(qū)別：①熱對(duì)流是傳熱的三種基本方式之一，但對(duì)流換熱不是；②對(duì)流換熱是導(dǎo)熱和對(duì)流這兩種基本傳熱方式的綜合；③對(duì)流換熱必然涉及流體與不同溫度的固體壁面(或液面)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。12.1對(duì)流換熱概述流體與不同溫度的固體壁面接觸時(shí)，因相對(duì)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的熱量傳遞綜合以上分析，可將對(duì)流換熱系數(shù)α與各影響因素寫成如下函數(shù)關(guān)系：式中，Ψ為壁面的幾何因素。12.1對(duì)流換熱概述對(duì)流換熱是流體的導(dǎo)熱和對(duì)流共同作用的結(jié)果，其影響因素主要有：①流體流動(dòng)的起因②流體有無相變③流體的流動(dòng)狀態(tài)④流體的物理性質(zhì)⑤換熱表面(指固體)的幾何因素綜合以上分析，可將對(duì)流換熱系數(shù)α與各影響因素寫成如下函數(shù)關(guān)(1)換熱微分方程由于在貼壁處流體受到黏性的作用，沒有相對(duì)于壁面的流動(dòng)，因此被稱為貼壁處的無滑移邊界條件。將傅里葉定律應(yīng)用于貼壁流體層，與牛頓冷卻公式聯(lián)系，得換熱微分方程：式中,為貼壁處流體的法向溫度變化率，℃/m；λ為流體的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；△T為傳熱面上的平均溫度差，℃，α為對(duì)流換熱系數(shù)，W/(m2·℃)。12.2對(duì)流換熱微分方程(1)換熱微分方程式中,(2)熱量傳輸微分方程推導(dǎo)依據(jù)是能量守恒定律，采用微元體分析法，假定流體不可壓縮，微元體只有內(nèi)能發(fā)生變化，忽略位能、動(dòng)能的變化。12.2對(duì)流換熱微分方程對(duì)于不可壓縮流體，不存在體積功，只有黏性力作功產(chǎn)生摩擦熱。微元體獲得的熱能有：一是通過微元體界面從外界以對(duì)流和導(dǎo)熱方式得到；二是由微元體的內(nèi)熱源產(chǎn)生。(2)熱量傳輸微分方程12.2對(duì)流換熱微分方程對(duì)于對(duì)于不可壓縮流體，不存在體積功，只有黏性力作功產(chǎn)生摩擦熱。

微元體獲得的熱能：一是由微元體界面從外界以對(duì)流和導(dǎo)熱方式得到；二是由微元體的內(nèi)熱源產(chǎn)生。微元體在熱量傳輸過程的熱力學(xué)第一定律為：

12.2對(duì)流換熱微分方程Q1為單位時(shí)間內(nèi)通過對(duì)流傳入微元體凈熱量；Q2為單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)熱傳入微元體的凈熱量；Q3為單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)熱源生成的熱量；Q4為單位時(shí)間里外界對(duì)微元體作黏性功產(chǎn)生的摩擦熱；Q5為單位時(shí)里內(nèi)微元體內(nèi)能的增加量。單位都是J/s。對(duì)于不可壓縮流體，不存在體積功，只有黏性力作功產(chǎn)生摩擦熱。在x方向，由于流體流動(dòng)，單位時(shí)間內(nèi)從EFGH面對(duì)流傳入和從ABCD面對(duì)流傳出的熱量分別為（U為每千克流體的內(nèi)能）：12.2對(duì)流換熱微分方程在x方向，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量為

在x方向，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量為：同理，可寫出y和z方向在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量。因此，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流凈傳入微元體的總熱量為：在x方向，由于流體流動(dòng)，單位時(shí)間內(nèi)從EFGH面對(duì)流傳入和從由動(dòng)量傳輸可知，對(duì)于不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為12.2對(duì)流換熱微分方程在x方向，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)流傳入微元體的凈熱量為導(dǎo)熱傳入微元體的熱量可按傅里葉定律計(jì)算，在λ不為常數(shù)的情況下，單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)熱傳入微元體的凈熱量為：

由動(dòng)量傳輸可知，對(duì)于不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為12.2為計(jì)算微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量，定義單位時(shí)間、單位體積所生成的熱量為內(nèi)熱源強(qiáng)度，用qv

表示。于是單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)熱源生成的熱量為：

12.2對(duì)流換熱微分方程外界流體對(duì)微元體所做黏性功的推導(dǎo)比較復(fù)雜，令單位體積流體由于黏性力作用產(chǎn)生的摩擦熱速率為Φ，稱為耗散熱。則為單位時(shí)間內(nèi)黏性功產(chǎn)生的熱能量為：

單位時(shí)間內(nèi)，微元體內(nèi)能的增加量為：

為計(jì)算微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量，定義單位時(shí)間、單位體積所生成的代入原式，消去dxdydz，整理后可得：

12.2對(duì)流換熱微分方程對(duì)于不可壓縮流體(或固體)，可認(rèn)為dU=cVdT，并且cV≈cP，于是：

代入原式，消去dxdydz，整理后可得：12.2方程中最后一項(xiàng)耗散熱是流體黏度和剪切應(yīng)變率的函數(shù)，對(duì)一般工程問題可忽略不計(jì)。于是可變?yōu)椋?/p>

如果流體的導(dǎo)熱系數(shù)λ為常數(shù)，且流體無內(nèi)熱源，即qv=0，則可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：此式稱為傅里葉-克希荷夫?qū)嵛⒎址匠?，適用于無內(nèi)熱源不可壓縮流體的對(duì)流換熱分析。稱為導(dǎo)溫系數(shù)，單位是m2/s。12.2對(duì)流換熱微分方程方程中最后一項(xiàng)耗散熱是流體黏度和剪切應(yīng)變率的函數(shù)，對(duì)一般工程

(3)連續(xù)性方程根據(jù)動(dòng)量傳輸理論，不可壓縮流體(ρ為常數(shù))的連續(xù)性方程為：

(4)運(yùn)動(dòng)(動(dòng)量傳輸)方程不可壓縮流體的納維-斯托克斯方程為：

12.2對(duì)流換熱微分方程

換熱方程式、熱量傳輸方程式、連續(xù)性方程式和運(yùn)動(dòng)(動(dòng)量傳輸)方程式。(3)連續(xù)性方程(4)運(yùn)動(dòng)(動(dòng)量傳輸)方程12這四個(gè)方程總稱為對(duì)流換熱微分方程組，是求解對(duì)流換熱系數(shù)的基本方程。如果將物性(ρ、λ、μ、ν)視為常數(shù)，求解對(duì)流換熱系數(shù)的基本途徑是：①

由連續(xù)性方程和動(dòng)量傳輸方程，結(jié)合定解條件，求出速度場(chǎng)；②由熱量傳輸方程，結(jié)合定解條件，求出溫度場(chǎng)；③由換熱微分方程求出局部對(duì)流換熱系數(shù)。對(duì)流換熱微分方程組描述了對(duì)流換熱過程所具有的共性，是對(duì)流換熱過程的一般描述。

12.2對(duì)流換熱微分方程這四個(gè)方程總稱為對(duì)流換熱微分方程組，是求解對(duì)流換熱系數(shù)的基單憑對(duì)流換熱微分方程組不能解出未知函數(shù)，必須給出具體問題的特定條件才能得到特定的解，描述對(duì)流換熱的具體條件稱為定解條件。用分析法求解對(duì)流換熱問題是非常困難的，直到普朗特提出了邊界層理論，并用數(shù)量級(jí)分析方法對(duì)微分方程組進(jìn)行了簡(jiǎn)化，其數(shù)學(xué)分析解才真正得到。只有在幾何形狀和邊界條件均簡(jiǎn)單的層流穩(wěn)態(tài)流動(dòng)條件下，對(duì)流換熱問題才可以得到精確的解。12.2對(duì)流換熱微分方程單憑對(duì)流換熱微分方程組不能解出未知函數(shù)，必須給出具體問題的特(1)溫度(熱)邊界層固體表面附近流體溫度發(fā)生劇烈變化的薄層稱為溫度邊界層(熱邊界層)，其厚度記為δT。對(duì)于對(duì)流換熱，類似于速度邊界層的定義，在熱量傳輸中通常將T＝Tw＋0.99(T∞－Tw)定義為δT的外邊界。12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組(1)溫度(熱)邊界層12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程

層流時(shí)，流體分層流動(dòng)，相鄰層間無流體的宏觀運(yùn)動(dòng)，因而在壁面法線方向上熱量的傳遞只能依靠流體內(nèi)部的導(dǎo)熱。湍流時(shí)，流動(dòng)邊界層可分為層流底層、緩沖層和湍流核心層。熱邊界層和流動(dòng)邊界層既有聯(lián)系又有區(qū)別。一般說，流動(dòng)邊界層總是從入口處(x=0)開始發(fā)展，而熱邊界層則不一定，它僅存在于壁面與流體間有溫差的地方。此外熱邊界厚度與流動(dòng)邊界層厚度也不一定相等，它們之間的關(guān)系主要決定于流體的狀態(tài)。12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組層流時(shí)，流體分層流動(dòng)，相鄰層間無流體的宏觀運(yùn)動(dòng)，因而在壁面

(2)邊界層對(duì)流換熱微分方程組

二維對(duì)流換熱問題可采用數(shù)量級(jí)分析方法，將方程式中數(shù)量級(jí)較小的項(xiàng)舍去，實(shí)現(xiàn)方程的合理簡(jiǎn)化,

通過比較各項(xiàng)的大小(普朗特的方法)由于dP/dx=0，可以得到邊界層對(duì)流換熱的微分方程組：四個(gè)方程包括四個(gè)未知數(shù)：υx、υy、T、a，加上定解條件可以求解。12.3對(duì)流換熱邊界層微分方程組(2)邊界層對(duì)流換熱微分方程組四個(gè)方程包括四個(gè)未知數(shù)：12.4.1平板層流換熱的分析解需要滿足的條件：①方程式中二階微分項(xiàng)的系數(shù)必須相等，這就需要ν=a或Pr=1。②溫度邊界條件必須與速度邊界條件相適應(yīng)。為此，只需將獨(dú)立變量T換成(T-Tw)/(T∞-Tw)。

替換

中的

12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解應(yīng)用布拉修斯的結(jié)果，可得到：12.4.1平板層流換熱的分析解12.4對(duì)流換熱邊界由換熱微分方程得：式中Nux稱為局部努塞爾特?cái)?shù)。波爾豪森研究了Pr不為1時(shí)的影響：代入流換熱系數(shù)表達(dá)式。在y=0處，溫度梯度為：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解可得溫度梯度：由換熱微分方程得：式中Nux稱為局部努塞爾特?cái)?shù)。波爾豪對(duì)上式積分可得：對(duì)寬為W、長(zhǎng)為L(zhǎng)的平板上的平均對(duì)流傳熱系數(shù)α，可用αx沿全板長(zhǎng)從0到L積分：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解由換熱微分方程得：對(duì)上式積分可得：對(duì)寬為W、長(zhǎng)為L(zhǎng)的平板上的平均對(duì)流傳熱系12.4.2液體金屬流過平板時(shí)的對(duì)流換熱對(duì)液體金屬沿平板流動(dòng)時(shí)的熱邊界層，假定熱邊界層內(nèi)整個(gè)截面上的實(shí)際流速可用主流速度來表示。一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解這樣，液體金屬流過平板的對(duì)流換熱問題，可看作半無限大物體(指液體金屬)，且表面溫度為常數(shù)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。以上對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算公式適用于恒壁溫，平板層流邊界層的情況，應(yīng)用范圍為：0.6<Pr<50，Re<5×105。12.4.2液體金屬流過平板時(shí)的對(duì)流換熱12.4對(duì)流公式中的誤差函數(shù)既可由表11-2，也可用收斂級(jí)數(shù)計(jì)算。對(duì)于很小的η值(即當(dāng)y→0時(shí))，取級(jí)數(shù)首項(xiàng)就可滿足要求：12.4對(duì)流換熱邊界層微分方程組的分析解

將T對(duì)y求導(dǎo)，并代入公式得：

公式中的誤差函數(shù)既可由表11-2，也可用收斂級(jí)數(shù)計(jì)算。對(duì)于很