懸臂梁自振頻率分析

懸臂梁自振頻率分析b專業(yè)：防災(zāi)減災(zāi)及防護(hù)工程學(xué)號(hào)：S201003087姓名：岳松林b專業(yè)：防災(zāi)減災(zāi)及防護(hù)工程學(xué)號(hào)：S201003087姓名：岳松林圖中：l=40.8cm，l=15.9cm，l=1.61cm，l=7.74cm，l=6.56cm，1234b=6.00cm，b=1.752cm，b=2.628cm整個(gè)懸臂梁的厚度均為h=0.616cm。圖1一、解析解第一步，梁的基本情況梁的運(yùn)動(dòng)偏微分方程（1）堂［EI（x）竺宜］+m（x）竺宜=p（x（1）如如dt2這里不考慮梁的軸向剪力和粘滯阻尼力，求它的自由振動(dòng)頻率，因而其運(yùn)動(dòng)偏微分方程為:目EI（x）"卜m（x寺=0（2）由梁的幾何物理參數(shù)參數(shù)（梁高h(yuǎn)，材料密度已知）我們可以得到:EI（x）=竺［R—?dú)猓↙-x）+a12L2（3）梁的邊界條件:自由端有剛性質(zhì)量:a(x)=_a^.(L一x)+aL2仲（0）=0固定端：〈|W（0）=0（4）（5）EI^⑶(L)=-32巾(L)m\EI^⑵(L)=一①2巾(i)(L)j1(6)m=abhp「1小j=3mb2=-ab3hp3(7)d2Eh3-(l-x"d2V(x,t)+-(a1-a2)(l-x)+a"dx212L2dx2L2h-p第二步，梁的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偏微分方程的求解(8)d2v(x,t)=0dt2(9)令a(x)=~(L-x)+a(9)12pa==constEh3將公式(9)(10)代入(8),、d4v(x,t)d3V(x,t)a(x)+2a'(x)+adx4dx3(10)d2v(x,t)d2v(x,t)八"(x)Faa(x)=0dx2dt2(11)該方程目前不能解。應(yīng)采用能量法，一、理論準(zhǔn)備基本概念是最大動(dòng)能等于最大勢(shì)能。vG,t)=^(x)z0sin①t即Rayleigh法求解多自由度體系比較方便。V=-fLEI(x)歸dx20dx2T=1fLm(x)(竺)2dx20dt2V=2Z02fLEI(x)(告)2dxT=1Z2①2max20fLm(x)(里)2dx0maxmax\LEI(x)(?)2dx~fLm(x)(^)2dx0但是要先假設(shè)振型一一形狀函數(shù)。比如均質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁的真實(shí)振型是正弦曲線的形狀函數(shù)。則計(jì)算結(jié)果近似度較高。等強(qiáng)度梁，不同位置截面應(yīng)力相同。ba(由=M(尤)=十中"所以等強(qiáng)度梁的振型應(yīng)為拋物線。書(shū)中有另外一種表述：fLm(x)v(x)dx①2=g"0d——d_yd為重力荷載引起的撓曲線形狀。0d此公式常用于任何類型體系頻率的近似分析。但應(yīng)考慮梁端的矩形平臺(tái)及加速度傳感器質(zhì)量的影響。二、具體計(jì)算LJLm(x)v(x)dx采用①2=gJL.——1^—dx找出重力靜載下?lián)隙惹€。0d梁分為兩段。左端0<x<L為等強(qiáng)度梁，特點(diǎn)是各個(gè)截面應(yīng)力相等；右端L<x<L+b為等截面梁，特點(diǎn)是截面不變，抗彎剛度不變。梁重力作用下?lián)隙惹€公式：L<x<L+bM(x)=-竺(L+b-x\2ah3EI(x)=E120<x<LM(x)=-號(hào)(L-x)2-mgb(L-b)-mgL2EI(x)=E冬=竺[1(l-x)+a]1212L2由EI⑴空哥=M⑴可以求出不同區(qū)間的&=vd(x)。

J1(x)J2(x)然后代入JLm(x)y(x)dx+JL+bmy(x)dx

fLm(x)(y(x))2dx+fL+bm(y(x))2dx0L整個(gè)積分求解過(guò)程用maple軟件計(jì)算，具體過(guò)程見(jiàn)附件1。解得其基頻為:f=20.378933858（圓頻率o=128.0446453rad/s）。二、數(shù)值模擬梁的尺寸和約束不變，傳感器簡(jiǎn)化為與梁等密度的質(zhì)量塊。用Turegrid建立有限元模型，如圖2所示。單元均采用六面體單元。模型共包含50548個(gè)節(jié)點(diǎn)，38892個(gè)單元。vibrationofabeam圖2采用LS-DYNA軟件隱式求解方法進(jìn)行計(jì)算求解，最后得到其基頻為：f=19.858Hz。三、實(shí)驗(yàn)測(cè)量實(shí)驗(yàn)過(guò)程中在梁左端壓一重物，實(shí)現(xiàn)相對(duì)固端約束，實(shí)驗(yàn)時(shí)在梁右邊自由端施加一個(gè)初始位移，采用DHDAS_5927動(dòng)態(tài)信號(hào)采集分析系統(tǒng)采集數(shù)據(jù)。得到的結(jié)構(gòu)任意一點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖3所示。

5.0圖35.57.06.06.55.0圖35.57.06.06.5在Origin7中可直接讀得其頻率（基頻）為：f=19.0624512Hz四、結(jié)論通過(guò)對(duì)給定的等強(qiáng)度懸臂梁的理論、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測(cè)量分析，得出此懸臂梁在三中方法下的基頻分別為：fi=20.378933858，f2=19.858Hz，f3=19.0624512Hz（下標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的第，種方法）。可見(jiàn)，理論解最大，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的結(jié)果最小，理論解和模擬結(jié)果的相對(duì)誤差為：號(hào)△X100%=2.56%,模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差為：1f—frCCE?CCE、、，，，，，，—、，一*,一2f3X100%=4.00%。應(yīng)該說(shuō)，三種方法的結(jié)果都是對(duì)真實(shí)解的逼近。理論解中米用3Ritz法，形狀函數(shù)只取到四階多項(xiàng)式，可能是結(jié)果偏大的一個(gè)原因；數(shù)值模擬方法中為建立有限元模型的便利