拉格朗日中值定理幾種特殊證法

屆學士學位畢業(yè)論文關于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法學號:姓名:班級:指導教師:專業(yè):系別:完成時刻：年月學生誠信許諾書本人鄭重聲明：所呈交的論文《關于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法》是我個人在導師王建珍指導下進行的研究工作及取得的研究功效。盡我所知，除文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包括其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究功效，也不包括為取得長治學院或其他教育機構(gòu)的學位或證書所利用過的材料。所有合作者對本研究所做的任何奉獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。簽名：日期：論文利用授權(quán)說明本人完全了解長治學院有關保留、利用學位論文的規(guī)定，即：學校有權(quán)保留送交論文的復印件，允許論文被查閱和借閱；學校能夠發(fā)布論文的全數(shù)或部份內(nèi)容，能夠采用影印、縮印或其他復制手腕保留論文。簽名：日期：指導教師聲明書本人聲明：該學位論文是本人指導學生完成的研究功效，已經(jīng)審閱過論文的全數(shù)內(nèi)容，并能夠保證題目、關鍵詞、摘要部份中英文內(nèi)容的一致性和準確性。指導教師簽名：時亥上拉格朗日中值定理在高等代數(shù)和數(shù)學分析的一些理論推導中起著重要作用，本論文為了更準確的理解拉格朗日中值定理，介紹了其幾種特殊的證明方式.第一本文從分析和幾何的角度構(gòu)造輔助函數(shù)對拉格朗日中值定理進行了證明,其中在分析法構(gòu)造輔助函數(shù)中應用了推理法、原函數(shù)法、行列式法及弦傾角法，在幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)中應用了作差構(gòu)造法、面積構(gòu)造法和旋轉(zhuǎn)坐標軸法;第二，應用了區(qū)間套定理證明法和巴拿赫不動點定理證明法對拉格朗日中值定理進行了證明;最后，本文為能將拉格朗日中值定理表述更為深刻，還將其應用到求極限,證明函數(shù)性態(tài)等具體問題中.關鍵詞：拉格朗日中值定理;區(qū)間套定理;巴拿赫不動點定理SeveralSpecialProofsontheLagrange’sMeanValueTheorem08404141ZHAOXia-yanMathematicsandAppliedMathematicsTutorWANGJian-zhenAbstractLagrange’smeanvaluetheoremplaysanimportantroleinsometheoryeducationsinHigheralgebraandMathematicalanalysis,thisthesisintroducesseveralparticularmethodsprovingmethodsinordertocomprehendLagrange’smeanvaluetheoremprecisely.Firstofall,applyinganalysisandgeometrywithconstructingauxiliaryfunctiontoproveLagrange’smeanvaluetheorem,intheaspectofanalysis,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionincludethereasoningmethod,originalfunctionmethod,thedeterminantmethodandchordanglemethod,Intheaspectofgeometric,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionsincludethepoorconstructionmethod,areastructuremethodandtherotatingcoordinatetransformationmethod;secondly,alsousethetheoremofnestedintervalprovingmethodandtheBanachfixedpointtheoremtoproveit;finally,thisarticleappliesLagrange’smeanvaluetheoremtothespecificquestioninthelimit,provingthefunctionofstateandotherissues.KeyWords:Lagrange’smeanvaluetheorem;Thetheoremofnestedinterval;TheBanachfixedpointtheorem摘要II拉格朗日中值定理在高等代數(shù)和數(shù)學分析的一些理論推導中起著重要作用，本論文為了更準確的理解拉格朗日中值定理介紹了其幾種特殊的證明方式.第一本文從分析和幾何的角度構(gòu)造輔助函數(shù)對拉格朗日中值定理進行了證明,其中在分析法構(gòu)造輔助函數(shù)中應用了推理法、原函數(shù)法、行列式法及弦傾角法，在幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)中應用了作差構(gòu)造法、面積構(gòu)造法和旋轉(zhuǎn)坐標軸法;第二，應用了區(qū)間套定理證明法和巴拿赫不動點定理證明法對拉格朗日中值定理進行了證明;最后，本文為能將拉格朗日中值定理表述更為深刻，還將其應用到求極限，證TOC\o"1-5"\h\z明函數(shù)性態(tài)等具體問題中II\o"CurrentDocument"引言1定理（羅爾中值定理）U］若函數(shù)f知足如下條件：1定理（拉格朗日中值定理）⑵若函數(shù)f知足如下條件：1\o"CurrentDocument"利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)1證明方式（推理法）2證明方式（原函數(shù)法）2證明方式（行列式法）3證明方式（弦傾角法）3利用幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)4證明方式（作差法）4證明方式（面積法）5證明方式（旋轉(zhuǎn)坐標軸法）55.利用巴拿赫不動點定理證明7求極限8證明不等式9證明等式9證明函數(shù)性態(tài)10估值問題10證明級數(shù)收斂11\o"CurrentDocument"參考文獻12\o"CurrentDocument"致謝13關于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法08404141趙夏燕數(shù)學與應用數(shù)學

指導教師王建珍引言微分中值定理作為微分學中的重要定理，是微分學應用的理論基礎，是微分學的核心理論.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，它們是溝通導數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具，其中拉格朗日中值定理是核心，從這些定理的條件和結(jié)論能夠看出羅爾定理是其特殊情形，柯西定理和泰勒定理是其推行.第一回顧下拉格朗日中值定理和它的預備定理一羅爾中值定理.定理(羅爾中值定理)［1］若函數(shù)f知足如下條件：(i)f在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)；f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；f(a)=f(b);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得f'G)=0.定理(拉格朗日中值定理)⑵若函數(shù)f知足如下條件：(i)f在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)；(ii)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;則在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得f句=竺嚴.b-a講義上給出了拉格朗日中值定理的大體證法，在此基礎上，下面給出了拉格朗日中值定理的幾種特殊證明方式.利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)拉格朗日中值定理中的兩個條件與羅爾中值定理中的前兩個條件相同，二者的區(qū)別僅僅在于區(qū)間端點處的函數(shù)值是不是相等，基于這種關系，自然想到構(gòu)造一個輔助函數(shù)，使它知足羅爾中值定理的條件，從而是不是由羅爾中值定理的結(jié)論導出拉格朗日中值定理的結(jié)論呢?事實上解決問題的關鍵是構(gòu)造的那個輔助函數(shù)F⑴要在[a,b]的端點有相同的函數(shù)值，即F(a)=F(b),以下將對如何利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)進行深切的分析.證明方式(推理法)由拉格朗日中值定理結(jié)論f'(提=f(b)—f,可知其右端是一個常數(shù)，故b-a可設f(b)-f(a)=們則有f(b)-f(a)=k(b-a)，即f(b)-kb=f(a)-ka仔細觀b-a察其特點，不難發(fā)覺一個能使F(a)=F(b)的新函數(shù)：F(x)=f(x)-kx,故F(x)就是證明中所要利用的輔助函數(shù).證明進程如下：令F(x)=f(x)-kx，其中k=f(b)-f(a),由題設可知，F(xiàn)(x)在[a,b]上持續(xù),b-a在(a,b)內(nèi)可導，且F(a)=F(b),即F(x)知足羅爾中值定理，故在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得F任)=f'(&)-k=0,即f'(&)=f(b)-f(a)證畢.b-a證明方式(原函數(shù)法)這種方式是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù).由拉格朗日中值定理的變形f(b)-f(a)=ff(&)(b-a)得f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,令&=x得ff(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,兩邊積分可得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x+c=0,取c=0得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x=0,若令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,容易驗證F(a)=F(b)=bf(a)-af(b),知F(x)知足羅爾中值定理的條件，所以F(x)就是所求的輔助函數(shù)，證明進程如下：令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,xe[a,b],因為函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)持續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且F(a)=F(b),所以至少存在一點&e(a,b)，使得

F任)=0,又F'(提=f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)],所以即f'(&)=f(b)—f(")，證b一a畢.證明方式(行列式法)af(a)1由于想取得F(a)=F(b)，故可按照行列式的性質(zhì)⑶，設F(x)=bf(b)1,xf(x)1所以能夠取得輔助函數(shù)而且知足F(a)=F(b)=0.證明如下：af(a)1設F(x)=bf(b)1xG[a,b],則由行列式的性質(zhì)可得F(a)=F(b)=0，所xf(x)1以F(x)知足羅爾中值定理，因此至少存在一點&G(a,b)，使得F(提=0，又afaf(a)1a-bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)11f'(x)01f(x)0=f(a)一f(b)+f(x)(b一a),所以F'(&)=f(a)-f(b)+f'(&)(b-a)=0，即f(&)=f(?一f(a)b-a證明方式(弦傾角法)目的是為了取得F(a)=F(),設連接持續(xù)曲線L:{(x,f(x))Ia<x<b},兩頭點A和8的弦為AB(圖1)，其傾傾斜角為9,則TOC\o"1-5"\h\z兀兀——<9<,22cos9b-af(b)cos9-bsin9=cos9b-af(b)cos9-bsin9=f(a)cos9-acos9,也即有所以令F(x)=f(x)cos9-xsin9,如此所取得的輔助函數(shù)F(x)就可以知足要求,證明如下：…WJo,,一~一設F(x)=f(x)cos0-xsin0,其中曲線L:{(x,f(x))Ia<x<b},如上圖所示,且一土<0v%,則可得F(x)知足羅爾中值定理的條件，故至少存在一點22&e(a,b)，使得F'(提=0，又F'(提=f'(&)cos0-sin0，所以f'(&)=f(b)-f(a)b-a證畢.利用幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的思想方式解決數(shù)學問題有著超級直觀的效果,對于微分中值定理的證明，利用幾何圖形的特性觀察分析，一樣能夠作出適合的輔助函數(shù),下面用不同的方式來加以說明.證明方式(作差法)因為曲線L與其弦赫別離在x=a和x=b兩點的高度對應相同(如圖1)，所以不妨考慮過曲線方程和弦方程的差來構(gòu)造輔助函數(shù)，于是令F(x)=f(x)-[f(?f(a)(x-a)+f(a)],b-a或F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-b)+f(b)],b-a則可得F(a)=F(b),因此所構(gòu)函數(shù)F(x)知足羅爾中值定理.證明方式如下：設F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-a)+f(a)],F(x)在閉區(qū)間[a,b]上持續(xù)，b-aF(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且F(a)=F(b),所以F(x)知足羅爾中值定理，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使F任)=0,即F'(&)=f(&)-f^f=0,b-a整理可得f(&)=f(b)一f(a).b-a證明方式(面積法)如圖1所示，曲線L上任意一點P3,f(x))與弦A8組成AABP的面積S(x)恰好在區(qū)間[a,b]上知足羅爾中值定理的三個條件，AABP的面積af(a)1S(x)=2bf(b)1,

xf(x)1而當點P與點A或B重合時，即x=a或x=b時，S(x)=0,因此加以化解可引入af(a)1輔助函數(shù)F(x)=bf(b)1,xe[a,b],現(xiàn)在F(a)=F(b)=0.證明方式如下：xf(x)1af(a)1令F(x)=bf(b)1,xe[a,b],則由行列式性質(zhì)容易驗證F(a)=F(b)=0，xf(x)1所以F(x)知足羅爾中值定理的三個條件,所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得F0)=0，又af(a)1a一bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)1=f(a)-f(b)+f'(x)(b-a),1f'(x)01f'(x)0所以昨)=f(a)-f(b)+f'(^)(b-a)=0,即f0)=f(2—f(a)b一a證明方式(旋轉(zhuǎn)坐標軸法)如下圖2所示，按弦AB的傾斜角旋轉(zhuǎn)坐標系，可使新坐標系的X軸與原坐標系中的弦AB平行,則原曲線的方程在旋轉(zhuǎn)變換下必然知足羅爾中值定理的條件,通過羅爾中值定理則可得出結(jié)論.證明如下：

fX、=xcos0+jsin0h按照新舊坐標之間的關系(-.八八，[Y=fX、=xcos0+jsin0h按照新舊坐標之間的關系(-.八八，[Y=—xsin0+jcos0*令Y(x)=-xsin0+f(x)cos0,因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導，所以函數(shù)Y(x)在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導，又由tan0=f(b)一f0),即如=f(b)-f(。)，可得b—acos0b—a—asin0+f(a)cos0=—bsin0+f(b)cos0,即Y(a)=Y(b),從而由羅爾中值定理可得，在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得Y?)=0,即Y'(&)=—sin0+f(&)cos0=0,故)=fb)f.b—a利用閉區(qū)間套定理證明引理1(區(qū)間套定理)⑷若是閉區(qū)間系列｛［',bn］｝知足下列條件則存在唯一實數(shù)&e[a,b](n=1,2,)，且有l(wèi)ima=&=limb.nnnnnT8nT8引理2［5］若是f(x)在［a,b］上持續(xù)，那么必定存在c,de(a,b)，使得b—ad—c=壬，f(d)一f(c)=f(b)一f(b—a利用引理1和引理2,即可證明拉格朗日中值定理，反復利用引理2則可得區(qū)間序列｛[a.,bn]｝，知足[a,b]n[a,b]n[a,b]n...,

1122b-a=-2-(b-a),f(b,,-a,,)=f(b)-f(a)b-a由區(qū)間套定理得必有He[a,b]u(a,b)(n=1,2,…),使得因為f3）在&處可導，所以由導數(shù)的概念得「f(b)-f&)「f(a)-f(H)〃建、lim—.————=lim————-——=f(H),n—3b—Hn—3a—H從而當nT8時，有f(b「-f(H)=f低)-(bn-H)+。(片一H),f(an)-f(H)=f'(H)?(an-H)+°(an-H),f(b-a)=ff(H)+°(bY)-°(a~H)b-ab-ab-annnnnn又因為lim°(b「H)=lim(°(bnY)_b-a八b-HnT3nsrnnslim°(an-g)=lim(°(an_&)n—3b—an—3a—Hnnsa-H)=0,b-a所以從而有l(wèi)imf(叩-f(叩=f(H)，n—3b—af^=f(H).b一a5.利用巴拿赫不動點定理證明引理3(巴拿赫不動點定理)［6］在完備的氣宇空間中的緊縮映射必存在唯一的不動點.顯然,任意閉區(qū)間在通常的歐幾里得氣宇下是完備的，由此可證在［a,b］上凸或凹的函數(shù)f(x)的拉格朗日中值定理.對任意小的￡>0,在閉區(qū)間［a+8,b-8］上構(gòu)造自映射Ax=x-f'(x)+f(b)一f⑷.

b一a能夠證明A是一個緊縮映射［7］,事實上，對于x,xe［a+￡,b-8］,不妨設xvx,1212則有|Ax2-Ax^\=|(x2-xi)-［f'(x2)-f叫)］|,假設f(x)在區(qū)間［a,b］上是凹的，那么f'(x)在區(qū)間［a+8,b-8］內(nèi)單調(diào)增加，所以f(x)-f(x)>0,從而必然存在21一個數(shù)人e(0,1)，使得0罰(x2-xi)vf'(x2)一f，(xi),因此|Ax2-AxJ<|x2-氣1(11)，所以A是閉區(qū)間［a+8,b-8］上的緊縮映射，由引理3得，存在唯一的一點&e(a,b)，使得Ag=&，于是f(b)-f(a)=f(&)，b-a故定理得證.6.拉格朗日中值定理的應用拉格朗日中值定理作為中值定理的核心，有著普遍的應用，在很多題型中都起到了化繁為簡的作用.求極限由拉格朗日中值定理指出，若是f在［a,b］持續(xù)，在(a,b)可導，則有f(b)-f(a)=f'(&)(b-a)av&vb，因此對Vxe(a,b)，有f(x)—f(a)=f(&)(x—a)a〈&vx,(1)公式(1)表明，求某些差式的極限，可轉(zhuǎn)化為求積式型的極限，以化簡極限的計算或解決某些運算,用別的方式求不出極限式子.固然也要具體情形具體分析，并非是所有差式型的極限都能適合于運用中值定理，應以簡便為原則選用.問題求limn2(%x-n坦:x)(x>0).ns解令f(t)=xt，則對任何自然數(shù)n,f(t)在［-L,1］上知足拉格朗日中n+1n值定理的條件，而且f(t)=xtlnx是t上的嚴格單調(diào)函數(shù)，因此在［-L,1］上由拉n+1n格朗日中值定理，得n2(nx—n+1x)=n2[f(1)—f(」)]=n2f'(&)(1--^-)="2x&lnx，nn+1nn+1n(n+1)—<&<-!-，當n—+8時,&—0,n+1n故原極限二lim—n—x&lnx=lnx.n—8n(n+1)證明不等式證明不等式的方式有很多，但對于某些不等式，用初等解法不必然能解得出來，例如描述函數(shù)的增量與自變量增量關系的不等式或中間一項能夠表示成函數(shù)增量形式等的題型.這時若是考慮用拉格朗日中值定理,會比變較容易簡單.問題證明|sinx—siny|<|x—y|.證明設f(x)=sinx，顯然f(x)在［x,y］上知足拉格朗日中值定理條件，所以存在&g(x,y)，使得f(x)—f(y)=f'G)(x-y),即sinx—siny=(x—y)cos&,又因為|cos&|<1,因此有|sinx—siny|<|x—y|.證明等式用拉格朗日中值定理證明等式也是其應用中很重要的一項.證明的目標在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子.問題證明當|x|<1時，有arcsinx+arccosx=兀；2.證明設fG)=arcsinx+arccosx,xeL1,1」，顯然f(x)eC[—1,1],而且f(x)11在(—1,1)上可微，f(x)=(arcsinx+arccosx)=.一.=0，由拉格朗日中值定理的推論可得f(x)=常數(shù)，xel—1,1］，又因為0e(—1,1),且xeL1,1].f(0)=arcsin0+arccos0=兀2,故arcsinx+arccosxeL1,1].證明函數(shù)性態(tài)因為拉格朗日中值定理溝通了函數(shù)與其導數(shù)的聯(lián)系，很多時候咱們能夠借助它的導數(shù),研究導數(shù)的性質(zhì)從而了解函數(shù)在整個概念域區(qū)間上的整體熟悉.例如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號、單調(diào)性、一致持續(xù)性、凸性等，都可能用到拉格朗日中值定理的結(jié)論.通過對函數(shù)局部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，是數(shù)學研究中的一種重要方式.問題設f(x)eC(a,+8),f'(x)在(a,+8)存在,而且f(a)=0,當x>a時，f'(x)>0，求證當x>a時，f(x)>0.證明Vx1>a，由已知得f(x)在［a,氣］上知足拉格朗日中值定理，毛e［a,氣］,使f(氣)一f(a)=f(&)?-a),因為f任)>0,x「a>0,所以f(x「=f(&)(尤］一a)>0,所以Vx1>a，有f'(x「>0,即Vxe(a,+8),有f(x)>0.估值問題證明估值問題，一般情形下選用泰勒公式證明比較簡便.專門是二階及二階以上的導函數(shù)估值時.但對于某些積分的估值,能夠采用拉格朗日中值定理來證明.問題設f〃(x)在［a,b］上持續(xù)，且f(a)=f(b)=0，試證明』a|f"(x)|dx>—-—max|f(x)|.bb―aa<x<b證明若f(x)三0,不等式顯然成立.若f(x)不恒等于0,存在ce(a,b)，使max|f(x)|=f(c),在［a,c］及［c,b］上別離用拉格朗中值定理，得a<x<b作)=也f)=知,1c-a2c-b從而f(c)(b—a)(b—c)(c—a)jT廣⑴版』&i|f〃⑴dx|盤&1f〃(x)dx=1尸&)-尸(&)1=b&&21再由(f(c)(b—a)(b—c)(c—a)4證明級數(shù)收斂問題若一正項級數(shù)芝a(a>0)發(fā)散，s=a+a++a，證明級數(shù)nnn12nn=1切土(6>0)收斂.S1+8n=1n證明作輔助函數(shù)f(x)=才，則f'(x)=—XL-，當n>2時，在［sn1，七］上用拉格朗日中值定理，可得f(U一f(SQ=f仕)(S<&<S),S—Snn—1nn于是工〈―=-±)，s1+6g1+66s6s6由￡L(上-—)收斂[8],可得所證.6S6S6n=2n—1n7.結(jié)語本文初步探討了拉格朗日中值定理定理的幾種特殊證法，其中給出了分析法構(gòu)造輔助函數(shù)、幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)、區(qū)間套定理法和巴拿赫不動點定理法.幾何法是利用圖形的特征進行分析，從而構(gòu)造出需要的輔助函數(shù)，與分析法有異曲同工之妙；區(qū)間套定理法和巴拿赫不動點定理法，它們不需要構(gòu)造輔助函數(shù)，也能夠證明，雖說是一種專門好的證法，可是比較抽象難懂.最后對拉格朗日中值定理在求極限、證明不等式、證明等式、證明函數(shù)性態(tài)、估值問題、證明級數(shù)斂散性六方面的應用做了簡單的介紹，從而使咱們加深對拉格朗日中值定理的熟悉.參考文獻華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）[