普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試卷及湖北卷

2007年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）本試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必定自己的姓名、準(zhǔn)考據(jù)號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考據(jù)號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定地點(diǎn).2．選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需變動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標(biāo)號(hào)．答在試題卷上無(wú)效．3．將填空題和解答題用0.5毫米的黑色墨水署名筆或黑色墨水鋼筆挺接答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題地區(qū)內(nèi)．答在試題卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．tan690°）的值為（Ａ．3Ｂ．3Ｃ．3Ｄ．3332．假如Ux|x是小于9的正整數(shù)，A1，2，3，4，，那么UUB（）B3，4，5，6痧AＡ．1，2Ｂ．3，4Ｃ．5，6Ｄ．7，822n的張開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為（）3．假如3xx3Ａ．10Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．32x1４．函數(shù)y0)的反函數(shù)是（）2x(x1Ａ．ylog2x1(x1)Ｂ．ylog2x11)x1x(x1Ｃ．ylog2x1(x1)Ｄ．ylog2x1(x1)x1x1D1C15．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，A1GG為棱A1B1上的一點(diǎn)，且AG1(0≤≤1)．則點(diǎn)G到平面D1EF的距離B1為（）EFC225ADBＡ．3Ｂ．Ｃ．Ｄ．2356．為了認(rèn)識(shí)某學(xué)校學(xué)生的身體發(fā)育狀況，抽查了該校100名高中男生的體重狀況，依據(jù)所1得數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻次散布直方圖如右圖所示．依據(jù)此圖，預(yù)計(jì)該校2000名高中男生中體重要于70.5公斤的人數(shù)為（）A．300B．360C．420D．450頻次0.08組距0.070.060.050.040.030.020.01體重（kg）54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.57．將5本不一樣樣的書(shū)全發(fā)給4名同學(xué)，每名同學(xué)最罕有一本書(shū)的概率是（）A．1515C．24D．4864B．1251251288．由直線yx1上的一點(diǎn)向圓(x3)2y21引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A．1B．22C．7D．3．設(shè)a43)(，，在b上的投影為52，b在x軸上的投影為2，且|b|≤14，則b為（）9a2A．(2，14)B．2，2C．2D．(2，8)72，710．已知p是r的充分條件而不是必需條件，q是r的充分條件，s是r的必需條件，q是s的必需條件，現(xiàn)有以下命題：①s是q的充要條件；p是q的充分條件而不是必需條件；③r是q的必需條件而不是充分條件；④p是s的必需條件而不是充分條件；⑤r是s的充分條件而不是必需條件．則正確命題的序號(hào)是（）A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)地點(diǎn)上．xy3≥0，11．設(shè)變量x，y知足拘束條件xy≥0，則目標(biāo)函數(shù)2xy的最小值為．2≤x≤3，x2y2M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)212．過(guò)雙曲線1左焦點(diǎn)F1的直線交曲線的左支于為其右焦點(diǎn)，432則MF2NF2MN的值為_(kāi)_____．13．已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y1x2，則2f(1)f(1)＿＿＿＿．14．某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是1，他投球10次，恰巧投進(jìn)3個(gè)球的概率為2．（用數(shù)值作答）y（毫克）15．為了預(yù)防流感，某學(xué)校正教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物開(kāi)釋過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)1間t（小時(shí)）成正比；藥物開(kāi)釋完成后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為ta1（a為常數(shù)），以以下圖，依據(jù)圖中供給的信息，回y16答以下問(wèn)題：（I）從藥物釋松開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)O0.1t（小時(shí)）間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為．（II）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋松開(kāi)始，最少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)f(x)2sin2π3cos2x，xππx4，．42（I）求f(x)的最大值和最小值；（II）若不等式f(x)m2在xππ，上恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．4217．（本小題滿(mǎn)分12分）3如圖，在三棱錐VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且ACBCa，∠VDC0π．Ｖ2（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；ＣBC與平面VAB所成的角為π．（II）試確立角的值，使得直線A6ＢＤ18．（本小題滿(mǎn)分12分）某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每禮拜賣(mài)出432件，假如降廉價(jià)錢(qián)，銷(xiāo)售量能夠增添，且每禮拜多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一禮拜多賣(mài)出24件．（I）將一個(gè)禮拜的商品銷(xiāo)售收益表示成x的函數(shù)；（II）怎樣定價(jià)才能使一個(gè)禮拜的商品銷(xiāo)售收益最大？19．（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)二次函數(shù)f(x)x2axa，方程f(x)x0的兩根x1和x2知足0x1x21．（I）務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）試比較f(0)f(1)f(0)與1的大小．并說(shuō)明原因．1620．（本小題滿(mǎn)分13分）已知數(shù)列{an}和{bn}知足：a11，a22，an0，bnanan1（nN*），且{bn}是以q為公比的等比數(shù)列．（I）證明：an2anq2；（II）若ca2a2n，證明數(shù)列{c}是等比數(shù)列；n2n1n（III）乞降：111111．a(chǎn)1a2a3a4a2n1a2n421．（本小題滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x22py（p0）訂交于A，B兩點(diǎn)．（I）若點(diǎn)N是點(diǎn)C對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；（II）能否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明原因．yCBAOxN（本題不要求在答題卡上繪圖）2007年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）試題參照答案一、選擇題：本題察看基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每題5分，滿(mǎn)分50分．1．Ａ2．Ｄ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂ7．Ａ8．Ｃ9．Ｂ10．Ｂ二、填空題：本題察看基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每題5分，滿(mǎn)分25分．312．813．311．2，0≤t≤1，14．1510t1015．y；0.6t11281101，t1610三、解答題：本大題共6小題，共75分．16．本小題主要察看三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力．解：（Ⅰ）∵f(x)1cosπ2x3cos2x1sin2x3cos2x2512sin2xπ．3ππππ2π≤12sin2xπ≤3，又∵x，，∴≤2x≤，即2342633∴f(x)max3，f(x)min2．（Ⅱ）∵f(x)m2f(x)2mππf(x)2，x，，42∴mf(x)max2且mf(x)min2，∴1m4，即m的取值范圍是(14)，．17．本小題主要察看線面關(guān)系、直線與平面所成角的相關(guān)知識(shí)，察看空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)識(shí)題的能力．解法1：（Ⅰ）∵ACBCa，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中點(diǎn)，∴CDAB，又VC底面ABC．∴VCAB．于是AB平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CHVD于H，則由（Ⅰ）知CD平面VAB．連結(jié)BH，于是CBH就是直線BC與平面VAB所成的角．依題意CBHπ，因此6在Rt△CHD中，在Rt△BHC中，

CH2asin；2CHasinπa，62∴sin2．2∵0ππ，∴．24ππ故當(dāng)時(shí)，直線BC與平面VAB所成的角為．46解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，Daa，，2atan，，，，222于是，VDaa2atan，CDaa，AB(a，a，0)．2，，22，，0226·，，·aa1212ABCD進(jìn)而，，，即．ABCD(aa0)20aa00222同理·，，·aa21212，，，atanaa0022222即ABVD．又CDVDD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，z則由n·AB0，n·VD0．Vaxay，0得可取

aa2．x2yaztan022Cn(11，，2cot)，又BCBy(0，a，0)，DAπ·a2，x于是sinnBCsin6n·BC·22cot22a即sin2ππ∵0，∴=．224故友πBC與平面VAB所成的角為π=時(shí)，直線．46解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DC，DB所在的直線分別為x軸、y軸，成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，2，，，2，，C2，，，222V2，，2，于是DV2，，2atan，DC2，，，22222AB(0，2a，0)．進(jìn)而AB·DC·2，，0，即ABDC．(0，2a，0)2a00同理·，，2，，2atan0，即ABDV．227又DCDVD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，2ay0，則由n·AB0，n·DV0，得2ax2aztan0．22可取n(tan，0，1)，又22，，VBC，22π·2atan22于是sinnBC，Cy2sin6··2BnBCa1tanπππD即sinAx，∵0，∴=．224故友π4時(shí)，π即直線BC與平面VAB所成角為．18．本小題主要察看依據(jù)實(shí)詰問(wèn)題成立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)詰問(wèn)題的能力．解：（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣(mài)的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)禮拜的盈余為f(x)，則依題意有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知條件，24k·22，于是有k6，因此f(x)6x3126x2432x9072，x[0，30]．（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ），我們有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)．x0，22(2，12)1212，30f(x)00f(x)極小極大故x12時(shí)，f(x)達(dá)到極大值．由于f(0)9072，f(12)11264，因此定價(jià)為81218元能使一個(gè)禮拜的商品銷(xiāo)售收益最大．19．本小題主要察看二次函數(shù)、二次方程的基天性質(zhì)及二次不等式的解法，察看推理和運(yùn)算能力．解法1：（Ⅰ）令g(x)f(x)xx2(a1)xa，，01a，a，00則由題意可得1，21a10a322．g(1)，0a32，或a32，g(0)，220故所務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍是，．(0322)（II）f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，令h(a)2a2．當(dāng)a0時(shí)，h(a)單一增添，當(dāng)0a322時(shí)，0h(a)h(3222(322)2(17122)2)217121，即f(0)f(1)f(0)1．121616解法2：（I）同解法1．（II）f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，由（I）知0a322，∴42a1122170．又42a10，于是2a211(32a21)1(42a1)(42a1)0，161616即2a210，故f(0)f(1)f(0)1．1616解法3：（I）方程f(x)x0x2(a1)xa0，由韋達(dá)定理得0，xx0，12x1x21a，x1x2a，于是0x1x21x1x20，(1x1)(1x2)0，(1x1)(1x2)0a，0a，0a322．1a3或32222a故所務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，322)．9（II）依題意可設(shè)g(x)(xx1)(xx2)，則由0x1x21，得f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)x1x2(1x1)(1x2)[x1(1x1)][x2(1x2)]x112x21x221x11，故f(0)f(1)f(0)2216．1620．本小題主要察看等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和乞降公式等基本知識(shí)及基本的運(yùn)算技術(shù)，察看分析問(wèn)題能力和推理能力．解法1：（I）證：由bn1q，有an1an2an2q，∴an22(nN*)．bnanan1ananq（II）證：anqn2q2，a2n1a2n3q2a1q2n2，a2na2n2q2a2qn2，cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2．cn是首項(xiàng)為5，以q2為公比的等比數(shù)列．（III）由（II）得11q22n，11q22na2na2na2，于是1a1111111111a1a2a2na1a3a2n1a2a4a2n1111111111aq2q4q2n2aq2q4q2n21231111．2q2q1q2n2當(dāng)q1時(shí)，11131111a1a2a2n2q2q4q2n23．2當(dāng)q1時(shí)，11131111a1a2a2n2q2q4q2n231q2n21q2103q2n12q2n2(q2．1)3，q，故1112n1q2n1a1a2a2n，q1.q2n2(q21)解法2：（I）同解法1（I）．（II）證：cn1a2n12a2n2q2a2n12q2a2nq2(nN*)，又c1a12a25，cna2n12a2na2n12a2ncn是首項(xiàng)為5，以q2為公比的等比數(shù)列．（III）由（II）的近似方法得a2n1a2n(a1a2)q2n23q2n2，111a1a2a3a4a2n1a2n，a1a2a2na1a2a3a4a2n1a2na2k1a2k3q2k23q2k2，k1，2，，n．a(chǎn)2k1a2k2q4k421113(1q2q2n2)．a(chǎn)1a2a2k2下同解法1．21．本小題主要察看直線、圓和拋物線等平面分析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，察看綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，p)，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立得2，y得x2py消去ykx．px22pkx2p20．y由韋達(dá)定理得x1x22pk，x1x22p2．B于是S△AMNS△BCNS△ACN1x2．C·2px1A2px1x2p(x1x2)24x1x2OxNp4p