2021年最新人教版八年級數(shù)學上冊第十二章角的平分線的性質(zhì)第2課時課件

12.3角的平分線的性質(zhì)（第2課時）人教版數(shù)學八年級上冊12.3角的平分線的性質(zhì)人教版數(shù)學八年級上冊1

我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，反過來，到角的兩邊的距離相等的點是否在這個角的平分線上呢？我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等23.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.1.理解角平分線判定定理.2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.3.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.1.理解角平分3ODPP到OA的距離PDP到OB的距離PE.P是角平分線上的點幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB.∴PD=PE.ACB角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

敘述角平分線的性質(zhì)定理.不必再證全等E知識點1

角平分線的判定ODPP到OA的距離PDP到OB的距離PE.P是角平分線上的4PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB，

∴PD=PE.幾何語言：猜想:想一想這個結(jié)論正確嗎？PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．5已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.證明：作射線OP，∴點P在∠AOB的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE

∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP猜想證明已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=6判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.判定定理：PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點7例

如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm，D即為所求.O方法點撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點.角平分線的判定的應(yīng)用素養(yǎng)考點例如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等81、如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，PC＝3cm，當PD＝____cm時，點P在∠AOB的平分線上．332、如圖，AB∥CD，點P到AB，BC，CD的距離相等，則點P是

的平分線與

的平分線的交點．∠ABC∠BCD鞏固練習1、如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于9

分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點.三角形的內(nèi)角平分線知識點2分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)10

分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等.你能證明這個結(jié)論嗎？分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂11已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明結(jié)論已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，證明：過12點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條13如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點O到△ABC三邊的距離和.

MENABCPOD過點O作ON⊥BC,

OE⊥AB,垂足分別為點N，點E

.由題意得，ON+OE+OM=12.BCA鞏固練習P如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD14解：連接OC.MENABCPOD(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.解：連接OC.MENABCPOD(2)若△ABC的周長為32151.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長條件歸納總結(jié)1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分16例

如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°

C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，即三條角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝

∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝

∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.利用三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)求值素養(yǎng)考點例如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△A17方法點撥

由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．方法點撥由已知，O到三角形三邊的距離相等，得18角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定

歸納總結(jié)角的平分線的性質(zhì)結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DP191、到三角形三邊距離相等的點是(

)A．三邊垂直平分線的交點B．三條高所在直線的交點C．三條角平分線的交點D．三條中線的交點2、如圖，河南岸有一個工廠在公路西側(cè)，工廠到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與B的距離為300m，則工廠的位置在哪里？解：作小河與公路夾角的角平分線BM，在BM上截取BP＝1.5cm，則點P即為所求的工廠的位置C鞏固練習1、到三角形三邊距離相等的點是()解：作小河與公路夾角的20證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC.如圖，已知，BE＝CF，BF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，BF，CE交于點D.求證：AD平分∠BAC.連接中考證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，如圖，已知，BE＝CF，BF211.如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN，OA，OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA，OB的距離相等，請確定該超市的位置P.小區(qū)CPAOBMN基礎(chǔ)鞏固題1.如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN，OA222.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

2.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF23過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.E證明：∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，

FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，

FH⊥AD，

FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFD能力提升題如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.E證24角平分線的判定定理內(nèi)容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上作用判斷一個點是否在角的平分線上結(jié)論三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點

課堂小結(jié)角平分線內(nèi)容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上作2512.3角的平分線的性質(zhì)（第2課時）人教版數(shù)學八年級上冊12.3角的平分線的性質(zhì)人教版數(shù)學八年級上冊26

我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，反過來，到角的兩邊的距離相等的點是否在這個角的平分線上呢？我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等273.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.1.理解角平分線判定定理.2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.3.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.1.理解角平分28ODPP到OA的距離PDP到OB的距離PE.P是角平分線上的點幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB.∴PD=PE.ACB角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

敘述角平分線的性質(zhì)定理.不必再證全等E知識點1

角平分線的判定ODPP到OA的距離PDP到OB的距離PE.P是角平分線上的29PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB，

∴PD=PE.幾何語言：猜想:想一想這個結(jié)論正確嗎？PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．30已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.證明：作射線OP，∴點P在∠AOB的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE

∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP猜想證明已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=31判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.判定定理：PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點32例

如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm，D即為所求.O方法點撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點.角平分線的判定的應(yīng)用素養(yǎng)考點例如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等331、如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，PC＝3cm，當PD＝____cm時，點P在∠AOB的平分線上．332、如圖，AB∥CD，點P到AB，BC，CD的距離相等，則點P是

的平分線與

的平分線的交點．∠ABC∠BCD鞏固練習1、如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于34

分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點.三角形的內(nèi)角平分線知識點2分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)35

分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等.你能證明這個結(jié)論嗎？分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂36已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明結(jié)論已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，證明：過37點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條38如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點O到△ABC三邊的距離和.

MENABCPOD過點O作ON⊥BC,

OE⊥AB,垂足分別為點N，點E

.由題意得，ON+OE+OM=12.BCA鞏固練習P如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD39解：連接OC.MENABCPOD(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.解：連接OC.MENABCPOD(2)若△ABC的周長為32401.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長條件歸納總結(jié)1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分41例

如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°

C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，即三條角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝

∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝

∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.利用三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)求值素養(yǎng)考點例如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△A42方法點撥

由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．方法點撥由已知，O到三角形三邊的距離相等，得43角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定

歸納總結(jié)角的平分線的性質(zhì)結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DP441、到三角形三邊距離相等的點是(

)A．三邊垂直平分線的交點B．三條高所在直線的交點C．三條角平分線的交點D．三條中線的交點2、如圖，河南岸有一個工廠在公路西側(cè)，工廠到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與B的距離為300m，則工廠的位置在哪里？解：作小河與公路夾角的角平分線BM，在BM上截取BP＝1.5cm，則點P即為所求的工廠的位置C鞏固練習1、到三角形三邊距離相等的點是()解：作小河與公路夾角的45證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC.如圖，已知，BE＝CF，BF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，B