第一輪復(fù)習(xí)自己整理絕對(duì)經(jīng)典2016立體幾何文科-第一輪

立體幾何題型總結(jié)（2015版文科）重要定理：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.P證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于l1,l2，因?yàn)镻M,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.BMAθO一：夾角問(wèn)題①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次.②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．異面直線所成角：范圍：(0,90]（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線構(gòu)成三角形；解三角形求出角。(常aca2b2c2cos)用到余弦定理θb2ab2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；ABAC(3)向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角 cos (計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角 )AB AC直線與平面所成的角 ＝0o時(shí)，b∥ 或b斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；向量法：設(shè)直線l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角為ln，則有sincos的求法ln二面角l的平面角，（1）定義法：在棱l上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角—l—的平面角。（2）三垂線法：（三垂線定理法： A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）向量法：設(shè)n1，n2是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大?。舳娼莑的平面角為，則cosn1n2．n1n2二、空間距離問(wèn)題兩異面直線間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖， m和n為兩條異面直線， n 且m// ，則異面直 m

m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算,直n接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解；向量法：點(diǎn)到直線距離：在直線l上找一點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)且垂直于直線l的向量為n，P則定點(diǎn)到直線l的距離為dcos,nnnAO點(diǎn)到平面的距離方法一：幾何法。步驟1：過(guò)點(diǎn)P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法)等體積法步驟：①在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；③由V=1S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.3方法二：坐標(biāo)法。PnnAPdAPcosnAPθOnAα線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距三、平行與垂直問(wèn)題證明直線與平面的平行 ：（1）轉(zhuǎn)化為線線平行；（2）轉(zhuǎn)化為面面平行 .證明平面與平面平行 ：（1）轉(zhuǎn)化為線面平行；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直 .證明線線垂直 ：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；方法（2）：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法（3）：三垂線定理及其逆定理。POllPAlmlOAml證明線面垂直：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（3）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（4）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.β lmα方法（1）：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。 方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。lAClABmlAClABAm,llAC,ABβ l面面垂直：l方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。lα方法二：計(jì)算所成二面角為直角。題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、旋轉(zhuǎn)體、斜二測(cè)法了解柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征， 并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會(huì)畫某建筑物的視圖與直觀圖。例1.將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示A，B，C分別是△GHI三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）HAGABBBC側(cè)視BCBBIEDEDEEEEFFA．B．C．D．圖1圖2例 2.由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是 ．正視圖左視圖俯視圖例3.已知一個(gè)正四面體，其三視圖均為邊長(zhǎng)為2的正方形，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為．例10：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積為()A．12B．16C．32D．8例5：四棱錐PABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖，則四棱錐PABCD的表面積為()主左A.3a2B.2a2C.3a22a2D.2a22a2視a視圖圖DC俯a視圖ABa例6：三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點(diǎn)，且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是___________例7：如圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為b，側(cè)棱AA’與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積．例8：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位： cm），可知幾何體的體積是 _________2 2 22

2

1

1主視圖

側(cè)視圖

俯視圖真題：【2015高考新課標(biāo) 1，文6】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題： “今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？ ”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為 8尺，米堆的高為 5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？ ”已知1斛米的體積約為 1.62立方尺，圓周率約為 3，估算出堆放的米有（ ）A．14

斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛【2015高考浙江，文2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A．8cm3B．12cm3C．32cm3D．40cm333【2015

高考浙江，文

7】如圖，斜線段

與平面

所成的角為

60

，

為斜足，平面

上的動(dòng)點(diǎn)

滿足30

，則點(diǎn)

的軌跡是（

）A．直線

B．拋物線

C．橢圓

D．雙曲線的一支【2015高考新課標(biāo)

1，文

11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為

r

）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為

16 20

，則

r

(

)（A）1

（B）2（C）4

（D）82015高考陜西，文5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．3 B．4 C．2 4 D．3 4【2015高考福建，文9】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于2（）A．822B．1122C．1422D．15111【2015高考湖南，文 10】某工作的三視圖如圖 3所示，現(xiàn)將該工作通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率 =新工件的體積/原工件的體積）（ ）8824(21)28(21)2A、B、C、D、927【2015高考天津，文 10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位 :m）,則該幾何體的體積為 m3 .【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐P－A1MN的體積是______.斜二測(cè)法：斜2原S4S例9：一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A．12B．22C．12D．12222例10：對(duì)于一個(gè)底邊在

x軸上的三角形，采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的

（ ）A．2倍

B

．

2

倍

C

．

2

倍

D

．1倍4

2

2例11：如圖，已知四邊形

ABCD的直觀圖是直角梯形

A1B1C1D1，且

A1B1＝B1C1＝2A1D1＝2，則四邊形 ABCD的面積為

(

)A．3

B

．3 2C．6 2

D．6例12：用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是（

）旋轉(zhuǎn)體：例13：下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是（

）ABCD例14：如圖，在四邊形ABCD中，DAB900，，，CD22，AD2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.真題：【2015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()（A）22（B）42（）22（）423 3題型二：定義考察類題型例15：已知直線l、m,平面、，則下列命題中假命題是()A．若//，l,則l//B．若//，l,則lC．若l//，m,則l//mD．若，l,m,ml,則m例16：給定下列四個(gè)命題：①若一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這條直線的平面與這個(gè)面相較，則這線平行于交線②若一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線③若兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行④若兩個(gè)平面垂直，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線垂直其中，為真命題的是 ( )A．1和2B．2和3C．3和4D．2和4○○○○○○○○例17：已知m,n是兩條不同直線，,,是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，m,則mB．若,,則‖C．若m‖,m‖,則‖D．,l,lc,cl例18：已知m、n是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，有下列命題：①若m,n//，則m//n；②若m//，m//，則//；③若m,mn，則n；④若m,m，則//；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)例19：如圖，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（）A、AC⊥SBB、AB∥平面SCDC、SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D、AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角例20：已知,為不同的平面，A、B、M、N為不同的點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是（）A.Aa,A,Ba,B,aB.M,M,N,N,MNC.A,A,AD.A、B、M,A、B、M,且A、B、M不共線、重合真題：【2015高考浙江，文

4】設(shè)

， 是兩個(gè)不同的平面，

l，m

是兩條不同的直線，且

l

，m

（

）A．若

l

，則

B．若

，則

l

mC．若

l//

，則

//

D．若

//

，則

l//m【2015

高考廣東，文

6】若直線

l1和l2是異面直線，

l1在平面

內(nèi)，

l2在平面

內(nèi)，l

是平面

與平面

的交線，則下列命題正確的是（

）A．l至少與

l1，l2中的一條相交

B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l與l1，l2都不相交【2015高考湖北，文 5】l1,l2表示空間中的兩條直線，若 p：l1,l2是異面直線；q：l1,l2不相交，則（ ）A．p是q的充分條件，但不是 q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是 q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是 q的必要條件題型三：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)證明平行的方法：線線平行：相似，全等；平行線判斷定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等） ，（高中階段一般不考，只作為轉(zhuǎn)化的一個(gè)橋梁）。線面平行：（1）根據(jù)定理證明（線//線線//面）；（2）通過(guò)面面平行的性質(zhì)定理（面//面線//面）面面平行：（1）平面中分別有兩條相交線與平面的兩條相交線平行（2）平面的法向量與平面的法向量平行例21：如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，P2E側(cè)面PAD，且PAPD2DCF為PC、BD的中點(diǎn).（1）求證： EF∥平面PAD；（2）求證：平面 PDC 平面PAD.例22：如圖所示，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)，求證： MN平面A1BD.D1 C1NA1B1MD CA B例23：如圖，直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=2AB。2（Ⅰ）證明：BC1//A1C1A1CD（Ⅱ）求A到面ACD的距離B1EA CDB例24：如圖所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)4（Ⅰ）證明：直線 MN∥平面OCD；（Ⅱ）求異面直線 AB與MD所成角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn) B到平面OCD的距離。例25：如圖，已知矩形

ABCD

和矩形

ADEF

所在平面互相垂直，點(diǎn)

M

，N

分別在對(duì)角線

BD

，

AE

上，且BM

1BD

，

AN

1

AE

．求證：

MN//平面CDE

．3

3例26：如圖，在正方體

ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別是

C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面

MNP∥平面

A1BD.例27：已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.PQMCDNB A題型四：線與面、面與面的垂直的證明方法三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條直線垂直。三垂線逆定理：如果：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和這條直線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直。例28：直三棱柱ABC-ABC中，ABBC，E是AC的中點(diǎn)，EDA1C且交AC于D，A1AAB2BC．11112（I）證明：B1C1//平面A1BC；（II）證明：A1C平面EDB．C1A1B1ECDAB例29：如圖所示，已知四棱錐 P ABCD的底面ABCD是菱形；PA 平面ABCD,PA AD AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證： PA//平面BFD；（Ⅱ）求證面 PAC BFD．例30：如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDABCD中，E、F、G分別D1C11111A1B1· G是CB、CD、CC1的中點(diǎn)。1）求證：平面AB1D1//平面EFG；2）求證：EF平面AA1C例31：如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90,點(diǎn)D是棱B1C1的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：A1D⊥平面BBC11C；B1D（Ⅱ）求證：AB1//平面A1DC；C1A1BC A例32：如圖所示，四棱錐 P—ABCD中，AB AD，CD AD，PA 底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2 ，為PC的中點(diǎn)。(1)求證：BM∥平面PAD；(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。例33：在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是正方形， MA 平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且 AD PD 2MA．（Ⅰ）求證：平面 EFG 平面PDC;（Ⅱ）求三棱錐 P MAB與四棱錐P ABCD的體積之比 ．例34：如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。1）求證：BC1//平面CA1D2）求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B例35：如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使A移到A點(diǎn)，且A在11平面BCD上的射影O恰好在CD上．（Ⅰ）求證：BCA1D；（Ⅱ）求證：平面A1BC平面A1BD；（Ⅲ）求三棱錐A1BCD的體積．真題：【2015高考山東，文 18】 如圖，三棱臺(tái) DEF ABC中，AB 2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn).I）求證：BD//平面FGH；II）若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH.題型五：空間中的夾角知識(shí)點(diǎn)：夾角的分類：線線夾角、線面夾角、面面夾角三者在計(jì)算或證明時(shí)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：面面 線面 線線計(jì)算三種夾角的方法：勾股定理、向量、坐標(biāo)等，對(duì)于夾角問(wèn)題我們一般分為三個(gè)步驟：①找角，②證明所找的角，③計(jì)算所找角的大?。ㄇ杏洸豢烧页鰜?lái)之后不證明就開(kāi)始計(jì)算）異面直線的夾角問(wèn)題：例36：在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD 90,AD//BC,AB BC aAD2a,PA底面ABCD,PD與底面成30°（1）若AEPD,E為垂足，求證：BEPD；（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的正切值；例37：如圖，已知 P是平行四邊形 ABCD所在平面外一點(diǎn)， M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN BC 4，PA 43，求異面直線 PA與MN所成的角的大小例38：如圖，四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為 1的正方形， MD 平面ABCD，NB 平面ABCD，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線NE與AM所成角的余弦值

MND CEA B例39：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是____________。D1C1A1B1ND CMA B例40：已知正四面體 ABCD中，各邊長(zhǎng)均為 a，如圖所示， E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，連接 AF,CE，求A異面直線AF,CE所成角的余弦值。EBDFC例41：已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、2N分別是AB和SC的中點(diǎn)．求異面直線SM與BN所成的角的余弦值．SNCBMA例42：已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）35（C）73（A）（B）(D)4444例43：如圖,在正方體ABCDA'B'C'D'中，E,F分別是AB',BC'的中點(diǎn)。D'C'（1）若M為BB'的中點(diǎn)，證明：平面EMF∥平面ABCDA'B'（2）求異面直線EF與AD'所成的角FEMDCAB例44：如圖，四面體ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中點(diǎn)，求BE與CD所成角的余弦值。A6

EB 8 D6C(第9題)線面夾角（了解）：例45：如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2 2，PA=AD=2，E是PC上的一點(diǎn)，設(shè)二面角 A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。例46：如圖，直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC,D、E分別是AA1，B1C的中點(diǎn),DE 平面BCC1.1）證明：AB=AC2）設(shè)二面角A-BD-C為600，求B1C與平面BCD所成的角的大小A1 C1A1 C1B1B1EDACB

A CB真題：【2015高考浙江，文 18】如圖，在三棱錐 ABC-A1B1C1中， ABC 90，AB AC 2,AA1 4,A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn).（1）證明： A1D 平面A1BC； （2）求直線A1B和平面BB1CC1所成的角的正弦值 .【2014高考，文18PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC22，】如圖，四棱錐PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC。P（Ⅰ）證明：PC平面BED；（Ⅱ）設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小。EABDC【2015高考湖南，文18】（本小題滿分12分）如圖4，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,F分別是BC,CC1的中點(diǎn)。（I）證明：平面AEF平面B1BCC1；（II）若直線AC1與平面A1ABB1所成的角為45，求三棱錐FAEC的體積。題型六：距離問(wèn)題：點(diǎn)線距離（定義法、等體積法、向量法、空間坐標(biāo)法） ；線面距離；面面距離。例47：已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的地面邊長(zhǎng)為 1，則棱場(chǎng)為 2，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，求點(diǎn)D1到平面BDE的距離。D1C1B1EA1D CA B例48：已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC22，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED1的距離為（）A.2B.3C.2D.1例49：在ABC中,AB=15，BCA120，若ABC所在平面外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到的距離是（）A.13B.11C.9D.7PCB AH例50：如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，ABC,OA底面ABCD,4OA2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)O（Ⅰ）證明：直線MN‖平面OCD；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大?。籑（Ⅲ）求點(diǎn) B到平面OCD的距離。A DB N C例51： 和 為平面， l,A ,B ,AB=5,A,B在棱l上的射影分別為 A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角 l 的大小為 2，求，點(diǎn)B到平面的距離為_(kāi)____________3例52：P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且 PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是 5， 17， 13，則P到A點(diǎn)的距離是（ ）A.1 B.2 C. 3 D.4例53：如圖，在四棱錐 O ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為 1的菱形，OA 2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：直線 MN‖平面OCD ；（Ⅱ）求異面直線 AB與MD所成角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn) B到平面OCD的距離

ABC ,OA底面ABCD,4OMA DB N C例54：如圖,直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=錯(cuò)誤！未找到引用源。 ,AA1=3,E為CD上一點(diǎn),DE=1,EC=3證明:BE⊥平面BB1C1C;求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離例55：如圖，已知多面體 ABC－DEFG中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。（1）試判斷 CF是否與平面 ABED平行？并說(shuō)明理由； G（2）求多面體 ABC－DEFG的體積。CA

DFB

E例56：如圖，四面體 ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA CB CD BD 2,AB AD 2.（I）求證： AO 平面BCD；

A（II）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。DOCB E0例57：如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90。求證：PC⊥BC；求點(diǎn)A到平面PBC的距離。題型七：求體積問(wèn)題例58：如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA 1， OD 2，OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。（Ⅰ）證明直線BC∥EF；（Ⅱ）求棱錐FOBED的體積.1例59：如圖，三棱柱 ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)2(Ｉ)證明：平面 BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面 BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比 .C1A1

B1DCB真題：A【2015高考北京，文18（】本小題滿分14分）如圖，在三棱錐VC中，平面V平面C，V為等邊三角形，CC且CC2，，分別為，V的中點(diǎn)．（I）求證：V//平面C；（II）求證：平面C平面V；（III）求三棱錐VC的體積．【2015高考新課標(biāo) 1，文 18】（本小題滿分 12分）如圖四邊形 ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE 平面ABCD，（I）證明：平面AEC平面BED；（II）若ABC120，AEEC,三棱錐EACD的體積為6，3求該三棱錐的側(cè)面積 .【2015高考重慶，文 20】如題（20）圖，三棱錐 P-ABC中，平面 PAC 平面ABC， ABC= ，點(diǎn)D、E在2線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//BC.(Ⅰ)證明：AB 平面PFE. (Ⅱ)若四棱錐 P-DFBC的體積為 7，求線段BC的長(zhǎng).PD EA CF題（20）圖 B題型八：翻折與展開(kāi)問(wèn)題及探索問(wèn)題例60：如圖所示，等腰△ABC的底邊AB66，高CD3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BEx，V(x)表示四棱錐PACFE的體積．PD EA B（1）求V(x)的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值？（3）當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線 AC與PF所成角的余弦值．例61：在直角梯形 ABEF中（圖中數(shù)字表示線段的長(zhǎng)度） ，將直角梯形 DCEF沿CD折起，使平面DCEF 平面ABCD，連結(jié)部分線段后圍成一個(gè)空間幾何體，F(xiàn)（Ⅰ）求證： BE//平面ADF；（Ⅱ）求三棱錐 F BCE的體積．

F2E1EDCDC11ABAB1例62：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF.以AE、EF、FA為折痕，折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P，得到一個(gè)四面體，如圖(2)所示．求證：AP⊥EF；求證：平面APE⊥平面APF.例63：如圖 4,在邊長(zhǎng)為 1的等邊三角形 ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD AE,F是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐ABCF,其中BC2.2(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF平面ABF;(3)當(dāng)AD2FDEG的體積VFDEG.時(shí),求三棱錐3AAGEGDDEFCBFC圖4B圖5例68：如圖甲，在直角梯形PBCD中，PB//CD，CDBC，BCPB2CD，A是PB的中點(diǎn).現(xiàn)沿AD把平面PAD折起，使得PAAB（如圖乙所示），E、F分別為BC、AB邊的中點(diǎn).1）求證：PA平面ABCD；2）求證：平面PAE平面PDE；3）試探究在PA上是否存在一點(diǎn)G，使得FG//平面PDE,并說(shuō)明理由.圖甲

圖乙真題：【2015高考陜西，文18】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD//BC,BAD,ABBC1ADa，E22是AD的中點(diǎn)，O是OC與BE的交點(diǎn)，將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.(I)證明：CD平面AOC1；(II)當(dāng)平面ABE平面BCDE時(shí)，四棱錐ABCDE的體積為362，求a的值.11【2014高考，文19】如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=2，ED//AF且∠DAF=90°。1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說(shuō)明理由。【2015高考安徽，文19】如圖，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，PA1,AB1,AC2,BAC60o.（Ⅰ）求三棱錐P-ABC的體積；（Ⅱ）證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求PM的值.MC【2015高考福建，文 20】如圖， AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn)， 垂直于圓 所在的平面，且 1．（Ⅰ）若D為線段AC的中點(diǎn)，求證 C 平面 D ；（Ⅱ）求三棱錐 P ABC體積的最大值；（Ⅲ）若BC 2，點(diǎn)E在線段PB上，求CE OE的最小值．PEA BOD OC題型九：球類問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)R(1)球的截面(—圓)的性質(zhì):O1OrRdAB①球心O與圓心o1的連線Oo1與圓面垂直ArO1緯線o1②球心與圓面的距離dR2r2P緯度經(jīng)度經(jīng)線(2)球面上兩點(diǎn)A,B的球面距離O地軸①定義:經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)②求法:利用大圓 O與小圓o1的公共弦 AB,注意劣弧 AB所對(duì)的圓心角是角 AOB而不是角 Ao1B經(jīng)度與緯度①緯度:某點(diǎn)P的緯度就是指經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球半徑與經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的緯度圈所在的平面的夾角②經(jīng)度 :某點(diǎn)P的經(jīng)度就是指經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與 0°經(jīng)線與地軸確定的半平面所在的二面角的大小 .球內(nèi)接長(zhǎng)方體的性質(zhì):①長(zhǎng)方體的中心就是球心,②長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑正四面體的內(nèi)切球與外接球的性質(zhì):它們是同心球,球心在正四體的高線上,內(nèi)切球與外接球的半徑的和等于正四面體的高,求解時(shí)可利用等體積法.(6)球體積V4R3,球的表面積S4R2,弧長(zhǎng)公式lRnR3180一：外接球的有關(guān)問(wèn)題棱錐的內(nèi)切、外接球問(wèn)題例69：正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？例70：設(shè)棱錐M ABCD的底面是正方形，且 MA MD，MA AB，如果 AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑 .例71：一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上， 且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為 1,2,3，則此球的表面積為 ______例72：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為 4，體積為 16，則這個(gè)球的表面積為（ ）A.16 B. 20 C. 24 D. 32例73：一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_________8例74：正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為_(kāi)______________.例75：表面積為23的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為A．21C2D22B．．．3 3 3 3二：球類的截面問(wèn)題例76：球面上有三點(diǎn) A、B、C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中 AB 18，BC 24、AC 30，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．例77：過(guò)球O表面上一點(diǎn) A引三條長(zhǎng)度相等的弦 AB、AC、AD，且兩兩夾角都為 60，若球半徑為 R，求弦AB的長(zhǎng)度．例78：已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，則球O的體積等于_______________.例79：已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，AB平面BCD，BCDC，若AB6,AC=213,AD=8，則球的體積是_______________.例80：球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的1，經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4，求6這個(gè)球的半徑．例81：一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A．33B．3C．3D．343412例82：直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，則此球的表面積等于例83：正三棱柱 ABC A1B1C1內(nèi)接于半徑為 2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為 ，則正三棱柱的體積為例84：用兩個(gè)平行平面去截半徑為 R的球面，兩個(gè)截面圓的半徑為 r1 24cm，r2 15cm．兩截面間的距離為d 27cm，求球的表面積．三：球面距離例85：過(guò)球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（

）．A．有且只有一個(gè)

B．一個(gè)或無(wú)窮多個(gè)

C．無(wú)數(shù)個(gè)

D．以上均不正確例86：已知

A、B是半徑為

R的球

O的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為

R，求過(guò)A、B的平面中，與球心2的最大距離是多少？例87：在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49cm2和400cm2．求球的表面積．例88：如圖球O的半徑為2，圓O是一小圓，OO2，A、B是圓O上兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)間的球面距離為1112，則AO1B=3例89：在半徑為3的球面上有A,B,C三點(diǎn)，ABC90,BABC，球心O到平面ABC的距離是32，2則B、C兩點(diǎn)的球面距離是（）A.B.C.4D.233四：其它問(wèn)題例90：在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（）A.125B.125C.125D.12512963例91：一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切．問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？例92：一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為．8例93：（2012新課標(biāo)理）已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上,ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC2;則此棱錐的體積為（）A．2B．3C．2D．26632例94：（2012遼寧文）已知點(diǎn)P,A,B,C,D是球O表面上的點(diǎn),PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為23正方形.若PA=26,則△OAB的面積為_(kāi)_____________.例95：在底面邊長(zhǎng)為2的正方體容器中，放入大球，再放入一個(gè)小球，正好可以蓋住蓋子（小球與大球都與蓋子相切），求小球的半徑。例96：自半徑為R的球面上一點(diǎn)M，引球的三條兩兩垂直的弦MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值．例97：在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最?。?8：有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚