高中數(shù)學(xué)人教A版必修(第二冊(cè))第六章平面向量及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)人教A版必修(第二冊(cè))第六章平面向量及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)人教A版必修(第二冊(cè))第六章平面向量及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)11/11高中數(shù)學(xué)人教A版必修(第二冊(cè))第六章平面向量及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)第六章平面向量及其應(yīng)用1．向量的看法與向量的模（1）向量看法：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．海拔、溫度、角度都是數(shù)量，不是向量。向量能夠平移，與地址沒關(guān)。（2）向量的幾何表示：用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量→→→→的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，比方????、????，字母表示，用小寫字母??、??，表示．有→→向線段的長(zhǎng)度為模，表示為|AB|、|??．→→→（3）向量的模：????的大小，也就是????的長(zhǎng)度（或稱模），記作|AB|．→（4）零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0，零向量的長(zhǎng)度為0，方向是任意的．→→（5）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與????????共線的單位向量是±→）．|AB|6）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳達(dá)性．→→7）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．若是??，??，??是非零向量且方向相同或相反（向量所在→→→的直線平行或重合），則??∥??∥??。任一組平行向量都可搬動(dòng)到同一條直線上，因此平行向量又叫共線向量，任一向量都與它自己是平行向量，并且規(guī)定，零向量與任向來量平行．平行向量沒有傳達(dá)性。相等向量必然是共線向量，但共線向量不用然相等?！?）相反向量：與??長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做??的相反向量，記作-??．2．向量的加法運(yùn)算→→→1）三角形法規(guī)：????+????=????特色：首尾相接的幾個(gè)向量相加，等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)的向量。1→→→2）平行四邊形法規(guī)：ABCD為平行四邊形，則????+????=????特色：同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相加，等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所在向量（起點(diǎn)不變）（3）向量的加法性質(zhì)→→→→→→→→??+0=0+??=??；??+（-??）=0；→→→→??+??=??+??；→→→→→→③（??+??）+??=??+（??+??）．→→→→|??+??|≤|??+|??4．向量的減法運(yùn)算→→→法規(guī)：????-????=????特色；同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相減，等于由減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn)的向量.(一個(gè)向量等于由第三點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量減去由第三點(diǎn)指向起點(diǎn)的向量)5．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算→→→→（1）向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)λ與向量??的積是一個(gè)向量，記作λ??，它的大小為|λ??|||＝λ|??，其方向與λ的正負(fù)有關(guān)．若→→→→→→→|λ|??≠0，當(dāng)λ＞0時(shí)，λ的方向與??的方向相同，當(dāng)λ＜0時(shí)，λ??的方向與??的方向相反．當(dāng)λ＝0時(shí)，λ??與??平行．??→→→→對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)λ≠0時(shí)，有??∥?????=λ??.（2）向量數(shù)乘運(yùn)算法規(guī)→→→→1??=??；（﹣1）??=-??；→→→②（λμ）??=λ（μ）??=μ（λ??）；→→→③（λ+μ）??=λ??+μ??；2→→→→④λ（??+??）＝λ??+λ??．向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，注意→→→????=0。-→→→→→→→→→→一般地，λ??叫做??，??的一個(gè)線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．若是??，則稱??能夠用??，??線性表示．+μ??=λ??+μ??→→→→→→（3）向量??共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使??(??≠??)與向量??=λ??.→→→→4）A、B、C三點(diǎn)共線?????∥?????????=??????.6．平面向量數(shù)量積（1）向量的夾角：對(duì)于兩個(gè)非零向量→→→→→→??，??若是以O(shè)為起點(diǎn)，作????，????，那么射線OA，OB的夾角θ叫=??=??→→做向量??與向量??的夾角，其中0≤θ≤π．（2）向量的數(shù)量積：若是兩個(gè)非零向量→→→→→→→→??，??的夾角為θ，那么我們把與??的數(shù)量積，記做?????|??|??osθ叫做??→→→→→→即：?????=|??|??cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：0???=0．注意：→→cosθ決定；①???b表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由②符號(hào)“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能夠省略也不能夠用“×”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，必然要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：→→→→→→設(shè)??，??都是非零向量，??是與??方向相同的單位向量，??與??和夾角為θ，則：→→→→→?????=?????=|??cosθ；→→→→②??⊥????????=0；（判斷兩向量垂直的充要條件）3→→→→→→→→→→→→③當(dāng)??，??方向相同時(shí)，?????=|??|??；當(dāng)??，??方向相反時(shí)，?????=-|??|??；→→→2→→→特別地：?????=|??或|??=√?????（用于計(jì)算向量的模）→→→→→→→→→→→→→→④cosθ=??→??→（θ為銳角??|??||??→→→→|?????|≤|??|??（4）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律→→→→①交換律：?????=；?????→→→→→→②數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）????=λ（?????）=??（?????）；→→→→→→→③分配律：（??+??）???=?????+?????（5）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)→→→2→→→2①（??±）2=??±2????．??+??→→→→→2→2②（??-）（???）=??．??+??-??→→→→→→??（????）≠（????）???，→→→（6）投影：??在??上的投影是一個(gè)數(shù)量|??cosθ，它能夠?yàn)檎軌驗(yàn)樨?fù)，也能夠?yàn)?→→→→→→（7）投影向量：??在??上的投影向量等于|??cosθ??（其中??為與??同向的單位向量）7．平面向量基本定理→→那么對(duì)這一平面內(nèi)任向來量→→→、??是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，??，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使??若是??????=????????+→→

→??．我們把{??，??}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．??????8．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算4→（1）平面向量的坐標(biāo)表示：??=（x，y）表示以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以（x，y）為終點(diǎn)的向量．（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：→①若A（x1，y1），B（x2，y2），則????=（x2﹣x1，y2﹣y1）→→22→2→222→②若??=（x，y）則|??=，??=|??|，λ??（λ，xλ）y√??→→③若??=（x1，y1），??=（x2，y2），則：→→→→→→??+??=（x1+x2，y1+y2）；??-??=（x1﹣x2，y1﹣y2）；?????=x1x2+y1y2?！芷矫嫦蛄科叫械淖鴺?biāo)表示：若??=（x1，y1），??=（x2，y2），則∥??（??）???λ???x1y2﹣x2y1＝0．??≠??=→→→→→→xx+yy＝0．⑤平面向量垂直的坐標(biāo)表示：若??=（x，y），??=（x，y），則??⊥??????=0?1122??1212→→x1x2+y1y2⑥向量的夾角公式：cosθ=????=→→√x12+y12?√x22+y22|??||??9．向量中一些常用的結(jié)論：（1）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則其重心的坐標(biāo)為Gx1x2x3,y1y2y3。33②uuur1uuuruuuruuur為重心，特別地uuuruuuruuurr為ABC的重心；PG3(PAPBPC)GABCPAPBPC0PuuuruuuruuuruuuruuuruuurP為ABC的垂心；③PAPBPBPCPCPAuuuruuurABAC④向量(uuur)(0)所在直線過ABC的內(nèi)心(是BAC的角均分線所在直線)；uuur|AB||AC|→→→→→→、????、????=λ????+μ????（2）向量????三終點(diǎn)A、B、C共線存在實(shí)數(shù)λ、μ使得????且λ+μ=1.510．三角形中的重要結(jié)論①在三角形中，大邊對(duì)大角，中邊對(duì)中角，小邊對(duì)小角，等邊同等角。

abABsinAsinB②在三角形中，只有最大的角才可能是鈍角或直角，自然也能夠是銳角，中間的角和最小的角必然為銳角。③三角形內(nèi)角的正弦值必然大于0，銳角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，鈍角的余弦值小于0.11．三角形中的引誘公式sinBCsinAcosBCcosAtanBCtanAsinABcosCsinACsinBcosABcosCtanABtanCA22sinABsinCcosACcosBtanACtanBBCcos2sin212．正弦定理和余弦定理三角形常用面積公式定理正弦定理余弦定理??=??=??=2Ra2＝b2+c2﹣2bccosA，????????????????????????內(nèi)容b2＝a2+c2﹣2accosB，（R是△ABC外接圓半徑）c2＝a2+b2﹣2abcosCa＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=??，sinB=??，sinC=??；222cosA=??+??-??，2??2??2??2????變形③asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA222cosB=??+??-??，2????形式??????????④a：b：c＝sinA：sinB：sinC；=????????222??cosC=??+??-??2????⑤????+????+??+??==????????????????+?????????????+????????+????????解決①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；①已知三邊，求各角；6三角②已知兩邊和一邊對(duì)角，求另一邊和其他兩角②已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩角形的③邊角互化問題13．三角形常用面積公式111??????1S=2absinC=2acsinB=2bcsinA=4??=（a+b+c）r214．三角形解的個(gè)數(shù)的判斷已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況．如已知??，??，A，則:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解7平面向量基礎(chǔ)知識(shí)練習(xí)題、與→→共線的單位向量是__________，??的相反向量是__________1??2、平行向量也叫__________→→→→→→3、????????-????=_________??-??=____+????=_________8→→→→|___|??|+|??|4、|??+??→→→→λ，使_________≠0)與向量??共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)5、向量??(??→→6、A、B、C三點(diǎn)共線?∥?????????________、→→→2→→???=________?????=__________7??=_________0→→?_______________________→→__________，??方向相同??，??方向相反?8、??→→→→____________a，b夾角θ為銳角?______________________a，b夾角θ為直角?→→_____________________a，b夾角θ為鈍角?→→→→→→在??上的投影=為與同向的單位向量，在上的投影向量等于______________9、??、平面向量基本定理：若是→→→、??是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任向來量??，10??12→→叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)_______12}11、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：→①若1，y1），B（x2，y2），則????A（x=__________→→→2→②若??=（x，y）則|??=__________，??=__________，λ??=__________→→→→→→→→x③若??=（x=+??=__________??-??=__________?????=__________→1，1），→→→→→）?__________．④平面向量平行的坐標(biāo)表示：若??（2，2），則∥??（????=（x=x0→→→→⑤平面向量垂直的坐標(biāo)表示：若??=（x1，y1），??（x2，y2），則??⊥???__________．=⑥向量的夾角公式：cosθ=__________=__________→→→→→→且__________、向量、PB、PC三終點(diǎn)A、B、C共線存在實(shí)數(shù)λ、μ使得PA=λ12PAPB+μPC913、以下運(yùn)算錯(cuò)誤的選項(xiàng)是_________→→→→→→→→??+??=??+??=??；??+（-??）=??；→→→→??+??=??+??；→→→→→→(3)（