角平分線模型總結(jié)課件

角平分線的再認(rèn)識(shí)角平分線的再認(rèn)識(shí)角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶．角平分線把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)部分，其“軸對(duì)稱功能”衍生出“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì)，而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來(lái)幫助，本課結(jié)合幾道比較典型的題目，給同學(xué)們介紹幾種常用的解題方法，僅供參考。角平分線的思考角平分線的思考問題1.角平分線從何而來(lái)？射線OP使得∠1=∠2角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。問題1.角平分線從何而來(lái)？射線OP使得∠1=∠2角平分線的問題2.角平分線有何種性質(zhì)以及如何判定？角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩條邊的距離相等已知∠AOP=∠BOP，點(diǎn)C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，NCM=CN已知∠AOB內(nèi)，點(diǎn)C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，N，CM=CNOP為∠AOB平分線角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)

角的角平分線上問題2.角平分線有何種性質(zhì)以及如何判定？角平分線的性質(zhì)定理問題3：如何做一個(gè)角的平分線？：已知∠AOB.求作：∠AOB

的角平分線OC

（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于C；（3）畫射線OC，射線OC即為所求問題3：如何做一個(gè)角的平分線？已知∠AOB.求作：∠AO問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線進(jìn)行角的計(jì)算例題1:如圖，若∠B=42°,∠C=70°，AD平分∠BAC,你能求出圖中哪些角的度數(shù)呢？∠BAC=68°∠BAD=∠CAD=34°∠ADC=76°，∠ADB=104°問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線進(jìn)行角的問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線構(gòu)造全等三角形例題2:如圖，已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，請(qǐng)你在射線AM上取一點(diǎn)B,

在射線AN上取一點(diǎn)D,使△ABC

≌△ADC.截取AB=AD（AB>AC)截取AB=AD（AB<AC)做CB⊥AM于B，CD⊥AN于D過C做BD⊥AC問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線構(gòu)造全等角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等

過點(diǎn)D做DM⊥AB，DN⊥AC垂足為M，N已知△ABC中，AD為∠BAC平分線△ADM

≌△ADN角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等過點(diǎn)D角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等

例題3:在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB平分線BE和CD的交點(diǎn)，∠A=60°，求證：OD=OE

過點(diǎn)O做OM⊥AB，ON⊥ACOP⊥BC垂足為M，N，P△DOM≌△EONOM=OP=ON∠A=60°∠ABC和∠ACB平分線BE和CD交于點(diǎn)O∠BOC=120°∠DOE=120°∠DOM=∠EONOD=OE角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等例題3角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AB上截取AE=AC，連接DE延長(zhǎng)AC至F使AB=AF，連接DF△ADE

≌△ADC△ADB

≌△ADF已知△ABC中，AD為∠BAC平分線角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AB上截取A角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AC上截取AB=AE，連接DE△ABD

≌△AED例題4:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB

∠AED=∠B=2∠C

∠EDC=∠CDE=ECAC=BD+AB角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AC上截取A角平分線做輔助線的基本方法：3.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等例題3:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB在AB延長(zhǎng)線上截取AF=AC，連接FD角平分線做輔助線的基本方法：3.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等例題3:在△A1.例題3還有沒有其他證明方法2.角平分線做輔助線常見的方法還有哪些

？請(qǐng)思考1.例題3還有沒有其他證明方法請(qǐng)思考角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形已知在△ABC中，BD是角平分線，，CD⊥BD于D延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E△BCD

≌△BDE△BCE為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形例題5:在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分線，AE⊥BD于E

證明：BD=2AE延長(zhǎng)BC，AE交于點(diǎn)F△BCD

≌△ACF△BAF為等腰三角形AF=2AEAF=BDBD=2AE角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形

已知△ABC中，CD為∠BCA平分線過點(diǎn)D做BC平行線交AC于M△DMC為等腰三角形過點(diǎn)B做AC平行線交CD延長(zhǎng)線于N過點(diǎn)A做CD平行線交BC延長(zhǎng)線于P△BCN為等腰三角形△ACP為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形已知△A角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構(gòu)造等腰三角形

例題6:如圖，在□ABCD中，線段AE，BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，線段AE，BF相交于點(diǎn)M．證明：DF=CE.

AB//CD∠DEA=∠EABAE

平分∠DAB∠DAE=∠BAEDA=DECB=CFDA=CBDE=CF∠DAE=∠DEADF=CE角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構(gòu)造等腰三角形例題角平分線做輔助線的基本方法：

總結(jié)圖中有角平分線，可向兩邊做垂線;圖中有角平分線，可將圖形對(duì)折看;角平分線加垂線，三線合一試試看角平分線平行線，等腰三角形出現(xiàn)。角平分線做輔助線的基本方法：總結(jié)圖中有角平分線，可向兩邊做練習(xí)：已知如圖所示基本條件：（1）BE平分∠CBD（2）∠BCE+∠BDE=180°（3）CE=DE以上三條其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，我們可以得到三個(gè)命題，請(qǐng)問：他們是否都是真命題？練習(xí)：已知如圖所示基本條件：以上三條其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法1:過點(diǎn)E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上截取BF=BC方法3：在BC上截取BG=BD命題1:方法1:過點(diǎn)E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點(diǎn)H方法5：做∠CEH=∠BED交BC于點(diǎn)H命題1:方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點(diǎn)H方法5：做∠命題2:已知，如圖：∠BCE+∠BDE=180°，CE=DE，求證：BE平分∠CBD過點(diǎn)E做∠CBD兩邊的垂線命題2:過點(diǎn)E做∠CBD兩邊的垂線命題3:已知：BE平分∠CBD，CE=DE，求證：∠BCE+∠BDE=180°命題3:課后練習(xí)：1.在△ABC中，∠

C=90°，AD為∠BAC的平分線，

DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.則BD的長(zhǎng)為

；

2.如圖，已知BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，

由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別

為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是

；

3.在△ABC中，AD是中線，∠1=∠2，CE//AB，若∠BAC=120°

AB=12，AC=8則EC的長(zhǎng)度

.

課后練習(xí)：課后練習(xí)答案：1：在△ABC中，∠C=90°，AD為∠BAC的平分線，

DE⊥AB，BC＝9，DE＝3.則BD的長(zhǎng)為6；

2.如圖，已知BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，

由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別

為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是QM=QN=QK；

3.在△ABC中，AD是中線，∠1=∠2，CE//AB，若∠BAC=120°

AB=12，AC=8則EC的長(zhǎng)度5.

課后練習(xí)答案：角平分線的再認(rèn)識(shí)角平分線的再認(rèn)識(shí)角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶．角平分線把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)部分，其“軸對(duì)稱功能”衍生出“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì)，而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來(lái)幫助，本課結(jié)合幾道比較典型的題目，給同學(xué)們介紹幾種常用的解題方法，僅供參考。角平分線的思考角平分線的思考問題1.角平分線從何而來(lái)？射線OP使得∠1=∠2角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。問題1.角平分線從何而來(lái)？射線OP使得∠1=∠2角平分線的問題2.角平分線有何種性質(zhì)以及如何判定？角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩條邊的距離相等已知∠AOP=∠BOP，點(diǎn)C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，NCM=CN已知∠AOB內(nèi)，點(diǎn)C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，N，CM=CNOP為∠AOB平分線角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)

角的角平分線上問題2.角平分線有何種性質(zhì)以及如何判定？角平分線的性質(zhì)定理問題3：如何做一個(gè)角的平分線？：已知∠AOB.求作：∠AOB

的角平分線OC

（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于C；（3）畫射線OC，射線OC即為所求問題3：如何做一個(gè)角的平分線？已知∠AOB.求作：∠AO問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線進(jìn)行角的計(jì)算例題1:如圖，若∠B=42°,∠C=70°，AD平分∠BAC,你能求出圖中哪些角的度數(shù)呢？∠BAC=68°∠BAD=∠CAD=34°∠ADC=76°，∠ADB=104°問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線進(jìn)行角的問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線構(gòu)造全等三角形例題2:如圖，已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，請(qǐng)你在射線AM上取一點(diǎn)B,

在射線AN上取一點(diǎn)D,使△ABC

≌△ADC.截取AB=AD（AB>AC)截取AB=AD（AB<AC)做CB⊥AM于B，CD⊥AN于D過C做BD⊥AC問題4.已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線構(gòu)造全等角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等

過點(diǎn)D做DM⊥AB，DN⊥AC垂足為M，N已知△ABC中，AD為∠BAC平分線△ADM

≌△ADN角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等過點(diǎn)D角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等

例題3:在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB平分線BE和CD的交點(diǎn)，∠A=60°，求證：OD=OE

過點(diǎn)O做OM⊥AB，ON⊥ACOP⊥BC垂足為M，N，P△DOM≌△EONOM=OP=ON∠A=60°∠ABC和∠ACB平分線BE和CD交于點(diǎn)O∠BOC=120°∠DOE=120°∠DOM=∠EONOD=OE角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等例題3角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AB上截取AE=AC，連接DE延長(zhǎng)AC至F使AB=AF，連接DF△ADE

≌△ADC△ADB

≌△ADF已知△ABC中，AD為∠BAC平分線角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AB上截取A角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AC上截取AB=AE，連接DE△ABD

≌△AED例題4:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB

∠AED=∠B=2∠C

∠EDC=∠CDE=ECAC=BD+AB角平分線做輔助線的基本方法：2.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等在AC上截取A角平分線做輔助線的基本方法：3.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等例題3:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB在AB延長(zhǎng)線上截取AF=AC，連接FD角平分線做輔助線的基本方法：3.截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等例題3:在△A1.例題3還有沒有其他證明方法2.角平分線做輔助線常見的方法還有哪些

？請(qǐng)思考1.例題3還有沒有其他證明方法請(qǐng)思考角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形已知在△ABC中，BD是角平分線，，CD⊥BD于D延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E△BCD

≌△BDE△BCE為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形例題5:在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分線，AE⊥BD于E

證明：BD=2AE延長(zhǎng)BC，AE交于點(diǎn)F△BCD

≌△ACF△BAF為等腰三角形AF=2AEAF=BDBD=2AE角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形

已知△ABC中，CD為∠BCA平分線過點(diǎn)D做BC平行線交AC于M△DMC為等腰三角形過點(diǎn)B做AC平行線交CD延長(zhǎng)線于N過點(diǎn)A做CD平行線交BC延長(zhǎng)線于P△BCN為等腰三角形△ACP為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形已知△A角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構(gòu)造等腰三角形

例題6:如圖，在□ABCD中，線段AE，BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，線段AE，BF相交于點(diǎn)M．證明：DF=CE.

AB//CD∠DEA=∠EABAE

平分∠DAB∠DAE=∠BAEDA=DECB=CFDA=CBDE=CF∠DAE=∠DEADF=CE角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構(gòu)造等腰三角形例題角平分線做輔助線的基本方法：

總結(jié)圖中有角平分線，可向兩邊做垂線;圖中有角平分線，可將圖形對(duì)折看;角平分線加垂線，三線合一試試看角平分線平行線，等腰三角形出現(xiàn)。角平分線做輔助線的基本方法：總結(jié)圖中有角平分線，可向兩邊做練習(xí)：已知如圖所示基本條件：（1）BE平分∠CBD（2）∠BCE+∠BDE=180°（3）CE=DE以上三條其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，我們可以得到三個(gè)命題，請(qǐng)問：他們是否都是真命題？練習(xí)：已知如圖所示基本條件：以上三條其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法1:過點(diǎn)E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上截取BF=BC方法3：在BC上截取BG=BD命題1:方法1:過點(diǎn)E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點(diǎn)H方法5：做∠CEH=∠BED交BC于點(diǎn)H命題1:方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點(diǎn)H方法5：做∠