高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件

1．2.2空間兩條直線的位置關(guān)系第1章立體幾何初步1．2.2空間兩條直線的位置關(guān)系第1章立體幾何初步學(xué)習(xí)導(dǎo)航第1章立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系．2．理解異面直線的定義、所成角的概念、判定定理以及等角定理．(難點)3．掌握異面直線的判定方法，在直角三角形中求簡單異面直線所成的角的方法．(重點)學(xué)法指導(dǎo)通過實物觀察，抽象出空間兩直線的位置關(guān)系、異面直線概念及夾角的定義，通過在平面上畫出直線的位置關(guān)系、異面直線及夾角，培養(yǎng)空間想象能力，感受掌握空間兩直線關(guān)系的必要性.學(xué)習(xí)導(dǎo)航第1章立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間兩條直線的三1．空間中兩條直線的位置關(guān)系共面情況位置關(guān)系公共點個數(shù)在同一平面內(nèi)共面直線___________有且只有一個___________沒有________________________________________不同在任何一個平面內(nèi)相交平行異面直線1．空間中兩條直線的位置關(guān)系共面情況位置關(guān)系公共點個數(shù)在同一2.公理4與等角定理(1)公理4文字表述_________________的兩條直線互相平行符號表述______________含義揭示了空間平行線的______________性平行于同一條直線a∥b且b∥c?a∥c傳遞2.公理4與等角定理文字表述________________(2)等角定理研究對象在空間中的兩個角條件一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同結(jié)論這兩個角______________相等(2)等角定理研究對象在空間中的兩個角條件一個角的兩邊和另一3.異面直線的判定與幾何表示畫法圖形表示為如圖所示(通常用一個或兩個平面襯托)判定定理文字表述過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與這個平面內(nèi)______________的直線是異面直線符號表述若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線AB與l是異面直線不經(jīng)過該點3.異面直線的判定與幾何表示畫法圖形表示為如圖所示(通常用一4.異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的___________________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則______________特殊情況當(dāng)θ＝______________時，a與b互相垂直，記作______________銳角(或直角)0°＜θ≤90°a⊥b90°4.異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一1．如果兩條直線a與b沒有公共點，那么a和b的位置關(guān)系是____________________．解析：空間中兩條直線的位置關(guān)系共有相交、平行、異面三種情況，若直線a與b沒有公共點，那么a和b的位置關(guān)系只能是平行或異面．平行或異面1．如果兩條直線a與b沒有公共點，那么a和b的位置關(guān)系是__2.

(課本改編題)如圖所示，在三棱錐P－ABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有________對．解析：根據(jù)異面直線的定義可知共3對,分別是AP與BC，CP與AB，BP與AC.32.(課本改編題)如圖所示，在三棱錐P－ABC的六條棱所在3．如圖所示，在正方體ABCD

-A1B1C1D1中，BD和B1D1分別是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線．

(1)∠DBC的兩邊與__________的兩邊分別平行且方向相同；(2)∠DBC的兩邊與__________的兩邊分別平行且方向相反．解析：(1)∵B1D1∥BD，B1C1∥BC，并且方向相同，∴∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同．(2)∵D1B1∥BD，D1A1∥BC，并且方向相反，∴∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反．∠D1B1C1∠B1D1A13．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD異面直線的判定與證明異面直線的判定與證明高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件法二：(反證法)若AE和DF不是異面直線，則AE和DF共面，設(shè)過AE，DF的平面為β.①若E，F(xiàn)重合，則E是BC的中點，從而有AB＝AC，這與題設(shè)AB≠AC相矛盾．②若E，F(xiàn)不重合，∵B∈EF，C∈EF，EF?β，∴BC?β.又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四點共面，這與題設(shè)ABCD是空間四邊形相矛盾．綜上，AE和DF不是異面直線不成立．故AE和DF是異面直線．法二：(反證法)若AE和DF不是異面直線，則AE和DF共面，方法歸納證明兩條直線為異面直線，方法主要有兩種：(1)定理法．即：a?α，A?α，B∈α，B?a?直線a與AB是異面直線．(2)反證法．體現(xiàn)了“正難則反”的解題思想．反證法一般有三個步驟：一是假設(shè)結(jié)論的反面成立；二是推出矛盾，可以是與已知矛盾、與定理、公理矛盾，也可以是自相矛盾；三是下結(jié)論．方法歸納1．如圖所示，AB，CD是兩異面直線，求證：直線AC，BD也是異面直線．證明：法一：假設(shè)AC和BD不是異面直線，則AC和BD在同一平面內(nèi)，設(shè)這個平面為α，由AC?α，BD?α，知A，B，C，D∈α.故AB?α，CD?α.這與AB和CD是異面直線矛盾，1．如圖所示，AB，CD是兩異面直線，求證：直線AC，BD也所以假設(shè)不成立，則直線AC和BD是異面直線．法二：由題圖可知，直線AB、AC相交于點A，所以它們確定一個平面為α.由直線AB和CD是異面直線，則D?α，即直線BD過平面α外一點D與平面α內(nèi)一點B.又AC?α，B?AC，所以直線AC和BD是異面直線．所以假設(shè)不成立，則直線AC和BD是異面直線．公理4及等角定理的應(yīng)用公理4及等角定理的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件方法歸納(1)求證兩直線平行：一是應(yīng)用公理4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行；二是證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點．(2)求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．如本題中在證明∠EA1F＝∠E1CF1時，還可以通過證明△A1EF≌△CF1E1來實現(xiàn)，由于EF＝E1F1，所以只需要證明A1E＝A1F＝CE1＝CF1(在這些邊所在的直角三角形中，利用勾股定理即可證明)．方法歸納高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件

正方體ABCD

-A1B1C1D1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大?。?鏈接教材P29例1)求異面直線所成的角正方體ABCD-A1B1C1D1中高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件方法歸納求兩條異面直線所成的角的數(shù)學(xué)思想是化空間為平面，也就是通過平移直線至相交位置求角，它是立體幾何問題的一個難點，找異面直線所成的角時可綜合運用多種方法，結(jié)合以上四種解法總結(jié)起來有如下“口訣”：中點、端點定頂點，平移常用中位線；平行四邊形中見，指出成角很關(guān)鍵；求角構(gòu)造三角形，銳角、鈍角要明辨；平行線若在外，補(bǔ)上原體在外邊．方法歸納高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因為AB＝CD，所以PM＝PN，(1)若∠MPN＝60°，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°，即AB與MN所成的角為60°.(2)若∠MPN＝120°，則易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB與MN所成的角為30°.綜上知：AB與MN所成的角為60°或30°.所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.[錯因與防范]

(1)在解答此類問題時，常常由于對異面直線所成角的范圍認(rèn)識模糊，導(dǎo)致回答結(jié)論時產(chǎn)生錯誤．事實上，由于異面直線所成角α的范圍是0°＜α≤90°，當(dāng)求得的角為鈍角時，則其補(bǔ)角是異面直線所成的角．(2)①重視異面直線所成的角的取值范圍，并要注意結(jié)合實際情景進(jìn)行恰當(dāng)?shù)赝茖?dǎo)．②計算題中要注意所用結(jié)論的證明，做到步步有據(jù)．③注意解題的規(guī)范性，不要漏掉步驟，致使解析不規(guī)范，答案不清晰．[錯因與防范](1)在解答此類問題時，常常由于對異面直線所高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件[解]

(1)如圖，過P點在平面α外的左、右兩側(cè)存在2條直線與a、b所成的角為45°.(2)如圖，過P點在平面α內(nèi)120°的角平分線上存在1條直線與a、b所成的角為60°；過P點在平面α外的左右兩側(cè)存在2條直線與a、b所成的角為60°，則與a、b所成的角為60°的直線有3條．(3)如圖，過P點在平面α外左右兩側(cè)存在2條直線與a、b所成的角為70°，過P點在平面α外前、后兩側(cè)存在2條直線與a、b所成的角為70°，則與a、b所成的角為70°的直線有4條．[解](1)如圖，過P點在平面α外的左、右兩側(cè)存在2條直線[感悟提高]

如果空間圖形F的所有點都沿同一方向移動相同的距離到F′的位置，就說圖形F在空間作了一次平移．求異面直線所成的角就是利用平移法．即求兩條異成直線的夾角問題，可以把所有的直線都平移，使它們都過同一個點．[感悟提高]如果空間圖形F的所有點都沿同一方向移動相同的距1．2.2空間兩條直線的位置關(guān)系第1章立體幾何初步1．2.2空間兩條直線的位置關(guān)系第1章立體幾何初步學(xué)習(xí)導(dǎo)航第1章立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系．2．理解異面直線的定義、所成角的概念、判定定理以及等角定理．(難點)3．掌握異面直線的判定方法，在直角三角形中求簡單異面直線所成的角的方法．(重點)學(xué)法指導(dǎo)通過實物觀察，抽象出空間兩直線的位置關(guān)系、異面直線概念及夾角的定義，通過在平面上畫出直線的位置關(guān)系、異面直線及夾角，培養(yǎng)空間想象能力，感受掌握空間兩直線關(guān)系的必要性.學(xué)習(xí)導(dǎo)航第1章立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間兩條直線的三1．空間中兩條直線的位置關(guān)系共面情況位置關(guān)系公共點個數(shù)在同一平面內(nèi)共面直線___________有且只有一個___________沒有________________________________________不同在任何一個平面內(nèi)相交平行異面直線1．空間中兩條直線的位置關(guān)系共面情況位置關(guān)系公共點個數(shù)在同一2.公理4與等角定理(1)公理4文字表述_________________的兩條直線互相平行符號表述______________含義揭示了空間平行線的______________性平行于同一條直線a∥b且b∥c?a∥c傳遞2.公理4與等角定理文字表述________________(2)等角定理研究對象在空間中的兩個角條件一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同結(jié)論這兩個角______________相等(2)等角定理研究對象在空間中的兩個角條件一個角的兩邊和另一3.異面直線的判定與幾何表示畫法圖形表示為如圖所示(通常用一個或兩個平面襯托)判定定理文字表述過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與這個平面內(nèi)______________的直線是異面直線符號表述若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線AB與l是異面直線不經(jīng)過該點3.異面直線的判定與幾何表示畫法圖形表示為如圖所示(通常用一4.異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的___________________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則______________特殊情況當(dāng)θ＝______________時，a與b互相垂直，記作______________銳角(或直角)0°＜θ≤90°a⊥b90°4.異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一1．如果兩條直線a與b沒有公共點，那么a和b的位置關(guān)系是____________________．解析：空間中兩條直線的位置關(guān)系共有相交、平行、異面三種情況，若直線a與b沒有公共點，那么a和b的位置關(guān)系只能是平行或異面．平行或異面1．如果兩條直線a與b沒有公共點，那么a和b的位置關(guān)系是__2.

(課本改編題)如圖所示，在三棱錐P－ABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有________對．解析：根據(jù)異面直線的定義可知共3對,分別是AP與BC，CP與AB，BP與AC.32.(課本改編題)如圖所示，在三棱錐P－ABC的六條棱所在3．如圖所示，在正方體ABCD

-A1B1C1D1中，BD和B1D1分別是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線．

(1)∠DBC的兩邊與__________的兩邊分別平行且方向相同；(2)∠DBC的兩邊與__________的兩邊分別平行且方向相反．解析：(1)∵B1D1∥BD，B1C1∥BC，并且方向相同，∴∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同．(2)∵D1B1∥BD，D1A1∥BC，并且方向相反，∴∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反．∠D1B1C1∠B1D1A13．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD異面直線的判定與證明異面直線的判定與證明高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件法二：(反證法)若AE和DF不是異面直線，則AE和DF共面，設(shè)過AE，DF的平面為β.①若E，F(xiàn)重合，則E是BC的中點，從而有AB＝AC，這與題設(shè)AB≠AC相矛盾．②若E，F(xiàn)不重合，∵B∈EF，C∈EF，EF?β，∴BC?β.又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四點共面，這與題設(shè)ABCD是空間四邊形相矛盾．綜上，AE和DF不是異面直線不成立．故AE和DF是異面直線．法二：(反證法)若AE和DF不是異面直線，則AE和DF共面，方法歸納證明兩條直線為異面直線，方法主要有兩種：(1)定理法．即：a?α，A?α，B∈α，B?a?直線a與AB是異面直線．(2)反證法．體現(xiàn)了“正難則反”的解題思想．反證法一般有三個步驟：一是假設(shè)結(jié)論的反面成立；二是推出矛盾，可以是與已知矛盾、與定理、公理矛盾，也可以是自相矛盾；三是下結(jié)論．方法歸納1．如圖所示，AB，CD是兩異面直線，求證：直線AC，BD也是異面直線．證明：法一：假設(shè)AC和BD不是異面直線，則AC和BD在同一平面內(nèi)，設(shè)這個平面為α，由AC?α，BD?α，知A，B，C，D∈α.故AB?α，CD?α.這與AB和CD是異面直線矛盾，1．如圖所示，AB，CD是兩異面直線，求證：直線AC，BD也所以假設(shè)不成立，則直線AC和BD是異面直線．法二：由題圖可知，直線AB、AC相交于點A，所以它們確定一個平面為α.由直線AB和CD是異面直線，則D?α，即直線BD過平面α外一點D與平面α內(nèi)一點B.又AC?α，B?AC，所以直線AC和BD是異面直線．所以假設(shè)不成立，則直線AC和BD是異面直線．公理4及等角定理的應(yīng)用公理4及等角定理的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件方法歸納(1)求證兩直線平行：一是應(yīng)用公理4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行；二是證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點．(2)求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．如本題中在證明∠EA1F＝∠E1CF1時，還可以通過證明△A1EF≌△CF1E1來實現(xiàn)，由于EF＝E1F1，所以只需要證明A1E＝A1F＝CE1＝CF1(在這些邊所在的直角三角形中，利用勾股定理即可證明)．方法歸納高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件

正方體ABCD

-A1B1C1D1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大?。?鏈接教材P29例1)求異面直線所成的角正方體ABCD-A1B1C1D1中高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件方法歸納求兩條異面直線所成的角的數(shù)學(xué)思想是化空間為平面，也就是通過平移直線至相交位置求角，它是立體幾何問題的一個難點，找異面直線所成的角時可綜合運用多種方法，結(jié)合以上四種解法總結(jié)起來有如下“口訣”：中點、端點定頂點，平移常用中位線；平行四邊形中見，指出成角很關(guān)鍵；求角構(gòu)造三角形，銳角、鈍角要明辨；平行線若在外，補(bǔ)上原體在外邊．方法歸納高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步12點、線、面之間的位置關(guān)課件所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因為AB＝CD，所以PM＝PN，(1)若∠MPN＝60°，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN