考研高等數(shù)學各題型總結

題型總結第一章極限與連續(xù)題型一極限的概念）無窮一定無界，無界不一定無窮。）極限存在或連續(xù)》》左右極限存在且相等題型二不定型極限的計算）0比。型，考慮等價無窮小、馬克勞林公式、羅必達）遇到In用In（1+a）~a等等）遇到x.sinx.tanx.arctanx.arcsinx任意兩個相減時，用馬克勞林通型三連加成連成的式子求極限）拆項）使用夾逼）利用公式。（常常需要先夾逼后用公式）題型四極限存在性問題）存在》》1、有界（夾逼等方法求解）2、單調（用導數(shù)或前項?后項證）題型五中值定理法求極限時用中當看到兩項相減，且各項的結構相同時（即可由一個函數(shù)表示出來），此時用中值定理：構造一個函數(shù)，原題即可表示為f（a）?f（b）=「（§）（a?b）題型六含變積分限的函數(shù)極限1）換元2）再利用羅必達去積分號題型七間斷點及其分類1）0點的連續(xù)》》f（O+O）=f（O-O）I8型八閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)看到【】閉區(qū)間的函數(shù)證明題，考慮介值定理：m<=f（§）<=M第二章導數(shù)與微分迓型一號致1）可導》》f+=f-2）絕對值不影響函數(shù)的連續(xù)性，但是可能導數(shù)，在f（a）=O處受影響3）可導等價于可微,注意兩者表示公式，易考選擇題4）判斷某點處的可導3條件：①保兩側都趨于0②導數(shù)公式分子第二項必為f（a）③導數(shù)公式的分子分母必須為同階無窮小題型二甚本求導類型1）顯函數(shù)求導2）隱函數(shù)求導3參數(shù)方程函數(shù)求導4）分段函數(shù)求導題型三高階導致1）公式法2）歸納法3）泰勒公式法第三章一元函數(shù)微分學的應用題型一證明「（§）=01）證「（§）=0,先由介值定理或零點定理找到兩個相等點，再用羅爾證。2）證「'（§）=0,先用兩次拉格朗日定理找出兩個點，再用羅爾。題型二待證結論中出了§沒有其他字母）還原法，即找出輔助函數(shù)（原函數(shù)）：將結論中§變成X、去分母、移項，整理成g（x）=0,再還原是哪個函數(shù)的導數(shù)。）分組構造法，即“還原法二兩項和為一項，方法與1一樣；題型三結論中含§，還含有a,b1）將a,b與§分離,根據a,b的式子采用拉格朗日或柯西中值定理；2）不能分離時，利用題型二的還原法題型四結論中含兩個或兩個以上中值的問鹿情形一：只含兩個簡單中值：找出函數(shù)3個點，用兩次拉格朗日證；情形二：只含兩個中值，但是兩項的復雜程度不同：取出復雜項單獨研究，若是乘積形式，則找原函數(shù)用拉格朗日證即可；若是商形式，則找原函數(shù)用柯西。情形三：結論中含兩個以上中值，且每個中值對應項完全對等：就一個§構造函數(shù)，還原，找三點，用兩次拉格朗日。IK型五兩種情形下考慮拉格朗日中值定理1)結論中出現(xiàn)函數(shù)之差2)可找出函數(shù)的三個點題型六二階導致保號性問題)若題中有「'(x)>0,則「(x)單調增加)若f、'(x)>0,則有f(x)>=f(xO)+f(xO)(x-xO)題型七不等式常見證明方法1)利用中值證明：具備中值性質時用；2)利用單調性證明：無已知或極簡單已知時，移項、構造函數(shù)。3)利用凹凸性證明摩型八函數(shù)的零點成方程根的個數(shù)有兩種情況：1)討論有幾個根：移項、構造函數(shù)、求導數(shù)、令為0,分情況討論。2)證有且有1個根：先利用已知特殊性找出一個根，然后用單調證。摩型九漸近線)同正無窮或同負無窮時，有水平漸近線就沒有斜漸近線；)x=a為f(x)的鉛直漸近線,則x=a為f(x)的間斷點，反之不對；)f(a+O),f(a-O)只有一個為無窮大時,x=a也是f(x)的鉛直漸近線。題型十：弧微分、曲率、曲率半徑(ds)2=(dx)2+(dy)2) 有三種方式：f(x)、參數(shù)方程、極坐標方程Iv"l)曲率：k匕Q+y卬第四章不定積分題型一換元積分法一類是正常移到d后面，另一類的三角替換。題型二分部積分法題型三有理函數(shù)與三角函數(shù)的不定積分有理函數(shù)：)分母可因數(shù)分解，拆分成部分和的形式；)分母不可因式分解，將分母分解，再用積分；三角函數(shù)：1)注意一些技巧：如出現(xiàn)1+cosx,cosx+sinx,sinx的平方、角度不統(tǒng)一時題型四分段函數(shù)的積分：分段積分，但是常數(shù)C要統(tǒng)一，利用分段點求C.第五章定積分及其應用題型一變積分限的函數(shù)問題用換元法去掉積分限中的字母速型二定積分的證明情形一：f(x)連續(xù)①若證明一個定積分等于另一個定積分，且兩個定積分區(qū)間相同，一般使用變換x+t=a+b;若且另一個定積分的區(qū)間為[0,1],一般用x=a+(b-a)t. ②若一個式子是定積分，另一個不含定積分，一般兩種處理方法：把不含定積分項化為定積分形式；利用積分中值定理將定積分項化為不含定積分。情形二：設f(x)屬于c［a,b］且f(x)單調①若被證明積分區(qū)間相同采用相減求導②積分區(qū)間不同，采用換元法化為相同積分或通過積分項處理采用中值定理法情形三：設f(x)在［a,b］上一階可導1)若所證明的積分等式或不等式涉及f.f,一般有兩個工具需要使用：①若被積函數(shù)不含f(x)，則使用拉格朗日中值：F(x)-f(a)=f(§)(x-a)②若被積函數(shù)含f(x),則使用牛頓-萊布尼茲公式：/(x)-f(a)=￡/a)力2)若收)連續(xù)且定積分區(qū)間的長度與定積分前面的常數(shù)為倒數(shù)關系，一般使用積分中值定理。情形四：f(x)高階可導 若關于積分等式中出現(xiàn)二階以上的導數(shù)，一般先使用泰勒公式列出區(qū)間端點，最后用介值定理證等式相等。使用泰勒公式的函數(shù)可能是f(x)或尸(X) 有兩種情況對F(x)使用泰勒:①結論中出現(xiàn)?結論中J" (?+1)!第六章多元函數(shù)微分學1)小知識點：①證連續(xù)：lim/(x,y)=/(Xo，yo),多元函數(shù)連續(xù)沒有一元函數(shù)的左右極X10y-?o限相等之說。②可偏導是可徼的必要非充分條件③證可微：lim^ -~~—=0pto p2)二元函數(shù)求無條件極值的步驟:(1)求定義域D(2)求偏導數(shù)等于0,得出駐點(3)利用判別法判斷駐點是否為極值點：AC-BA2>0,A>0為極小點。3)二元函數(shù)有約束條件求極值，三種方法：①拉格朗日乘數(shù)法,令F=f(x,y)+Axp(x,y),令各偏導為0求(x,y)②轉化為一元函數(shù)的極值，由中(兒力=0求出y=y(x),代入z,直接出一元極值②參數(shù)方程法，與②一樣，只是