四川大學(xué)期末考試試題(閉卷)20162017春微積分

四川大學(xué)期末考試一試題（閉卷）（（2016——2017學(xué)年第2學(xué)期）A卷課程號(hào)：201138040課序號(hào)：課程名稱：微積分（I）-2任課教師：成績(jī)：合用專業(yè)年級(jí)：學(xué)生人數(shù)：印題份數(shù)：學(xué)號(hào)：姓名：考生許諾我已仔細(xì)閱讀并認(rèn)識(shí)《四川大學(xué)考場(chǎng)規(guī)則》和《四川大學(xué)本科學(xué)生考試違紀(jì)舞弊處罰規(guī)定（校訂）》，鄭重許諾：1、已按要求將考試嚴(yán)禁攜帶的文具用品或與考試相關(guān)的物件擱置在指定地址；2、不帶手機(jī)進(jìn)入考場(chǎng)；3、考試時(shí)期恪守以上兩項(xiàng)規(guī)定，如有違規(guī)行為，同意依照相關(guān)條款接受辦理。考生署名：注：考試時(shí)間120分鐘。請(qǐng)將答案寫在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)，不然記0分。一、填空題(每題3分，共21分)1．曲面z2xy上點(diǎn)(1,0,2)處的切平面方程為．20x317y32．limx2y2=．x0y0．設(shè)為2222223xyz:(1，則(xyz)dxdydz．4．設(shè)L是yx21上從(0,1)到(2,3)的有向曲線，則ydxxdy．L5.設(shè)地區(qū)D是由yx2與yx圍成的，則Dxydxdy．6.設(shè)曲線L的方程為x2y21，則(x22．7y)ds=L7.微分方程xyyx2知足y(3)4的特解為．二、解答題(每題9分，共36分)1.設(shè)曲面為zx2y2(x2y2:(1)，求(20xy17y2)dS．2.設(shè)曲面為z1x2y2，方向?yàn)樯蟼?cè)，求x2dydzy2dzdx5z3dxdy．第1頁(yè)，共2頁(yè)3.求微分方程y2yy6xex的通解．4.設(shè)f(x,y)的二階偏導(dǎo)都連續(xù)，f(0,0)0，fx(0,0)fy(0,0)1，fxx(0,0)2，函數(shù)zz(x,y)由zf(xy,yz)確立，求zx(0,0)、zy(0,0)、zyx(0,0)．三、綜合題(每題9分，共18分)x2y2,(x,y)(0,0)1．討論函數(shù)f(x,y)(2x27y2)3/2在點(diǎn)(0,0)處的以下性質(zhì)：0,(x,y)(0,0)（1）偏導(dǎo)數(shù)的存在性；（2）函數(shù)的連續(xù)性；（3）函數(shù)的可微性．2．設(shè)f(x)連續(xù)，f(1)2017，當(dāng)x0時(shí)f(x)0，曲線積分ydxxdy2f(x)2017yLydxxdy在不含原點(diǎn)的單連通地區(qū)上與路徑?jīng)]關(guān)，求：（1）f(x)的表達(dá)式；（2）f(x)2，L2017y此中L為x22017y21，L的方向規(guī)定為逆時(shí)針方向．四、應(yīng)用題(每題9分，共18分)1.設(shè)曲面是由yoz平面上的曲線zy2繞z軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的，曲面與平面xyz12z圍成的立體記為，求：（1）曲面的方程；（2）曲面與平面xy1的交線在xoy2平面上的投影的曲線方程；（3）計(jì)算的體積．(提示：利用x1cos、y1sin)zx2y22.在橢圓拋物面與平面z20圍成的空間地區(qū)中內(nèi)置一個(gè)長(zhǎng)方體，假定該長(zhǎng)方204體的一個(gè)面位于z20上，長(zhǎng)方體的其余面都與某個(gè)坐標(biāo)平面平行，求長(zhǎng)方體的體積的最大值．五、證明題(7分)設(shè)地區(qū)D為x2y2:(1，Isin(x2y2)5/2dxdy，求證：D10t5sint（1）I21dt；（2）I22/7；（3）I3/4．參照解答及其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：（每題3分，共21分）、曲面y上點(diǎn)(1,0,2)處的切平面方程為.1z=2x解：z(1,0)=0，z(1,0)=0，故切平面方程為z-2=0.x20x3+17y3y2、lim=.22x→0+yy→0x解：lim20x3+=limρ(20cos3θ+17sin33θ)=0.x→017yρ→0+·y→0x2+y2?3、設(shè)?為x2+y2+z2(x2+y2+z2)dxdydz=.?1，則2ππ1?1422解：原式=′′′·π··=π.′θ0d?0r5drsin?dr=25ydx+xdy=.4、設(shè)L是y=x-1上從(0,-1)到(2,3)的有向曲線，則′2L′解：直接代入曲線方程，Lydx+0xdy=、設(shè)地區(qū)是由2與y=x圍成的，則?2-1+x·2x)dx=6.Dxydxdy=.5y=x11D11x35D?xydxy=′dx′′?(x-x)dx=.解：0x2xydy=0.6、設(shè)曲線L的方程為x2+y2=1，則2(x2+7y2)ds=24??2L解：由曲線L的對(duì)稱性2ds=，xydsLL4???ds=8π.∴L(x2+7y2)ds=4L(x2+y2)ds=4L7、微分方程xy，+y=x2知足y(3)=4的特解為.解：∵(xy)，21x3+C，由y(3)=4可得：=x，xy=312312=9+C，于是C=3，∴y=x+.x35二、計(jì)算題：（每題9分，共36分）?2+y2（22?、設(shè)曲面Σ為），求(20xy+17y2)dS.z=x+y?11?Σ解：由曲面Σ的對(duì)稱性xydS=0，............Σ?x2dS=?y2dS，.......................Σ?Σ∴(20xy+17y2)dSΣ217=?(x+)dS2y2Σ(x2+y2)dxdy17√?....................................=22x2+y2?1√′2π′1=173220dθ0ρdρ..............................................1分分2分2分2分17√....................................................................1分=2π4??}1-x2-y2，方向規(guī)定為上側(cè)，2dydz2、設(shè)曲面為z=求x藝y2dzdx++5z3dxdy.解：增補(bǔ)平面z=0，使得它們與曲面}圍成關(guān)閉的立體?，曲面方向都指向外側(cè)；............................................................1分明顯在增補(bǔ)的平面上，曲面積分為零，.....................................1分于是由高斯公式可得z3dxdy=?(2x+2y+15z2)dxdydz;?x2dydz+y2dzdx+5...........1分藝?由立體?的對(duì)稱性，??ydxdydz=0;.........................2分xdxdydz=?2?1?2?dxdydz=′zdxdy..........................1分用截面法計(jì)算三重積分?z0dzDz′2)=2分12·π(1-=0z15?z2dydz+y2dzdx+5z3dxdy=15?2dxdydz=2π..............1分所以，xz藝??z2dxdydz另解：前面解答步驟習(xí)題，用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分2ππ/21222?′′′sin?dr...............................................1分=0dθ0d?0rcos?·r2′′dr=π.................................................2分=2ππ/2cos?sin?d?1?04?r22032dydz+ydxdy=15dxdydz=2π..............1分所以，藝xdzdx+5zz?63、求微分方程y，，+2y，+y=6xe-x的通解。解：特點(diǎn)方程為r2+2r+1=0，........................1分r=-1是二重根，..........................1分于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為(C12-x..................分x+C)e2設(shè)z=u(x)e-x是原方程的特解，代入并整理可得u，，...............................................................2分=6x，于是可取u，=3x2，u=x3，.......................................1分進(jìn)而z=x3e-x是原方程的特解；..................1分所以，原方程的通解為(x312-x................分+Cx+C)e14、設(shè)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，f(0,0)=0，fx，(0,0)=fy，(0,0)=，，=2，函數(shù)z=z(x,y)由z=f(x+，1，fxx(0,0)y,yz)所確立，求zx(0,0)、，，，zy(0,0)、zyx(0,0).解：zx，(x,y)=f1，(x+y,yz)+yzx，(x,y)f2，(x+y,yz)，.........................2分zy，(x,y)=f1，(x+y,yz)+[z+yzy，(x,y)]f2，(x+y,yz)；........................2分代入x=0、y=0、z(0,0)=0可得：zx，(0,0)=zy，(0,0)=f1，(0,0)=fx，(0,0)=1......................................2分因?yàn)閦y，(x,0)=f1，(x,0)+z(x,0)f2，(x,0)，再對(duì)x求導(dǎo)可得....................1分，，，，，，，，...................1分zyx(x,0)=f11(x,0)+zx(x,0)f2(x,0)+z(x,0)f21(x,0)，代入x=0、z(0,0)=，，=1、f，，0、zx(0,0)=1、f2(x,0)11(0,0)=2，，=3..................................................................................1分可得：zxy(0,0)7三、綜合題：（每題9分，共18分）x2y21、討論f(x,y)(2x2+7y2)3/2,(x,y)/=(0,0)在原點(diǎn)的以下性質(zhì)：=0(x,y)=(0,0)（1）偏導(dǎo)數(shù)的存在性；（2）函數(shù)的連續(xù)性；（3）函數(shù)的可微性。解：（1）∵f(x,0)=0，∴f，(0,0)=df(x,0)|=0；..............1分xdxx=0∵f(0,y)=0，∴yf，(0,0)=df(0,y=0=0；偏導(dǎo)數(shù)都存在。................1分y)|dy（2）令x=ρcosθ，y=ρsinθ，2θ那么limf(x,y)=limcos2θsin..........................................................................................1分ρ·223/2x→0ρ→0+(2cosθ+7sinθ)y→0cos2θsin2θ因?yàn)閏os2θsin2θ1分(2cos2θ+7sin2?√是有界函數(shù)，.......................22θ)3/2所以limf(x,y)=0=f(0,0)，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)。.......1分x→0y→0（3）因?yàn)閘imf(?x,?y)-f(0,0)-?x·fx，(0,0)-?y·fy，(0,0).......1分?x→0?(?x)2+(?y)2?y→0=lim(?x)2(?y)22...........................................................................................................................1分22x→0[2(?x)+7(?y)]y→0?x→0k2)2.該極限與k相關(guān)，所以極限不存在，...............1分=lim(2+?y=k?x7k2進(jìn)而函數(shù)在原點(diǎn)不能夠微。.....................................................1分8，2、設(shè)f(x)連續(xù)，f(1)=2017，當(dāng)x/=1時(shí)f(x)>0，曲線積分（2）ydx-xdy，L為x2+2017y2=1，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。在不含原點(diǎn)的單連通地區(qū)上與路徑?jīng)]關(guān)，求：（1）f(x)的表達(dá)式；?Lf(x)+2017y2，..........?y2)=f(x)-2017y22解：（1）既然(?-x?yf(x)+2017y(2f(x)+，20172y)f(x)+2017y-xf(x)

ydxxdy′-Lf(x)+2017y21分(-2)=，分?xf(x)+(f(x)+)2..............12017y2017y2由題設(shè)可得xf，2f(x)，于是f(x)=Cx2；.................................1分(x)=利用f(1)=2017可得f(x)=2017x2；...............................1分（2）設(shè)l為半徑充分小的圓x2+y2=E2，方向?yàn)槟鏁r(shí)針；L與l之間的地區(qū)記為D，l圍成的地區(qū)記為，1分D，...........................................................那么由格林公式，?ydx-xdy?0dxdy=0....................................1分L-l=x2+y2?ydx-xdy?D=ydx-xdy=12-2dxdy=-2π.............................2分l1x2+y2?ED!)（?ydx-xdy+?ydx-xdy于是原式=1E2l=-2π...................1分2017L-lx2+lx2+2017y2y2四、應(yīng)用題：（每題9分，共18分）1、設(shè)曲面Σ是由yoz平面上的曲線z=y2繞z軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的，曲面Σ與平面x+y+z=1圍成的立體記為?，求：（1）曲面Σ的方程；2z2）曲面Σ與平面x+y+2=1的交線在xoy平面上的投影曲線方程；（3）計(jì)算立體?的體積(提示：利用x+1=ρcosθ、y+1=ρsinθ)。解：（1）曲面Σ的方程為z=x2+y2；..........................2分（2）投影曲線為(x+1)2+(y+1)2=4.......2分........z=0Dxy（3）V?(2-2x-2y-x2-y2)dxdy1分=........................=?(4(x+1)2-(y+1)2)dxdy..........................................1分-Dxy21分=?(4ρ)ρdρ.................................................................dθDxy-′23′2π9=0dθ0(4-ρ)dρ..............................................................1分=8π...........................................................................................1分102、在橢圓拋物面zy20=x2與平面z=20圍成的空間地區(qū)中內(nèi)置一個(gè)42+長(zhǎng)方體，假定該長(zhǎng)方體的一個(gè)面位于平面z=20上，長(zhǎng)方體的其余面都與某個(gè)坐標(biāo)平面平行，求長(zhǎng)方體的體積的最大值。zy2解：設(shè)第一象限中20=x24上的點(diǎn)(x,y,z)是