中檔大題規(guī)范練1 三角函數(shù)

中檔大題規(guī)范練中檔大題規(guī)范練1三角函數(shù)1.(2016·浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)證明：A＝2B；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(a2,4)，求角A的大小.(1)證明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由S＝eq\f(a2,4)得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2,4)，故有sinBsinC＝eq\f(1,2)sinA＝eq\f(1,2)sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,2)±B.當(dāng)B＋C＝eq\f(π,2)時(shí)，A＝eq\f(π,2)；當(dāng)C－B＝eq\f(π,2)時(shí)，A＝eq\f(π,4).綜上，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,4).2.(2016·北京)已知函數(shù)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期為π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin2ωx＋\f(\r(2),2)cos2ωx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))，由ω＞0，f(x)的最小正周期為π，得eq\f(2π,2ω)＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(π,8)＋kπ，k∈Z，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z).3.已知函數(shù)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位后，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的集合.解(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(3π,8)](k∈Z).(2)由已知，得g(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，∴當(dāng)sin(x＋eq\f(π,4))＝1，即x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，也即x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)時(shí)，g(x)max＝eq\r(2).∴當(dāng){x|x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)}時(shí)，g(x)的最大值為eq\r(2).4.(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(sinC,c).(1)證明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，求tanB.(1)證明根據(jù)正弦定理，可設(shè)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k(k>0)，則a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(sinC,c)中，有eq\f(cosA,ksinA)＋eq\f(cosB,ksinB)＝eq\f(sinC,ksinC)，變形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，根據(jù)余弦定理，有cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,5).所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以eq\f(4,5)sinB＝eq\f(4,5)cosB＋eq\f(3,5)sinB.故tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝4.5.已知向量m＝(eq\r(3)sinx，cosx)，n＝(cosx，cosx)，x∈R，設(shè)f(x)＝m·n.(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝1，求△ABC的面積.解(1)f(x)＝m·n＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得，－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(π,3)＋kπ，eq\f(π,6)＋kπ]，k∈Z.(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，∵0<A<π，∴eq\f(π,6)<2A＋eq\f(π,6)<eq\f(1