2022-2023學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)專題《垂徑定理、推理及應(yīng)用》含答案解析

專題圓經(jīng)典基礎(chǔ)題二：垂徑定理、推理及應(yīng)用一、單選題1．（2022·河北保定·九年級期末）如圖，在中，直徑弦，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂徑定理得，由“等弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半”推知，由三角形內(nèi)角和定理求得，代入即可得到答案．【詳解】在中，直徑弦，，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．2．（2021·福建龍巖·九年級期末）如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理可得：，DE=CE，進(jìn)而得到∠COE=∠DOE，無法得到OE=BE．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，∴，DE=CE，，∴B，D選項正確；∵，∴，∴∠COE=∠DOE，∴A選項正確；只有當(dāng)∠COE=60°時，才有OE=BE．∴C選項不成立；故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理和圓心角、弧之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理．垂徑定理：垂直弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。?．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）某市地鐵施工隊開始隧道挖掘作業(yè)，如圖1，圓弧形混凝土管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件．如圖2，有一圓弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個完全相同的長方體木塊固定，為估計隧洞開挖面的大小，甲、乙兩個組對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，測量結(jié)果如下表所示，利用數(shù)據(jù)能夠估算隧道外徑大小的組是（

）小組測量內(nèi)容甲的長乙的長A．兩組測量數(shù)據(jù)都不足 B．甲組 C．乙組 D．兩組都可以【答案】D【分析】乙的做法的合理性為可由垂徑定理求出HK，又知KL，由直角三角形的勾股定理可求出答案；甲組做法的合理性由弧長公式和兩條半徑之間的關(guān)系列方程組求解即可．【詳解】解：甲、乙兩組的做法都可以，乙組做法的理由：如圖2，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可知，HG=KL，GN=HM，由垂徑定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，進(jìn)而求出OL，問題得以解決；甲組做法的理由：如圖1，由于已知AB，可以設(shè)外圓半徑為R，則可表示內(nèi)圓半徑OA，根據(jù)弧長公式列方程組可求出R即可，所以甲、乙兩組做法均可，故選：D．【點睛】本題考查垂徑定理，直角三角形的邊角關(guān)系，弧長的計算，掌握垂徑定理、勾股定理以及弧長的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．4．（2021·吉林白城·九年級期末）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解決此題首先要弄清楚AB在什么時候最大，什么時候最小．當(dāng)A′B′與小圓相切時有一個公共點，此時可知A′B′最??；當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點，此時AB最大，由此可以確定所以AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時有一個公共點，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴，∴A′B′=8；當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點，此時AB=10，所以AB的取值范圍是8≤AB≤10．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．利用垂徑定理可用同心圓的兩個半徑和與小圓相切的大圓的弦的一半構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理解題這是常用的一種方法，也是解決本題的關(guān)鍵，注意臨界值．5．（2022·四川·渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖，已知H是以AB為直徑的半圓上的一點，C，E分別是，的中點，分別以BH，AH為直徑向外作半圓弧，，D為的中點，延長DH交于點F，連結(jié)EC，若HD：FH=1：2，則EC：FD的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，設(shè)HD=x，F(xiàn)H=2x，證得O、C、D三點共線，O、E、F三點共線，根據(jù)∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，求出GH=FH=x，MH=HD=x，得到AH，BH，求出AB得到OE，進(jìn)而求出CE，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，設(shè)HD=x，F(xiàn)H=2x，∵C是的中點，D為的中點，∴CD⊥BH，∵C是的中點，∴OC⊥BH，∴O、C、D三點共線，同理：O、E、F三點共線，∵∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，∴GH=FH=x，MH=HD=x，∴AH=2GH=2x，BH=2MH=x，∴AB=x，∴OE=OC=x，∴CE=OE=x，∴，故選：A．【點睛】此題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，正確理解垂徑定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·陜西安康·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，弦BD，若，則的大小為（

）A．62° B．56° C．52° D．50°【答案】B【分析】由垂徑定理，即；由等腰三角形的性質(zhì)可得，即，最后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形ABCD為的內(nèi)接四邊形，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、圓的內(nèi)接四邊形等知識點，掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·黑龍江佳木斯·九年級期末）⊙的半徑為5cm，AB、CD是⊙的兩條弦，，，．則和之間的距離為_______．【答案】1cm或7cm．【分析】分兩種情況：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；分別作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖1∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4?3＝1cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖2，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．∴AB與CD之間的距離為1cm或7cm．故填1cm或7cm．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運用垂徑定理以及分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級期末）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑，水面寬，某天下雨后，水面寬度變?yōu)?，則此時排水管水面上升了_____．【答案】或【分析】根據(jù)半徑為，則直徑為；又根據(jù)水面寬度為，則有兩種情況，水面在水面平行的直徑下方，過點作于點；水面在水面平行的直徑上方，過點作于點，過點作于點，根據(jù)垂徑定理，勾股定理，即可求出．【詳解】連接∵∴圓的直徑為∴水面在水面平行的直徑下方∴過點作于點∴且與交于點∵，∴，∴在直角三角形中，∴∴；在直角三角形中，∴∴∴上升的距離為水面在水面平行的直徑上方，過點作于點，過點作于點∵，∴，∴在直角三角形中，∴∴；在直角三角形中，∴∴∴上升的距離為：．故答案為：或．【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是垂徑定理，易錯點是分類討論水面在直徑是下方和上方．9．（2021·黑龍江黑河·九年級期末）已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，，，，則弦AB和CD之間的距離是______．【答案】2cm或14cm【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖，∵，，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖，∵，，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF＋OE=14cm；∴AB與CD之間的距離為2cm或14cm，故答案為：2cm或14cm．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用，小心漏解．10．（2021·山東德州·九年級期末）已知，的直徑，弦，垂足為M，則的長為__．【答案】8或2##2或8【分析】連接，先根據(jù)的直徑求出半徑的長，再根據(jù)垂徑定理求出的長，然后根據(jù)勾股定理求出的長，分兩種情況求出即可．【詳解】解：①連接，如圖所示：∵的直徑，∴，∵弦，∴，在中，由勾股定理得：∴②連接，如圖所示：同①得：，∴；綜上所述，的長為8或2，故答案為：8或2．【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理等知識；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵，注意分類討論．11．（2022·四川·渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖1，重慶特色的九宮格火鍋分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般為正方形）．隔板的設(shè)計有以下兩種：①橫縱隔板兩兩垂直交于三等分點如圖2所示；②橫縱隔板兩兩垂直交于圓鍋邊緣八等分點如圖3所示．已知圓鍋直徑為40cm，則兩種設(shè)計的中心格面積S1與S2差為______cm2．【答案】##【分析】如圖，過點O作OB⊥AP于點B，連接OA，過點C作CF⊥DG，垂足為F，連接CG、DE，然后可得，則有，進(jìn)而可得，根據(jù)圓周角定理可知，則有，最后根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：如圖，過點O作OB⊥AP于點B，連接OA，過點C作CF⊥DG，垂足為F，連接CG、DE，由題意得：，由中心格是正方形可得：，設(shè)，則有AB=3xcm，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴，∴，∵橫縱隔板兩兩垂直交于圓鍋邊緣八等分點如圖3所示，∴圓鍋邊緣每段弧的度數(shù)為45°，∴，∵，∴，∴，∴，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：，即，∴，∴，∴；故答案為．【點睛】本題主要考查垂徑定理、圓周角定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．（2022·黑龍江·蘭西縣崇文實驗學(xué)校八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點都在格點上，點A，B，C的坐標(biāo)分別為請解答下列問題：(1)與，關(guān)于原點O成中心對稱，畫出，并直接寫出點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)；(2)畫出繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并求出點A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過的路徑長．(3)己知，求作，使經(jīng)過的三個頂點．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)見詳解，點(2)(3)見詳解【分析】（1）點是關(guān)于點繞中心原點旋轉(zhuǎn)得到的，點是關(guān)于點繞中心原點旋轉(zhuǎn)得到的，點是關(guān)于點繞中心原點旋轉(zhuǎn)得到的，即根據(jù)中心對稱定義即可求出答案；（2）根據(jù)點旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過的路徑長，就是以點為圓心，以為半徑旋轉(zhuǎn)所得的弧度長，根據(jù)點的坐標(biāo)即可求出半徑的長，依次即可求出答案；（3）的三頂點都要經(jīng)過圓，且在圓上，則是的外接圓，根據(jù)外接圓的圓心在的三條邊的垂直平分線的交點，即可求出答案．（1）解：如下圖所示，∵點是點關(guān)于原點的中心對稱點，∴．故點的坐標(biāo)是．（2）解：如下圖所示，點旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過的路徑長即是弧，如圖所示，，∴，則點所在圓的周長是，，∴的弧長是，故點旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過的路徑長即是：．（3）解：經(jīng)過的三個頂點，以三邊垂直平行線的交點為圓心，以交點到的一個頂點為半徑畫圓，即可，如圖所示，故過的三個頂點的的圓心是三條邊的垂直平分線的交點，是半徑．【點睛】本題主要考查圖形的變換，涉及到三角形的中心對稱，圓的弧長的計算，三角形外接圓的畫法知識，熟練掌握圖形變換的運用是解題的關(guān)鍵．13．（2022·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)九年級期末）如圖，在Rt中，，平分交于點D，O為上一點，經(jīng)過點A，D的分別交，于點E，F(xiàn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為5【分析】（1）連接，可得，根據(jù)等邊對等角，以及角平分線的定義，可得，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再根據(jù)切線的判定方法，即可判定；（2）過點O作，交于點G，根據(jù)垂徑定理可得，故，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，即可求解．（1）證明：如圖，連接，則，，是的平分線，，，，，為的半徑，點D在上，∴是的切線；（2）解：過點O作，交于點G，如圖，，，，，，，，，四邊形是矩形，，的半徑為5．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、圓的垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．14．（2022·江西上饒·九年級期末）在圓O中，點A，B，C均在⊙O上，請僅用無刻度直尺按要求畫圖：(1)在圖1中，以點C為頂點作一銳角，使該銳角與∠CAB互余；(2)在圖2中，弦AD∥BC且AD≠BC，過點A作一直線將△ABC的面積平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作直徑CE，連接BE，∠BCE即為所求；（2）連接CD交AB于點J，作直線OJ交BC于點F，作直線AF，直線AF即為所求．(1)解：如圖1，∠BCE為所作；理由：，是直徑，，，∠BCE與∠CAB互余；(2)解：如圖2，直線AF為所作．理由：，，，，，垂直平分，則是的中線，將△ABC的面積平分．【點睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓周角定理，垂徑定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．15．（2021·河北保定·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，邊BC是直徑，，過點D作對角線AC的平行線交BC的延長線于點P．(1)求證：PD是半圓O的切線；(2)若，，求直徑BC的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，交AC于點E，根據(jù)DA=DC，得證OD⊥AC，結(jié)合AC∥DP，證明OD⊥PD即可．（2）根據(jù)垂徑定理，結(jié)合AC=6，得到AE=EC=3，結(jié)合，得到ED=2，設(shè)半徑OD=OC=R，則OE=R-2，再在直角三角形OEC中，得到，計算即可．（1）如圖，連接OD，交AC于點E，∵DA=DC，∴OD⊥AC，∵AC∥DP，∴OD⊥PD，故PD是半圓O的切線．（2）圖，連接OD，交AC于點E，∵DA=DC，∴OD⊥AC，∵AC=6，∴AE=EC=3，∵，∴ED=2，設(shè)半徑OD=OC=R，∴OE=R-2，在直角三角形OEC中，由勾股定理得，解得R=，∴BC=2R=．【點睛】本題考查了垂徑定理、切線的判定、正切函數(shù)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，切線的判定，勾股定理和正切函數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級期末）如圖，以四邊形的對角線為直徑作圓，圓心為O，過點A作的延長線于點E，已知平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）連接，根據(jù)