角函數(shù)公式大全及其推導(dǎo)方法

三角函數(shù)公式大全及其推導(dǎo)1.三角函數(shù)的定義FigureI由此，我們定義：如FigureI,在AAB1C中的正弦值:sinb對(duì)邊(——)( )c的余弦值:cosa鄰邊(――)c（斜邊）的正切值:tanb對(duì)邊(---)a,鄰邊的余切值:cot11a鄰邊(―-—)tanbb對(duì)邊a的正割值:sec11c斜邊(—―)cosaa鄰邊c的余割值:csc11c(■ )sinbb對(duì)邊c，但用三個(gè)子母表備注：當(dāng)用一個(gè)字母或希臘字母表示角時(shí)，可略寫(xiě)/符號(hào)

，但用三個(gè)子母表示時(shí)，不能省略。在本文中，我們只研究sin、cos、tano2.額外的定義tano2.TOC\o"1-5"\h\z2 2sin (sin )2 / 、2cos (cos )2 , 、2tan (tan )3.簡(jiǎn)便計(jì)算公式sincostan.2sincostan.2sin90ooTOC\o"1-5"\h\zcosAcos(90 )ccsinAsin(90o )bb 1 1 1a a tanAtan(90o )b2 .cos 1證明:Q在ABC中，ABC2,2 2abcb2.2sinBsinA-2 2sincos1證完

btanTOC\o"1-5"\h\zb C sintana a cosc.2 2,2 ,sin cos12costan1——2———212cos4.任意三角形的面積公式FigureII如FigureII,SABC二ah21,「-absinC21-acsinB(兩邊和其夾角正弦的乘積5.余弦定理：任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對(duì)邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明：如FigureII,TOC\o"1-5"\h\z.2 ,2,2bdh/ r、2 / . 、2(accosB)(csinB)2 2 2 2 2a2accosBccosBcsinB2 2,2 2=a2accosBc(cosBsinB)2 2ac2accosB.2 2 2 2 2 .2「bacacbcosB 2ac 2ac證完6.海倫公式證明：如FigureII,C 1 ， SabcabsinC

2-ab\1cos2C22眄2眄12abTOC\o"1-5"\h\z[ 4,4 4 2,2 22 221..abc2ab2ac2bc-ab,1 222 4a2b21ab2,2,2 4,4 4c2,2^22 221ab24ababc2ab2ac2bc224a2b2, ， 2,2 4 ,4 4 c2,2^22 2212124ab ab c 2ab 2ac 2bc-ab 224 4ab4 ,4 4c2,2^22 221 2,21 2,2一ab4a2b2abcabcbcaabc16abc2cabc2babc2aabcabc2cabc2babc2aabcabcabcabc,abcabcabcabc,abc b c”abc氏：s= SABC7.正弦定理如Figureillc為AABC#接圓的直徑,aQsinA—cc△一2r（r為ABC的外接圓半徑）sinA同理:TOC\o"1-5"\h\zb cc ,c sinB sinCa b c 2rsinA sinB sinC8.加法定理FigureIV如FigureIV,AOCBOCAOB令A(yù)O=BO=r點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xArcos點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為yArsin點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xBrcos(2)(3)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 yB rsin2AB yA yBrsin22rsinsin2sin211222xAxB2rsin22rsinsin22cos2sinsin2r21sin由余弦公式可得:222AB2AC2BC222rr2rrcosrcos2r2sin2sinsinsin2sinsinsin2ACrcos222r2rcos2r22cos2r21cos綜上得： cos兩角和的余弦coscossinsincos兩角和的正弦sincoscossincossinsincos909090sinsin2coscoscoscoscoscoscosBCcosACBsinsincoscoscoscoscossinsinsinsincos90cos22rcos2cos2cos2sinsincoscos2cos2cos2cos2r2coscoscoscossin sincossinsincos

cossinsincossincoscossin(5)兩角和的正切sintan coscossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsin

1 coscostantan

1tantan(6)兩角差的正切tan tantantan1tantantantan1tantan9.兩倍角公式

sin2sinsincossincos2sincoscos2coscoscossinsin 2 2cossin2sin22cos2 1sin2tan2 cos22sincos~~cossin2sincos2cos 2 .2cossin2cos2sincos2(sin2~costantan210.積化和差公式10.積化和差公式1sincos一2sincos1sin一 sin cos sin coscossincossin21… …一 sin sin2coscos一2coscos21一coscos21一cos2sinsin一2sinsin21.一sinsin21cos2coscoscossinsincossinsinsinsincoscoscoscos11.和差化積公式⑴設(shè)：A=a+0,B=…，sinAsinBsinsinsinAsinBsinsinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossincoscossinAsinBsinsinsincoscossinsincoscossincoscossinAsinBsinsinsincoscossinsincoscossin2sincos2sin2sin2cossin2cos sin 2 2cAB.AB2cos sin一2 2設(shè)：cosa-,sin-a2 b2 b "a2=b2.2?cos_■_2sinasinbsincossincossincos12.其他常用公式sinn3600 sincosn3600 costann3600 tansin90coscos90sintan901tansin90coscos90sintan901tansin90coscos90sintan901tansin180sincos180costan180tansin180sincos180costan180tansincossincossincostantan2ntan90不存在coscoscos1sin1sin13.特殊的三角函數(shù)值\0015—1230一645460一375—1290—2sin066五12收2立2娓V2144cos166五在2旗212V6 2~2044tan02出31V32V3N/A14.關(guān)于機(jī)器算法在計(jì)算機(jī)中，三角函數(shù)的算法是這樣的，其中x用弧度計(jì)算2n1sinx1!3!5!7!n2n1!cosx0!2!4!6!sinx1!3!5!7!n2n1!cosx0!2!4!6!2n!推導(dǎo)公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R為外接圓半徑)由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起來(lái)a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)帶入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/⑸nA+sinB+sinC)=2R兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinACosA對(duì)數(shù)的性質(zhì)及推導(dǎo)用A表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對(duì)數(shù)*表示乘號(hào)， /表示除號(hào)定義式：若aAn=b(a>0且aw1)則n=log(a)(b)基本性質(zhì)：A(log(a)(b))=b(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);(a)(MAn)=nlog(a)(M)推導(dǎo)這個(gè)就不用推了吧， 直接由定義式可得 (把定義式中的 [n=log(a)(b)]帶入aAn=b)MN=M*N由基本性質(zhì)1（換掉M和N）a州og(a)(MN)]=aA[log(a)(M)]*a州og(a)(N)]由指數(shù)的性質(zhì)aA[log(a)(MN)]=aA{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)與2類似處理MN=M/N由基本性質(zhì)1(換掉M和N)aA[log(a)(M/N)]=aA[log(a)(M)]/aA[log(a)(N)]由指數(shù)的性質(zhì)aA[log(a)(M/N)]=aA{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)與2類似處理MAn=MAn由基本性質(zhì) 1(換掉M)aA[log(a)(MAn)]={aA[log(a)(M)]}An由指數(shù)的性質(zhì)aA[log(a)(MAn)]=aA{[log(a)(M)]*n}又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(MAn)=nlog(a)(M)其他性質(zhì)：性質(zhì)一：換底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推導(dǎo)如下N=aA[log(a)(N)]a=bA[log(b)(a)]綜合兩式可得N={bA[log(b)(a)]}A[log(a)(N)]=bA{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因?yàn)镹=bA[log(b)(N)]所以bA[log(b)(N)]=bA{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{這步不明白或有疑問(wèn)看上面的 }所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性質(zhì)二：(不知道什么名字)log(aAn)(bAm)=m/n*[log(a)(b)]推導(dǎo)如下由換底公式 [lnx是log(e)(x),e稱作自然對(duì)數(shù)的底 ]log(aAn)(bAm)=ln(aAn)/ln(bAn)由基本性質(zhì) 4可得log(aAn)(bAm)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由換底公式log(aAn)(bAm)=m/n*[log(a)(b)] (性質(zhì)及推導(dǎo)完)公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)證明如下:由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) 取以b為底的對(duì)數(shù),log(b)(b)=1=1/log(b)(a)還可變形得 :log(a)(b)*log(b)(a)=1平方關(guān)系：sinA2(a)+cosA2(a)=1tanA2(a)+1=secA2(a)C0tA2(a)+1=CSCA2(a),冏的關(guān)系：tana=sina/cosacota=cosa/sina?倒數(shù)關(guān)系：tana?cota=1sina-CSCa=1cosa-seca=1萬(wàn)能公式：sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：TOC\o"1-5"\h\zsin (2k九 + a) = sin acos (2k九 + a) = cos atan (2k兀 + a) = tan acot (2k九 + a) = cot a公式二：設(shè)a為任意角，冗+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (九+ a ) =—sin acos (九+ a ) =—cos atan (九+ a ) =tanacot (九+ a ) =cota公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(—a)=—sinacos(—a)=cosatan(—a)=—tanacot(—a)=-cota公式四：利用公式二和公式三可以得到 冗-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(九一a)=sinacos(九一a)=cosatan(九一a)=tanacot(九一a)=cota公式五：利用公式一和公式三可以得到2…與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin(2九一a)=sinacos(2九一a)=cosatan(2九一a)=tanacot(2九一口)=一cota公式六：九/2±a及3九/2±a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：TOC\o"1-5"\h\zsin (冗/2 + a) = cosacos (冗/2 + a) = —sin atan (冗/2 + a) = —cot acot (冗/2 + a) = —tan asin (九/2 — a) = cosacos (九/2 — a) = sinatan (九/2 — a) = cotacot (九/2 — a) = tanasin(3冗/2+a)=—cosacos(3冗/2+a)=sinatan(3兀/2+a)=—cotacot(3兀/2+a)=—tanasin(3冗/2—a)=—cosacos(3冗/2—a)=—sinatan(3兀/2—a)=cotacot(3兀/2—a)=tana(以上keZ)一般的最常用公式有 :Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方關(guān)系：sinA2(a)+cosA2(a)=1tanA2(a)+1=secA2(a)cotA2(a)+1=cscA2(a),積的關(guān)系：sina=tana*cosacosa=cota*sinatana=sina*secacota=cosa*cscaseca=tana*cscaCSCa=seca*COta?倒數(shù)關(guān)系：tana?cota=1sina-CSCa=1cosa-seca=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊，余弦等于角A的鄰邊比斜邊TOC\o"1-5"\h\z正切等于對(duì)邊比鄰邊 ,三角函數(shù)恒等變形公式?兩角和與差的三角函數(shù)：cos(a +B)=cos a-cos B -sin a- sin Bcos(a -B)=cos a-cos B +sin a? sin Bsin(a±B)=sina?cosB±cosa?sinBtan(a +B)=(tan a+tan B )/(1 -tan a -tan B )tan(a -B)=(tan a-tan B )/(1+tan a ?tan B ),輔助角公式：Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin( a+t),其中sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)?倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)cos(2a尸8sAcos(2a尸8sA2(tan(2a尸2tanatan(2a尸2tana/[1-tanA2(a)]?三倍角公式:sin(3a)=3sina-4sinA3(a)cos(3a尸4cosA3(a)-3COSa?半角公式：sin(a/2)=±，((1-cosa)/2)cos(a/2)=±，((1+COSa)/2)tan(a/2)=±，((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sinatan(a/2)=±，((1-cosa)/(1+cos?降幕公式sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=vercos(2a)/2tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))?萬(wàn)能公式：sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)],積化和差公式:sina-cosB=(1/2)[sin(+0)+sin()]cosa?sinB=(1/2)[sin(+B)-sin()]cosa-cosB=(1/2)[cos(+0)+cos()]sina-cosB=(1/2)[sin(+0)+sin()]cosa?sinB=(1/2)[sin(+B)-sin()]cosa-cosB=(1/2)[cos(+0)+cos()]sina?sinB=-(1/2)[cos(a+B)-cos(a-B)],和差化積公式：sina+sin 0=2sin[( a +0)/2]cos[( a - 0)/2]sina-sin 0=2cos[( a +0)/2]sin[( a - 0)/2]cosa+cos B=2cos[( a +0V2]cos[( a - 0)/2]cosa-cosB=-2sin[(a+0)/2]sin[(a-B)/2]其他：sina+sin(a+2兀/n)+sin(a+2兀*2/n)+sin(a+2兀*3/n)+ +sin[a+2兀*(n-1)/n]=0cosa+cos(a+2兀/n)+cos(a+2兀*2/n)+cos(a+2兀*3/n)+ +cos[a+2兀*(n-1)/n]=0以及sinA2(a)+sinA2(a-2兀/3)+sinA2(a+2兀/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等內(nèi)容高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]泰勒展開(kāi)有無(wú)窮級(jí)數(shù)，eAz=exp(z)=1+z/1!+zA2/2!+zA3/3!+zA4/4!+…+zAn/n!+…此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。三角函數(shù)作為微分方程的解：

對(duì)于微分方程組y=-y”;y=y"” ,有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊三角函數(shù)值a0'30'45'60'90'sina01/2V2/2V3/21cosa1,3/2,2/21/20tana0V3/31V3NonecotaNoneV31,3/30三角函數(shù)的計(jì)算冪級(jí)數(shù)c0+c1x+c2x2+…+cnxn+...=Ecnxn(n=0..0°)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x- a)n+...=Ecn(x-a)n(n=0..0°)它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)幕的幕函數(shù)，其中c0,c1,c2,..…及a都是常數(shù)，這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù) .泰勒展開(kāi)式 (冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法 ):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...實(shí)用冪級(jí)數(shù)：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)oo<x<oo)sinx=x-x3/3!+x5/5!-…(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+…(- oo<x<oo)oo<x<oo)cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)arccosx=兀-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)arctanx=x-xA3/3+xA5/5-…(x<1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+…(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+…(- 00<x<°°)coshx=1+x2/2!+x4/4!+…(-1)k*x2k/(2k)!+…(- 00<x<°°)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)arctanhx=x+xA3/3+xA5/5+...(|x|<1)傅立葉級(jí)數(shù) (三角級(jí)數(shù) )f(x)=a0/2+E(n=0..°°)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/兀/(兀..-兀)(f(x))dxan=1/九/(冗..-冗)(f(x)cosnx)dxbn=1/兀/(兀..-兀)(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示為“Tg”如：TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=CosaA2-SinaA2=1-2SinaA2=2CosaA2-1Tan2a=2Tana/1-TanaA2眾所周知 ,在數(shù)學(xué)和物理中 ,三角函數(shù)是一個(gè)重要的工具 ,以下是一些推導(dǎo)公式 ,希望對(duì)大家有作用平方關(guān)系：sinA2(a)+cosA2(a)=1cosA2a=(1+cos2a)/2tanA2(a)+1=secA2())sinA2a=(1 -cos2a)/2cotA2()+1=cscA2()?積的關(guān)系:sin=tan*coscos=cot*sintan=sin*seccot=cos*cscsec=tan*csccsc=sec*cot?倒數(shù)關(guān)系:tana-cot==1Sina-CSCa=1cosa-seca=1直角三角形ABC中,角 A的正弦值就等于角 A的對(duì)邊比斜邊余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊?三角函數(shù)恒等變形公式?兩角和與差的三角函數(shù):cos(a+3)=cosa-cos3-sina-sin3cos(a-3)=cosa-cos3+sina-sin3sin(a±3)=sina?cos3±cosa-sin3tan(a+3)=(tana+tan3)/(1 -tana-tan3)

tan(a-3)=(tana-tan3)/(1+tana-tan3)?三角和的三角函數(shù):sin(a+3+Y)=sina-cos3,cosr+cosa-sin3'cos^+cosa,cos3,sin丫-sina?sin3,sin丫cos(a+3+r)=cosa-cos3,cos丫-cosa-sin3'sinr-sina-cos3,sinr-sina?sin3'cos丫tan(a+3+r)=(tana+tan3+tan丫-tana-tan3-tan丫)/(1-tana-tan3-tan3-tany-tany-tana)■輔助角公式:Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin( a+t),其中sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)-t)，-t)，tant=A/BAsina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(?倍角公式:sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]?三倍角公式:sin(3a)=3sina-4sinA3(a)cos(3a)=4cosA3(a)-3COSa?半角公式:sin(a/2)=±V((1-cosa)/2)cos(a/2)=±V((1+COSa)/2)tan(a/2)=±，((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1 -cosa)/sina?降哥公式sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))?萬(wàn)能公式:sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]cosa=[1-tanA2(&/2)]/[1+tanA2( &/2)]tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]?積化和差公式:TOC\o"1-5"\h\zsina - cos 3 =(1/2)[sin( a +3 )+sin(a - 3 )]cosa - sin 3 =(1/2)[sin( a +3 )-sin( a - 3 )]cosa - cos 3 =(1/2)[cos( a +3 )+COs(a - 3 )]sina-sin3=-(1/2)[cos(a+3)-cos(a-3)]?和差化積公式:sina+sin3=2sin[(a+3)/2]cos[(a-3)/2]sina-sin3=2cos[(a+3)/2]sin[(a-3)/2]cosa+cos3=2cos[(a+3)/2]COS[(a-3)/2]cosa-cos3=-2sin[(a+3)/2]sin[(a-3)/2]?推導(dǎo)公式tana+cota=2/sin2atana-cota=-2cot2a1+cos2a=2cosA2a1-cos2a=2sinA2a1+sina=(sina/2+cosa/2)人2?其他:sina+sin(a+2u/n)+sin(a+2兀*2/n)+sin(a+2u*3/n)+ +sin[a+2u*(n -1)/n]=0cos++cos(a+2%/n)+cos(a+2Tt*2/n)+cos(a+2兀*3/n)+ +cos[a+2兀*(n -1)/n]=0以及sinA2(a)+sinA2(&-2%/3)+sinA2(”+2兀/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sin