人教版八年級上數(shù)學課件含°角的直角三角形的性質

13.3.2等邊三角形第2課時

含30°角的直角三角形的性質葫蘆島第六初級中學13.3.2等邊三角形第2課時含30°角的直角三角▼性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD

如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性質▼性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么【證法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長BC到D，使BD=AB，連結AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

【證法1】在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結EC.★含30°角的直角三角形的性質

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.▼應用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).★含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果判斷下列說法是否正確：（1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半.

（2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半.（3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

（4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．√人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).判斷下列說法是否正確：√人教版八年級上數(shù)學課件13.3.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運用含30°角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.例1人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例2人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥O方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線構造含30°角的直角三角形．人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE方法總結：含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一個重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關系的結論時，要聯(lián)想此性質．人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).方法總結：含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？

如圖是屋架設計圖的一部分，點D

是斜梁AB的中點，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長？ABCDE例4人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).已知:等腰三角形的底角為15°,腰方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含30°角的直角三角形來解決．本題的關鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質解決問題.方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含30°角的直1.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB1.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.55.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______.ACB83.如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4，則BD=

.A

B

C

D

1第3題圖第5題圖4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長．解：連結AE.∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中點，DE⊥AB于E點，求證：BE=3EA.證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是內容在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半使用要點找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊注意前提條件：直角三角形中課堂總結含30°角的直角三角形的性質內容在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角人教版八年級上數(shù)學課件含°角的直角三角形的性質13.3.2等邊三角形第2課時

含30°角的直角三角形的性質葫蘆島第六初級中學13.3.2等邊三角形第2課時含30°角的直角三角▼性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD

如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性質▼性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么【證法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長BC到D，使BD=AB，連結AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

【證法1】在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結EC.★含30°角的直角三角形的性質

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.▼應用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).★含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果判斷下列說法是否正確：（1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半.

（2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半.（3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

（4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．√人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).判斷下列說法是否正確：√人教版八年級上數(shù)學課件13.3.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運用含30°角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.例1人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例2人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥O方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線構造含30°角的直角三角形．人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE方法總結：含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一個重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關系的結論時，要聯(lián)想此性質．人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).方法總結：含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？

如圖是屋架設計圖的一部分，點D

是斜梁AB的中點，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長？ABCDE例4人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).人教版八年級上數(shù)學課件13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質(共22張PPT).已知:等腰三角形的底角為15°,腰方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含30°角的直角三角形來解決．本題的關鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質解決問題.方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含30°角的直1.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米