2023學年山西省應縣一中高三第四次模擬考試數(shù)學試卷（含解析）

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，，．若實數(shù)，滿足不等式組，則目標函數(shù)（）A．有最大值，無最小值 B．有最大值，有最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值2．函數(shù)在上單調遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）3．拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．24．在中，，，分別為角，，的對邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．5．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．26．雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．67．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．9．設，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件10．《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數(shù)進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數(shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時，如圖：記為每個序列中最后一列數(shù)之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．176411．德國數(shù)學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學家?天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結果是()A． B．C． D．12．設復數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則________．14．已知函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．15．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.16．已知集合，則____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為．（1）當直線的傾斜角為時，求線段AB的中點的橫坐標；（2）設點A關于軸的對稱點為C，求證：M，B，C三點共線；（3）設過點M的直線交橢圓于兩點，若橢圓上存在點P，使得（其中O為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）在極坐標系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點，求兩交點間的距離．19．（12分）在平面直角坐標系中，，，且滿足（1）求點的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，判斷是否是函數(shù)的極值點，并說明理由；（2）當時，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.21．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知橢圓的中心在坐標原點，其短半軸長為，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上的點，且．證明：直線與圓相切；求面積的最小值．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

判斷直線與縱軸交點的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.【題目詳解】由，，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.故選：B【答案點睛】本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結合思想，考查了不等式的性質應用.2、B【答案解析】

根據(jù)題意分析的圖像關于直線對稱，即可得到的單調區(qū)間，利用對稱性以及單調性即可得到的取值范圍?！绢}目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關于直線對稱，若函數(shù)在上單調遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【答案點睛】本題考查偶函數(shù)的性質，以及函數(shù)單調性的應用，有一定綜合性，屬于中檔題。3、A【答案解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【題目詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【答案點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．4、D【答案解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進行化簡求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進行求解即可．【題目詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【答案點睛】本題主要考查解三角形的應用，結合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進行計算是解決本題的關鍵．5、D【答案解析】

如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.【答案點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.6、A【答案解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±22x，圓心坐標為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【答案點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系，屬于基礎題.7、B【答案解析】

根據(jù)不等式的性質對選項逐一判斷即可.【題目詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【答案點睛】本題考查不等關系和不等式，屬于基礎題.8、B【答案解析】

求出導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍．【題目詳解】，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數(shù)有兩個零點，則，∴．故選：B．【答案點睛】本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍．9、D【答案解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【題目詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【答案點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.10、A【答案解析】

根據(jù)題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【題目詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【答案點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學文化，屬于基礎題.11、B【答案解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計算的規(guī)律，即可求解.【題目詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時滿足判定條件，輸出結果，故選：B.【答案點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.12、B【答案解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【題目詳解】由已知，，所以.故選：B.【答案點睛】本題考查復數(shù)的乘法、除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內角類比三棱錐中側棱與面所成角．【題目詳解】，故，【答案點睛】本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時有結構類比，方法類比等．14、【答案解析】由圖可知，當直線y＝kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時，y＝kx與y＝f(x)的圖像有兩個不同交點，即方程有兩個不相同的實根．15、【答案解析】

根據(jù)與已知直線垂直關系，設出所求直線方程，將已知圓圓心坐標代入，即可求解.【題目詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.【答案點睛】本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關系的靈活應用，屬于基礎題.16、【答案解析】

根據(jù)并集的定義計算即可.【題目詳解】由集合的并集，知.故答案為：【答案點睛】本題考查集合的并集運算，屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)AB的中點的橫坐標為；（2）證明見解析；（3）【答案解析】

設.（1）因為直線的傾斜角為，，所以直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，則，故線段AB的中點的橫坐標為．（2）根據(jù)題意得點，若直線AB的斜率為0，則直線AB的方程為，A、C兩點重合，顯然M，B，C三點共線；若直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，則，設直線BM、CM的斜率分別為、，則，即=，即M，B，C三點共線．（3）根據(jù)題意，得直線GH的斜率存在，設該直線的方程為，設，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，結合，得，當時，該直線為軸，即，此時橢圓上任意一點P都滿足，此時符合題意；當時，由，得，代入橢圓C的方程，得，整理，得，再結合，得到，即，綜上，得到實數(shù)的取值范圍是．18、（1）表示一條直線，是圓心為，半徑為的圓；（2）.【答案解析】

（1）直接利用極坐標方程與直角坐標方程之間的轉換關系可將曲線的方程化為直角坐標方程，進而可判斷出曲線的形狀，在曲線的方程兩邊同時乘以得，由可將曲線的方程化為直角坐標方程，由此可判斷出曲線的形狀；（2）由直線過圓的圓心，可得出為圓的一條直徑，進而可得出.【題目詳解】（1），則曲線的普通方程為，曲線表示一條直線；由，得，則曲線的直角坐標方程為，即．所以，曲線是圓心為，半徑為的圓；（2）由（1）知，點在直線上，直線過圓的圓心．因此，是圓的直徑，．【答案點睛】本題考查曲線的極坐標方程與直角坐標方程之間的轉化，同時也考查了直線截圓所得弦長的計算，考查計算能力，屬于基礎題.19、（1）．（2）的方程為．【答案解析】

（1）令，則，由此能求出點C的軌跡方程．（2）令，令直線，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達定理，三角形面積公式，結合已知條件能求出直線的方程。【題目詳解】解：（1）因為，即直線的斜率分別為且，設點，則，整理得.（2）令，易知直線不與軸重合，令直線，與聯(lián)立得，所以有，由，故，即，從而，解得，即。所以直線的方程為?！敬鸢更c睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關系，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題。20、（1）是函數(shù)的極大值點，理由詳見解析；（2）1.【答案解析】

（1）將直接代入，對求導得，由于函數(shù)單調性不好判斷，故而構造函數(shù)，繼續(xù)求導，判斷導函數(shù)在左右兩邊的正負情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點；（2）利用題目已有條件得，再證明時，不等式恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【題目詳解】解:（1）當時，.令，則當時，.即在內為減函數(shù)，且∴當時，;當時，.∴在內是增函數(shù)，在內是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點.（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當時，不等式成立，即.即證令則∴當時，;當時，.∴在內單調遞增，在內單調遞減，的最大值為.∴當時，.即當時，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【答案點睛】本題考查學生利用導數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷函數(shù)的單調性，由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍，對學生要求較高，然后需要學生能構造新函數(shù)處理恒成立問題，為難題21、（1）證明見解析（2）【答案解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標原點，，，所在的直線