概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 浙江大學(xué)第四版 課后習(xí)題答案 word 完整版

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)第四版課后習(xí)題答案word完整版完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案第四版盛驟浙江大學(xué)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率論的基本概念［一］寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（［一］1）,n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（［一］2）S10,ll,12,,n,（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查,合格的蓋上“正品”,不合格的蓋上“次品”,如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查,或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查,記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”,查出次品記為“0”,連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查,或查滿4次才停止檢查。（［一］3）S00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,［二］設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生,B與C不發(fā)生。表示為：或A-AB+AC或A-BUCA,B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：或AB-ABC或AB-CA,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為:A+B+CA,B,C都發(fā)生，表示為:ABCA,B,C都不發(fā)生，表示為:或S-A+B+C或A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A,B,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為:。A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于:中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為:A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于:AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為:AB+BC+AC［三］設(shè)A,B是兩事件且PA0.6,PB0.7.問1在什么條件下PAB取到最大值,最大值是多少？(2)在什么條件下PAB取到最小值，最小值是多少？解：由PA0.6,PB0.7即知ABH?,(否則AB?依互斥事件加法定理,PAUBPA+PB0.6+0.71.31與PAUBW1矛盾).從而由加法定理得PABPA+PB-PAUB*從OWPABWPA知，當(dāng)ABA,即AGB時(shí)PAB取到最大值，最大值為PABPA0.6,從*式知，當(dāng)AUBS時(shí),PAB取最小值，最小值為PAB0.6+0.7-10.3。［四］設(shè)A,B,C是三事件,且,.求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解:PA,B,C至少有一個(gè)發(fā)生PA+B+CPA+PB+PC-PAB-PBC-PAC+PABC［五］在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞,若從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列,問能排成上述單詞的概率是多少?記A表“能排成上述單詞”???從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞:55個(gè)???9在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0,1,2……9)記A表“后四個(gè)數(shù)全不同”???后四個(gè)數(shù)的排法有104種,每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有??［六］在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章,任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。(1)求最小的號(hào)碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A???10人中任選3人為一組:選法有種，且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于:有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有(2)求最大的號(hào)碼為5的概率。記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有種,且每種選法等可能,又事件B相當(dāng)于:有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼小于5,選法有種［七］某油漆公司發(fā)出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落,交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼,問一個(gè)定貨4桶白漆,3桶黑漆和2桶紅漆顧客,按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少?記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種,且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故［八］在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品,1100個(gè)正品,任意取200個(gè)。求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件A???在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品,取法有種??至少有2個(gè)次品的概率。記:A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上,200個(gè)產(chǎn)品不含次品,取法有種,200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品,取法有種???且B0,B1互不相容。［九］從5雙不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少?記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對”???從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對,可在5雙中任取4雙,再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有［十一］將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少?記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)”i1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1:必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種。選排列:好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列對A2:必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。從3個(gè)球中選2個(gè)球,選法有,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中,選法有4種,最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。對A3:必須三球都放入一杯中。放法有4種。只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子,放入此3個(gè)球,選法有4種［十二］50個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件,其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱,每個(gè)部件用3只鉚釘,若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上,則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱,問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少?記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”法一:用古典概率作:把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對E:鉚法有種，每種裝法等可能對A:三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有〔〕X10種法二:用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對E:鉚法有種，每種鉚法等可能對A:三支次釘必須鉚在“1，2,3”位置上或“4,5,6”位置上，…或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種［十三］已知。解一:注意.故有PABPA-PA0.7-0.50.2。再由加法定理,PAUPA+P-PA0.7+0.6-0.50.8于是［十四］。解:由由乘法公式,得由加法公式,得［十五］擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求PA|B,即將事件B作為樣本空間,求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x,y）（x,yl,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y7,則樣本空間為Sx,y|1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3每種結(jié)果（x,y）等可能。A擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí),其中有一顆為1點(diǎn)。故方法二：（用公式Sx,y|x1,2,3,4,5,6;y1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A“擲兩顆骰子,x,y中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B“擲兩顆骰子,x,+y7”。貝山故［十六］據(jù)以往資料表明,某一3口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:PAP孩子得病0.6,PB|AP母親得病|孩子得病0.5,PC|ABP父親得病|母親及孩子得病0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解:所求概率為PAB（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求p|abPABPAPB|A0.6X0.50.3,P|AB1-PC|ABl-0.40.6.從而PABPAB?P|AB0.3X0.60.18.［十七］已知10只晶體管中有2只次品,在其中取二次,每次隨機(jī)地取一只,作不放回抽樣,求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一:用組合做在10只中任取兩只來組合,每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果,每種取法等可能。法二:用排列做在10只中任取兩個(gè)來排列,每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果,每個(gè)排列等可能。法三:用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記A1,A2分別表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（記為事件B）法一:法二:法三:（3）—只是正品，一只是次品（記為事件C）法一:法二:法三:（4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一:因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二:法三:［十八］某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過三次而接通所需的電話的概率是多少?如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少?記H表撥號(hào)不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號(hào)能接通。注意:第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下,求H再發(fā)生的概率。24.［十九］設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少?（此為第三版19題1）記A1,A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。TBA1B+A2B且A1,A2互斥???PBPA1PB|A1+PA2PB|A2［十九］2第一只盒子裝有5只紅球，4只白球;第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記Cl為“從第一盒子中取得2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得2只白球”。C3為“從第一盒子中取得1只紅球,1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥,C1UC2UC3S,由全概率公式，有PDPC1PD|C1+PC2PD|C2+PC3PD|C326.［二十一］已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少?解:解:Al男人,A2女人,B色盲，顯然A1UA2S,A1A2?解:解:Al男人,A2女人,B色盲，顯然A1UA2S,A1A2?由已知條件知由貝葉斯公式,有［二十二］一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格,求他第一次及格的概率。解:Ai他第i次及格，i1,2已知PA1PA2|A1P,(1)B至少有一次及格所以(2)(*)由乘法公式，有PA1A2PA1PA2|A1P2由全概率公式,有將以上兩個(gè)結(jié)果代入(*)得［二十五］某人下午5:00下班,他所積累的資料表明:到家時(shí)間5:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,結(jié)果他是5:47到家的,試求他是乘地鐵回家的概率。解:設(shè)A“乘地鐵”，B“乘汽車”，C“5:45~5:49到家”，由題意,ABd,AUBS已知:PA0.5,PC|A0.45,PC|B0.2,PB0.5由貝葉斯公式有［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只,其中10只一等品;第二箱30只,其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱,然后從該箱中取零件兩次,每次任取一只,作不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的條件下,第二次取到的也是一等品的概率。解:設(shè)Bi表示“第i次取到一等品”i1,2Aj表示“第j箱產(chǎn)品”jl,2，顯然A1UA2SA1A2?(B1A1B+A2B由全概率公式解)。(2)(先用條件概率定義，再求PB1B2時(shí)，由全概率公式解)32.［二十六(2)］如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點(diǎn),假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。???AA1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥???PAPA1A2+PA1A3A5+PA4A5+PA4A3A2-PA1A2A3A5+PA1A2A4A5+PA1A2A3A4+PA1A3A4A5+PA1A2A3A4A5PA2A3A4A5+PA1A2A3A4A5+PA1A2A3A4A5+A1A2A3A4A5+PA1A2A3A4A5-PA1A2A3A4A5又由于A1,A2,A3,A4,A5互相獨(dú)立。故PAp2+p3+p2+p3-[p4+p4+p4+p4+p5+p4]+[p5+p5+p5+p5]-p52p2+3p3-5p4+2p5[二十六（1）]設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為P1,P2,P3,P4,將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i1,2,3,4,A表示系統(tǒng)正常。???AA1A2A3+A1A4兩種情況不互斥?PAPA1A2A3+PA1A4-PA1A2A3A4加法公式PA1PA2PA3+PA1PA4-PA1PA2PA3PA4P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4A1,A2,A3,A4獨(dú)立34.[三十一]袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少?解:設(shè)“出現(xiàn)解:設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”Br“任取一只是正品”A解:設(shè)“出現(xiàn)解:設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”Br“任取一只是正品”A由全概率公式,有（條件概率定義與乘法公式）35.甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解:高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，il,2,3。B1,B2,B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)???，三種情況互斥。三種情況互斥又B1,B2,B2獨(dú)立。+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.70.41PH3PB1PB2PB30.4X0.5X0.70.14又因：AH1A+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式,有PAPH1PA|H1+PH2PA|H2+PH3PAH30.36x0.2+0.41x0.6+0.14x10.45836.［三十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這—事件記為A1）,10%（事件A2）,90%（事件A3）的概率分別為PA10.8,PA20.15,PA20.05，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件,發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B）,試分別求pA1|BPA2|B,PA3|B（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率,所以取第—、第二、第三件是互相獨(dú)立地）*?*B表取得三件好物品。BA1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式,有???PBPA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A30.8x0.983+0.15x0.93+0.05x0.130.862437.［三十四］將A,B,C三個(gè)字母之—輸入信道,輸出為原字母的概率為a,而輸出為其它一字母的概率都是1-a/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道，輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為p1,p2,p3p1+p2+p31,已知輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。）解:設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA,B1、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為AAAA,BBBB,CCCC,則B1、B2、B3為一完備事件組，且PBiPi,i1,2,3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推，依題意有PA收|A發(fā)PB收|B發(fā)PC收|C發(fā)a,PA收|B發(fā)PA收|C發(fā)PB收|A發(fā)PB收|C發(fā)PC收|A發(fā)PC收|B發(fā)又PABCA|AAAAPD|B1PA收|A發(fā)PB收|A發(fā)PC收|A發(fā)PA收|A發(fā)同樣可得PD|B2PD|B3于是由全概率公式,得由Bayes公式，得PAAAA|ABCAPB1|D［二十九］設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球;第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至少有一只藍(lán)球的概率，(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率，(3)已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解:記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球,B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。記C至少有一只藍(lán)球CA1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5種情況互斥由概率有限可加性,得記D有一只藍(lán)球，一只白球,而且知DA1B3+A3B1兩種情況互斥(3)(3)(3)(3)［三十］A,B,C三人在同一辦公室工作,房間有三部電話,據(jù)統(tǒng)計(jì)知,打給A,B,C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?A,B,C三人外出的概率分別為,設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立,求無人接電話的概率;(2)被呼叫人在辦公室的概率;若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話,求(3)這3個(gè)電話打給同一人的概率;(4)這3個(gè)電話打給不同人的概率；(5)這3個(gè)電話都打給B,而B卻都不在的概率。解:記Cl、C2、C3分別表示打給A,B,C的電話DI、D2、D3分別表示A,B,C外出注意到C1、C2、C3獨(dú)立，且P(無人接電話)PD1D2D3PD1PD2PD3記G“被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”R為“這3個(gè)電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C的三個(gè)電話,每種情況的概率為于是（5）由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給B電話而B不在的概率為,且各次情況相互獨(dú)立于是P（3個(gè)電話都打給B,B都不在的概率）第二章隨機(jī)變量及其分布1.［一］一袋中有5只乒乓球,編號(hào)為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只,以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼,寫出隨機(jī)變量X的分布律解:X可以取值3,4,5,分布律為也可列為下表X:3,4,5P:［三］設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解:任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0,1,2個(gè)。再列為下表X:0,1,2P:［四］進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為P,失敗的概率為q1-p0p1將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。(此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。(此時(shí)稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律,并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。解：(1)PXkqk-1pk1,2,……Yr+n最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n-1次有n次失敗，且最后一次成功其中q1-p,或記r+nk,則PYkPXk0.55k-10.45k1,2…PX取偶數(shù)6.［六］一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為0.1,問在同一時(shí)刻恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(4)(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(4)(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?［五］一房間有3扇同樣大小的窗子,其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間,它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去,試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的,鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。戶主聲稱,他養(yǎng)的一只鳥,是有記憶的,它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。求試飛次數(shù)X小于Y的概率;求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：(1)X的可能取值為1,2,3,…小,…PXnP前n-1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去,n1,2,Y的可能取值為1,2,3PY1P第1次飛了出去PY2P第1次飛向另2扇窗子中的一扇,第2次飛了出去PY3P第1,2次飛向了另2扇窗子,第3次飛了出去同上,8.［八］甲、乙二人投籃,投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立,且彼此投籃也獨(dú)立。PXYPX0,Y0+PX2,Y2+PX3,Y3PX0PY0+PX1PY1+PX2PY2+PX3PY30.43X0.33+［甲比乙投中次數(shù)多的概率。PXYPX1,Y0+PX2,Y0+PX2,Y1+PX3PY0+PX3PY1+PX3PY2PX1PY0+PX2,Y0+PX2,Y1+PX3PY0+PX3PY1+PX3PY29.［十］有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯,能將甲種酒全部挑出來,算是試驗(yàn)成功一次。(1)某人隨機(jī)地去猜,問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少?(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次,成功3次。試問他是猜對的,還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。)解：(l)p—次成功(2)P連續(xù)試驗(yàn)10次,成功3次。此概率太小,按實(shí)際推斷原理,就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。［九］有一大批產(chǎn)品,其驗(yàn)收方案如下,先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件,經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品,次品數(shù)大于2拒收;否則作第二次檢驗(yàn),其做法是從中再任取5件,僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品,若產(chǎn)品的次品率為10%,求這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率需作第二次檢驗(yàn)的概率這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率這批產(chǎn)品被接受的概率解:X表示10件中次品的個(gè)數(shù),Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B(10,0.1),Y~B(5,0.1)(近似服從)PX00.910~0.349PXW2PX2+PX1PY00.95~0.590P0XW2,Y00XW2與Y2獨(dú)立P0XW2PY00.581X0.5900.343PX0+P0XW2,Y0^0.349+0.3430.69212.［十三］電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率法一:(直接計(jì)算)法二:PX8PX28-PX±9(查入4泊松分布表)。0.051134-0.0213630.029771(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。PX10PX±110.002840(查表計(jì)算)［十二2］每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。［十六］以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間(以分計(jì))，X的分布函數(shù)是求下述概率:(1)P至多3分鐘;(2)P至少4分鐘;(3)P3分鐘至4分鐘之間；P至多3分鐘或至少4分鐘;(5)P恰好2.5分鐘解：(1)P至多3分鐘PXW3P至少4分鐘PX±4P3分鐘至4分鐘之間P3XW4P至多3分鐘或至少4分鐘P至多3分鐘+P至少4分鐘P恰好2.5分鐘PX2.5018.［十七］設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求(1)PX2,P0XW3,P2X;(2)求概率密度fXx.解：(1)PXW2FX2ln2,P0XW3FX3-FX01,(2)20.［十八(2)］設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為(1)(2)求X的分布函數(shù)Fx,并作出(2)中的fx與Fx的圖形。解:當(dāng)-lWxWl時(shí)：當(dāng)lx時(shí)：故分布函數(shù)為：解：(2)故分布函數(shù)為(2)中的fx與Fx的圖形如下22.［二十］某種型號(hào)的電子的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）。任取5只,問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少?解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”貝山23.［二十一］設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）服從指數(shù)分布,其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y±1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此24.［二十二］設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率???K的分布密度為：要方程有根,就是要要方程有根,就是要K滿足4K2-4X4XK+220。要方程有根,就是要要方程有根,就是要K滿足4K2-4X4XK+220。解不等式，得K22時(shí),方程有實(shí)根。??［二十三］設(shè)X~N(3.22)求P2XW5,P-4XW10,P|X|2,PX3?/若X~N(口，。2)，則PaXWBd????P2XW5?eei-e-0.50.8413-0.30850.5328P-4XW100??3.5-?-3.50.9998-0.00020.9996P|X|21-P|X|21-P-2P21-?-0.5+?-2.51-0.3085+0.00620.6977PX31-PXW31-G1-0.50.5決定C使得PXCPXWC???PXC1-PXWCPXWC得PXWC0.5又PXWC????C3［二十四］某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì))服從在該地區(qū)任選一18歲女青年,測量她的血壓X。求(1)PXW105,P100X<120(2)確定最小的X使PXxW0.05.解:［二十五］由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為口10.05,o0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格的概率是多少?設(shè)螺栓長度為XPX不屬于10.05-0.12,10.05+0.121-P10.05-0.12X10.05+0.121-1-?2-?-21-0.9772-0.02280.0456［二十六］一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為口160,。未知的正態(tài)分布,若要求P120<XW200=0.80，允許。最大為多少？???P120<XW200又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有?-x1-?x???上式變?yōu)榻獬鲈俨楸?得30.［二十七］設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X:-2,-1,0,1,3P:,求YX2的分布律???YX2：-22-12021232P：再把X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：???Y:0149P：31.[二十八]設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布求YeX的分布密度???X的分布密度為：YgXeX是單調(diào)增函數(shù)又XhYlnY，反函數(shù)存在且amin[g0,g1]min1,e1[g0，g1]1，ee???Y的分布密度為：求Y-2lnX的概率密度。???YgX-2lnX是單調(diào)減函數(shù)又反函數(shù)存在。且amin[g0,g1]min+^,00B[g0,g1]+汽0+x???Y的分布密度為：[二十九]設(shè)X~N(0,1)(1)求YeX的概率密度???X的概率密度是YgXeX是單調(diào)增函數(shù)又XhYlnY反函數(shù)存在且amin[gg+^]min0,+^0B[g—8,g+x]0,+x+x???Y的分布密度為：求Y2X2+1的概率密度。在這里,Y2X2+1在+8,-8不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY(y),則FYyPYWyP2X2+lWy當(dāng)yl時(shí):FYy0當(dāng)y±l時(shí)：故Y的分布密度Vy是：當(dāng)yWl時(shí)：血y[FYy]'O'0當(dāng)yl時(shí)，Vy[FYy]'求Y|X|的概率密度。???Y的分布函數(shù)為FYyPYWyP|X|Wy當(dāng)y0時(shí),FYy0當(dāng)y±0時(shí),FYyP|X|WyP-yWXWy???Y的概率密度為：當(dāng)yWO時(shí)：血y[FYy]'O'0當(dāng)yO時(shí)：血y[FYy]'[三十](1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx,求YX3的概率密度。VYgXX3是X單調(diào)增函數(shù)，又XhY，反函數(shù)存在，且amin[gg+^]minO,B[g—8,g+x]0,+x+x???Y的分布密度為：Vyf[hh]?|h'y|(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求YX2的概率密度。法一：VX的分布密度為：Yx2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)xO時(shí)yx2反函數(shù)是當(dāng)xO時(shí)yx2??Y~fYy—法二：?Y~fYy[三^一]設(shè)X的概率密度為求YsinX的概率密度。

?/FYyPYWyPsinXWy當(dāng)yO時(shí):FYy0當(dāng)OWyWl時(shí)：FYyPsinXWyPOWXWarcsiny或n-arcsinyWXWn當(dāng)1y時(shí):FYy1???Y的概率密度Vy為：yWO時(shí)，Vy[FYy]'0'0Oy1時(shí)，Vy[FYy]'lWy時(shí)，Vy［FYy］'036.［三十三］某物體的溫度ToF是一個(gè)隨機(jī)變量，且有T~N（98.6，2），試求e°C的概率密度。［已知］法一：JT的概率密度為又是單調(diào)增函數(shù)。反函數(shù)存在。且amin[gg+^]min-^,[g—oo+x][g—oo+x]—ooe的概率密度V。為01010101法二:根據(jù)定理:若X~N(al,。1),則YaX+b~Naa1+b,a2。2由于T~N(98.6,2)故故e的概率密度為：第三章多維隨機(jī)變量及其分布1.［一］在一箱子里裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中隨機(jī)地取兩次,每次取一只。考慮兩種試驗(yàn):(1)放回抽樣,(2)不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X,Y如下：試分別就(1)(2)兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解:(1)放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。PXi,YjPXiPYjPX0,Y0PX0,Y1PX1,Y0PX1,Y1或?qū)懗蒟Y01(2)不放回抽樣的情況PX0,Y0PX0,Y1PX1,Y0PX1,Y1或?qū)懗蒟Y01013.［二］盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X,Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：(X,Y)的可能取值為i,j,i0,l,2,3,j0,12,i+j±2,聯(lián)合分布律為PX0，Y2PX1,Y1PX1,Y2PX2,Y001010101PX2,Y1PX2,Y2PX3,Y0PX3,Y1PX3,Y20［三］設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為確定常數(shù)k。(2)求卩X1,Y3(3)求卩X1.5(4)求卩X+YW4分析:利用PX,YEG再化為累次積分，其中解:⑴???，???(2)(3)(4)(