工程力學-彎曲變形

第十二章彎曲變形§12-1工程中的彎曲變形問題§12-2撓曲線的微分方程§12-3用積分法求彎曲變形§12-4用疊加法求彎曲變形§12-6提高彎曲剛度的一些措施§12-7

簡單超靜定梁§12-5梁的剛度校核目錄§12-1工程中的彎曲變形問題7-1§12-1工程中的彎曲變形問題§12-2撓曲線的微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓曲線撓度轉(zhuǎn)角撓度w：截面形心在w方向的位移向上為正轉(zhuǎn)角θ：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。逆時針為正7-22.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應(yīng)力時，得到：忽略剪力對變形的影響由數(shù)學知識可知：略去高階小量，得所以由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度?！?2-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-31.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與w

同向為正，反之為負。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用表示，逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

w=f(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個基本位移量小變形PxwCqC1w撓曲線近似微分方程即撓曲線近似微分方程。小變形wxM>0wxM<0撓曲線曲率:EIzxM)(=w￠￠\

11強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)?！?2對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：撓曲線曲率:13用積分法求彎曲變形（撓曲線方程）1.微分方程的積分C1、C2為積分常數(shù)，據(jù)邊界條件確定§12-3積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程：2.位移邊界條件FABCFD支點位移條件：連續(xù)光滑條件：FABC（集中力、集中力偶作用處，截面變化處）例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令得，令得，討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁?！?2-4用疊加法求彎曲變形設(shè)梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為w，則有：

若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-4故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。處理計算的方法一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：

前提：小變形，線彈性．使梁的撓度、轉(zhuǎn)角 均與載荷成線形關(guān)系。例已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC

；B截面的轉(zhuǎn)角B1）將梁上的載荷分解wC1wC2wC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。解3）應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和

wC1wC2wC3例

按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加q00.5L0.5LxdxxwCL/2L/2qACA=+例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)例結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等價等價xxwPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMx=+ABLaCqqaABL

CM=qa2/2TT（b）例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。解：1)結(jié)構(gòu)分解如圖2)查梁的簡單載荷變形表3)疊加B

CTTq（a）例

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解3）將結(jié)果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角?！?2-5梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。由具體工作條件定,可查手冊.通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設(shè)計截面尺寸；、設(shè)計載荷。(但：對于一般工程結(jié)構(gòu)，強度常處于主要地位。特殊構(gòu)件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例５下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[w]=0.00001m,B點的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyP2BCa=++圖1圖2圖3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxy疊加求復雜載荷下的變形校核剛度1）選擇合理的截面形狀§12-6提高彎曲剛度的一些措施2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改變支座形式2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改變載荷類型3）采用超靜定結(jié)構(gòu)§12-7

簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.求解方法：解除多余約束，建立相當系統(tǒng)——比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件——由物理關(guān)系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)7-6解例6求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)3）進行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件4）由物理關(guān)系，列出補充方程所以5）由整體平衡條件求其他約束反力例7梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個懸