2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

絕密★啟用前河南省2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項:1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運算，然后進(jìn)行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則即可求得z的值.【詳解】由題意可得：.故選：C.3.已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、、為假命題.故選：A．4.函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A.和 B.和2 C.和 D.和2【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．5.若滿足約束條件則的最小值為（）A.18 B.10 C.6 D.4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點時,取最小值，此時.故選：C.6.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.7.在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.【詳解】設(shè)“區(qū)間隨機取1個數(shù)”，對應(yīng)集合為：，區(qū)間長度為，“取到的數(shù)小于”，對應(yīng)集合為：，區(qū)間長度為，所以．故選：B．【點睛】本題解題關(guān)鍵是明確事件“取到的數(shù)小于”對應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準(zhǔn)確求出．8.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當(dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．9.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題.10.在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D11.設(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)點，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)點，因，，所以，而，所以當(dāng)時，的最大值為．故選：A．【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質(zhì)，由兩點間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．易錯點是容易誤認(rèn)為短軸的相對端點是橢圓上到上定點B最遠(yuǎn)的點，或者認(rèn)為是橢圓的長軸的端點到短軸的端點距離最大，這些認(rèn)識是錯誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個閉區(qū)間，而不是全體實數(shù)上求最值.．12.設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，若，則_________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.14.雙曲線的右焦點到直線的距離為________．【答案】【解析】【分析】先求出右焦點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線距離為.故答案為：15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點，則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐.故答案為：③④.【點睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.三、解答題．共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐體積公式即可求出．【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，平面，所以，從而，設(shè)，，則，即，解得，所以．因為底面，故四棱錐的體積為．【點睛】本題第一問解題關(guān)鍵是找到平面或平面的垂線，結(jié)合題目條件，所以垂線可以從中產(chǎn)生，稍加分析即可判斷出平面，從而證出；第二問關(guān)鍵是底面矩形面積的計算，利用第一問的結(jié)論結(jié)合平面幾何知識可得出，從而求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積．19.設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.【點晴】本題主要考查數(shù)列求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.20.已知拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；當(dāng)時，；綜上，直線的斜率的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用平面向量的知識求得點坐標(biāo)的關(guān)系，在求斜率的最值時要注意對取值范圍的討論.21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)為和.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進(jìn)行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標(biāo)時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.（二）選考題:共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做．則按所做的第一題計分．[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1．（1）寫出的一個參數(shù)方程;（2）過點作的兩條切線．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得或【點晴】本題主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.[選修4—5:不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用絕對值