2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)一輪訓(xùn)練試題考點(diǎn)8：選修系列四

2010-2011學(xué)年度第一學(xué)期南通市六所省重點(diǎn)高中聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)Ⅱ試題（附加題）一、選答題：本大題共4小題，請(qǐng)從這4題中選做兩小題，如果多做，則按所做的前兩題記分，每小題10分，共20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明步驟或演算步驟．1．（選修4—1：幾何證明選講）如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過(guò)OCMNAPBOCMNAPB（第1題）（1）求證：；（2）若⊙O的半徑為，OA=OM，求MN的長(zhǎng)．解：（1）由條件得矩陣，它的特征值為和，對(duì)應(yīng)的特征向量為及；………5分（2），橢圓在的作用下的新曲線的方程為．…10分2.（選修4—2：矩陣與變換）設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍的伸壓變換．（1）求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；（2）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．3．（選修4—4：不等式選講）設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）求證：．4．（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時(shí)，MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等？（用極坐標(biāo)或參數(shù)方程方程求解）解：以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)長(zhǎng)軸所在直線為F1F1F2xαMN這里:a=3,c=,………2分所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：………４分設(shè)M點(diǎn)的極坐標(biāo)為，N點(diǎn)的極坐標(biāo)為，………………５分解法二：設(shè)橢圓的方程為，其左焦點(diǎn)為，直線MN的參數(shù)方程為：，………………４分將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得：，設(shè)M、N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則2011屆江蘇省蘇州市迎二模六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)附加題，選做題21．A．選修4—1：（幾何證明選講）如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過(guò)點(diǎn)A且與BC邊相切于點(diǎn)D，與AB，AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC．證明：如圖，連結(jié)DF．因?yàn)锽C與圓相切，ABDCEFABDCEFO·因?yàn)椤螮FD與∠EAD為弧DE所對(duì)的圓周角，所以∠EFD＝∠EAD．又因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，故∠EAD＝∠DAF．…………8分所以∠CDF＝∠EFD，所以EF∥BC．…………10分B．選修4—2：(矩陣與變換)已知a，b∈R，若矩陣M=eq\b\bc\[(\a\al\vs4(－1a,b3))所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x－y=3變換為自身，求a，b的值．解：（方法一）在直線l上取兩點(diǎn)(EQ\F(3,2)，0)，(0，－3)．因?yàn)镋Q\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(－1,a,b,3))EQ\b\bc\[(\a\vs2\hs3(EQ\F(3,2),0))＝EQ\b\bc\[(\a\vs2\hs3(－EQ\F(3,2),EQ\F(3,2)b))，EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(－1,a,b,3))EQ\b\bc\[(\a\vs2\hs3(0,－3))＝EQ\b\bc\[(\a\vs2\hs3(－3a,－9))，………6分因?yàn)镸對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點(diǎn)(－EQ\F(3,2)，EQ\F(3,2)b)，(－3a，－9)仍在直線l上．代入直線方程得EQ\b\lc\{(\a\al(－3－EQ\F(3,2)b＝3，,－6a＋9＝3，))解得EQ\b\lc\{(\a\al(a＝1，,b＝－4．))………10分（方法二）設(shè)(x，y)為直線l上任意一點(diǎn)，則EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(－1,a,b,3))EQ\b\bc\[(\a\vs2\hs3(x,y))＝EQ\b\bc\[(\a\vs2\hs3(－x＋ay,bx＋3y))，…………3分因?yàn)镸對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點(diǎn)(－x＋ay，bx＋3y)仍在直線l上，代入直線方程得：2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3，…………7分化簡(jiǎn)得(－2－b)x＋(2a－3)y＝3，又直線l：2x－y所以EQ\b\lc\{(\a\al(－2－b＝2，,2a－3＝－1，))解得EQ\b\lc\{(\a\al(a＝1，,b＝－4．))…………10分C．選修4—4：(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)將參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\al(x＝2(t＋eq\F(1,t))，,y＝4(t－eq\F(1,t))))(t為參數(shù))化為普通方程．解：（方法一）因?yàn)?t＋EQ\F(1,t))2－(t－EQ\F(1,t))2＝4，…………5分所以(EQ\F(x,2))2－(EQ\F(y,4))2＝4．…………8分化簡(jiǎn)得普通方程為EQ\F(xEQ\s\up4(2),16)－EQ\F(yEQ\s\up4(2),64)＝1．…………10分（方法二）因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\al(x＝2(t＋eq\F(1,t))，,y＝4(t－eq\F(1,t))))，所以t＝EQ\F(2x＋y,8)，EQ\F(1,t)＝EQ\F(2x－y,8)，…………5分相乘得EQ\F((2x＋y)(2x－y),64)＝1．…………8分化簡(jiǎn)得普通方程為EQ\F(xEQ\s\up4(2),16)－EQ\F(yEQ\s\up4(2),64)＝1．…………10分D．選修4—5：(不等式選講)已知a，b是正數(shù)，求證(a＋eq\F(1,b))(2b＋eq\F(1,2a))≥eq\F(9,2)．證明：（方法一）因?yàn)閍，b是正數(shù)，利用均值不等式，(a＋eq\F(1,b))(2b＋eq\F(1,2a))＝2ab＋EQ\F(1,2)＋2＋EQ\F(1,2ab)…………5分＝(2ab＋EQ\F(1,2ab))＋EQ\F(5,2)≥2＋EQ\F(5,2)＝EQ\F(9,2)．所以(a＋eq\F(1,b))(2b＋eq\F(1,2a))≥EQ\F(9,2)．…………10分（方法二）因?yàn)閍，b是正數(shù)，利用柯西不等式，(a＋EQ\F(1,b))(2b＋EQ\F(1,2a))＝[(EQ\r(,a))2＋(EQ\r(,EQ\F(1,b)))2][(EQ\r(,2b))2＋(EQ\r(,EQ\F(1,2a)))2]……5分≥(EQ\r(,a)×EQ\r(,EQ\F(1,2a))＋EQ\r(,EQ\F(1,b))×EQ\r(,2b))2＝(EQ\r(,EQ\F(1,2))＋EQ\r(,2))2＝EQ\F(9,2)．所以(a＋EQ\F(1,b))(2b＋EQ\F(1,2a))≥EQ\F(9,2)．………10分江蘇省2011屆高三上學(xué)期蘇北大聯(lián)考（數(shù)學(xué)）數(shù)學(xué)Ⅱ試題（附加題）1、已知矩陣，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為．求矩陣A，并寫(xiě)出A的逆矩陣．解：由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為可得，，即c＋d＝6；………2分由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為，可得，即3c－2d解得…………8分A的逆矩陣2、過(guò)點(diǎn)P（－3，0）且傾斜角為30°直線和曲線相交于A、B兩點(diǎn)．求線段AB的長(zhǎng)．解：直線的參數(shù)方程為，…………3分曲線可以化為．……………5分將直線的參數(shù)方程代入上式，得．設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，∴．……………8分AB＝．…………………10分2011年江蘇省海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、南京市金陵中學(xué)高三調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（加試部分）BCEDA21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題l0分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域BCEDAA.選修4–1幾何證明選講如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D.求證：ED2=EB·EC.B．矩陣與變換已知矩陣，，求滿足的二階矩陣．C.選修4–4參數(shù)方程與極坐標(biāo)若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為=1與=2cos(+eq\f(,3)),它們相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).D.選修4–5不等式證明選講設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:a3+b3+c3+eq\f(1,abc)≥2eq\r(3).江蘇省常州市2011屆高三復(fù)習(xí)迎考試卷數(shù)學(xué)試題Ⅱ(附加題)21．【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．A．選修4—1幾何證明選講ABCDDFO如圖，AB是⊙O的直徑，C、F為⊙O上的點(diǎn)，且CA平分∠BAF，過(guò)點(diǎn)ABCDDFO交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：DC是⊙O的切線.【證明】連結(jié)OC，所以∠OAC=∠OCA.又因?yàn)镃A平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，于是∠FAC=∠OCA，所以O(shè)C//AD.又因?yàn)镃D⊥AF，所以CD⊥OC，故DC是⊙O的切線．…10分B．選修4—2矩陣與變換變換T是繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，求曲線在變換T作用下所得的曲線方程．【解】變換T所對(duì)應(yīng)變換矩陣為，設(shè)是變換后圖像上任一點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，則，即，代入，即，所以變換后的曲線方程為．…10分C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)（本題滿分10分）已知圓和圓的極坐標(biāo)方程分別為，．（1）把圓和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．【解】（1），所以；因?yàn)?，所以，所以．……?分（2）將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為．化為極坐標(biāo)方程為，即．…10分D．選修4—5不等式證明選講（本題滿分10分）已知，求證：.【解】因?yàn)?，所以，所以要證，即證，即證，即證，而顯然成立，故．……………10分江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)2011屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)(數(shù)學(xué)理)附加題21．本大題包括A，B，C，D共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題.每小題10分，共20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．PCAPCADBO·如圖，PA切⊙O于點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D引割線交⊙O于、兩點(diǎn)．求證:．【證明】因?yàn)榕c圓相切于，所以，………2分因?yàn)镈為PA中點(diǎn)，所以DP=DA，所以DP2=DB·DC，即．……5分因?yàn)?，所以∽………?分所以．…10分B．選修4—2：矩陣與變換曲線在二階矩陣的作用下變換為曲線，求實(shí)數(shù)的值；解：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，為曲線上與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則，即……6分代入的得，及方程，從而，解得，…10分C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)圓和圓的極坐標(biāo)方程分別為．（1）把圓和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求經(jīng)過(guò)圓，圓兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．解