MXT-高中數(shù)學(xué)-直線平面平行的判定及性質(zhì)

直線、平面平行的判斷及性質(zhì)◆高考導(dǎo)航·順風(fēng)出發(fā)◆最新考綱常有題型1.以立體幾何的定義、公義和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判判定理．一般出現(xiàn)于解答題中，中檔題型2.能運用公義、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖占5～12分形的平行關(guān)系的簡單命題.[知識梳理]1．直線與平面平行的判判定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的∵l∥a，判斷a?α，一條直線平行，則該直線與此平面平定理l?α，行(線線平行?線面平行)∴l(xiāng)∥α一條直線與一個平面平行，則過這條∵l∥α，性質(zhì)直線的任一平面與此平面的交線l?β，定理與該直線平行(簡記為“線面平行?α∩β＝b，線線平行”)∴l(xiāng)∥b2．平面與平面平行的判判定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言∵a∥β，一個平面內(nèi)的兩條訂交直線b∥β，判斷與另一個平面平行，則這兩個平a∩b＝P，定理面平行(簡記為“線面平行?面a?α，b?α，面平行”)∴α∥β∵α∥β，若是兩個平行平面同時和第三個性質(zhì)α∩γ＝a，平面訂交，那么它的交線定理β∩γ＝b，平行∴a∥b[知識感悟]1．直線與平面平行的判斷中易忽視“線在面內(nèi)”這一重點條件．2．面面平行的判斷中易忽視“面內(nèi)兩條訂交線”這一條件．3．若是一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質(zhì)上也能夠訂交．4．重要結(jié)論：(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若

a⊥α，a⊥β，則α∥β；(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若

a⊥α，b⊥α，則

a∥b；(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若

α∥β，β∥γ，則α∥γ.[知識自測]1．判斷以下結(jié)論可否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．()(2)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線．()(3)若是一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．()(4)若是兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()(5)若直線

a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則

a∥α.(

)(6)若α∥β，直線

a∥α，則

a∥β.(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)×2．(2018

·南模擬濟

)平面α∥平面β的一個充分條件是

(

)A．存在一條直線

a，a∥α，a∥βB．存在一條直線

a，a?

α，a∥βC．存在兩條平行直線

a，b，a?

α，b?

β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α[解析]若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故消除

A.若α∩β＝l，a?

α，a∥l，則

a∥β，故消除

B.若α∩β＝l，a?

α，a∥l，b?

β，b∥l，則

a∥β，b∥α，故消除

C.應(yīng)選

D.[答案]

D3．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形

EFGH

為截面，則四邊形

EFGH

的形狀為

______．[解析]∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．[答案]平行四邊形題型一考向一1．(2017

直線與平面平行的判斷與性質(zhì)證明直線與平面平行·標(biāo)Ⅱ課)如圖，四棱錐P-ABCD

(高頻考點題，多角打破)中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD，1AB＝BC＝2AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PAD面積為27，求四棱錐P-ABCD的體積．[解析](1)證明：在平面ABCD內(nèi)，由于∠BAD＝∠ABC＝90°，因此BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)取AD的中點M，連接PM，CM，由AB＝BC＝12AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.由于側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，因此PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，由于CM?底面ABCD，因此PM⊥CM.設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x.取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD，因此PN＝1412x×142x.由于△PCD的面積為27，因此2×2x＝27，解得x2(舍去)，x＝2，于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23，因此四棱錐P-ABCD的體積V＝1322＋4×23＝43.2考向二線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用2．(2018·沙調(diào)研長)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為217.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．[解](1)證明：由于BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，因此GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK由于PA＝PC，O是AC的中點，因此PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)，因此PO⊥底面ABCD.又由于平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，因此PO∥平面GEFH.由于平面PBD∩平面GEFH＝GK，因此PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF.因此GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，11OB，即K為OB的中點．從而KB＝DB＝4211再由PO∥GK得GK＝PO，即G是PB的中點，且GH＝BC＝4.22由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，因此GK＝3.GH＋EF4＋8故四邊形GEFH的面積S＝2·GK＝2×3＝18.方法感悟1．證明直線與平面平行的重點是想法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特色，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，也許構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行．注意說明已知的直線不在平面內(nèi)．2．判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判判定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．【針對補償】1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點，E是PD的中點．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一點G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：連接BD，設(shè)BD與AC的交點為O，連接EO.由于四邊形ABCD為矩形，因此O為BD的中點．又E為PD的中點，因此EO∥PB.由于EO?平面AEC，PB?平面AEC，因此PB∥平面AEC.(2)PC的中點G即為所求的點．證明以下：連接GE，F(xiàn)G，∵E為PD的中點，1∴GE綊2CD.又F為AB的中點，且四邊形ABCD為矩形，1FA綊2CD.∴FA綊GE.∴四邊形AFGE為平行四邊形，∴FG∥AE.又FG?平面AEC，AE?平面AEC，F(xiàn)G∥平面AEC.題型二平面與平面平行的判斷與性質(zhì)(重點保分題，共同商議)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積．[解](1)證明：由題設(shè)知，BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1，∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.1(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．又∵AO＝2AC＝1，AA1＝2，221△方法感悟1．判斷面面平行的方法方法一利用定義方法二利用面面平行的判判定理方法三利用線線平行直接證面面平行方法四利用面面平行的傳達性(α∥β，β∥γ?α∥γ)方法五利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α，l⊥β?α∥β)2.面面平行的性質(zhì)(1)兩平面平行，則一個平面內(nèi)的直線平行于另一平面．(2)若一平面與兩平行平面訂交，則交線平行．【針對補償】2．以下列圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)由于G，H分別是A1B1，A1C1的中點，因此GH是△A1B1C1的中位線，因此GH∥B1C1.又由于B1C1∥BC，因此GH∥BC，因此B，C，H，G四點共面．(2)由于E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，因此EF∥BC.由于EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，因此EF∥平面BCHG.由于A1G綊EB，因此四邊形A1EBG是平行四邊形，因此A1E∥GB.由于A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，因此A1E∥平面BCHG.由于A1E∩EF＝E，因此平面EFA1∥平面BCHG.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(重點保分題，共同商議)(2018·洛陽月考)如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.[證明](1)如圖，連接AE，設(shè)DF與GN的交點為O，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，因此BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?

平面

DMF，因此

BE∥平面

DMF.(2)由于

N，G

分別為平行四邊形

ADEF

的邊

AD，EF

的中點，因此DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，因此DE∥平面MNG.又M為AB中點，因此MN為△ABD的中位線，因此BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG因此BD∥平面MNG，又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，因此平面BDE∥平面MNG.方法感悟空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)變平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)變以下列圖：在證明線面、面面平行時，一般依照從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)變，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其序次恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)變的方向是由題目的詳盡條件而定的，不能過于“模式化”．【針對補償】3．以下列圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點．求證：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.[證明](1)以下列圖，取BB1的中點M，連接MH，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中點O，連接EO，D1O，則OE綊1DC，又D1G綊1DC，∴OE綊D1G，22∴四邊形OEGD1是平行四邊形，∴1GE∥DO.又GE?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，又BD∥B1D1，B1D1，HD1?平面B1D1H，BF，BD?平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H.題型四平行關(guān)系在作圖中的應(yīng)用(重點保分題，共同商議)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA111，AB的中點．過1平行，且平面＝4，AB＝8，M，N分別是ADMN的截面α與BDα與長方體的面訂交．(1)求作交線(只畫出圖，不要求證明或說明)．(2)求該截面將長方體分成的兩部分的體積之比．[解](1)如圖，Q，P分別為A1B1與AD的中點，則截面MPNQ即為平面α，交線分別為MP，PN，NQ和QM.1111×8×4×4(2)由(1)知，三棱柱ANP-A1QM的體積為V1＝S△ANP·AA1＝×AB·AD·AA1＝2228＝16.而長方體的體積V＝S矩形ABCD·AA1＝8×4×4＝128.∴截面將長方體分成的兩部分體積比為1也能夠)．V1∶(V－V1)＝16∶112＝(77方法感悟依照條件求作幾何體截面的3個思想方法(1)平面的確定公義；(2)線面平行與面面平行的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用；(3)作圖的合理性(注意題目中隱含條件的挖掘和解析)．【針對補償】4．如圖，L，M，N分別為正方體對應(yīng)棱的中點，則平面LMN與平面PQR的地址關(guān)系是()A．垂直

B．訂交不垂直C．平行

D．重合[解析]

如圖，分別取另三條棱的中點

A，B，C，將平面

LMN

延展為平面正六邊形AMBNCL，由于PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR訂交，AL與AM訂交，因此平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.[答案]C◆牛刀小試·成功靠岸◆課堂達標(biāo)(三十七)[A基礎(chǔ)牢固練]1．(2018?！ざㄔ驴?有以下命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線④若直線

a∥b，b∥α，則a∥b，b∥α，則

a∥α；a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．其中真命題的個數(shù)是

(

)A．1C．3

B．2D．4[解析]命題①：系，不正確；命題③：

l能夠在平面α內(nèi)，不正確；命題②：直線a與平面α能夠是訂交關(guān)a能夠在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確，應(yīng)選A.[答案]A2．在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對角線AC和平面DEF的地址關(guān)系是()A．平行B．訂交C．在平面內(nèi)D．不能夠確定AE＝CF得AC∥EF.又由于EF?平面DEF，AC?平面DEF，因此AC[解析]如圖，由EBFB∥平面DEF.[答案]A3．下面四個正方體圖形中，A，B中點，能得出AB∥平面MNP的圖形是

為正方體的兩個極點，()

M，N，P

分別為其所在棱的A．①②B．①④C．②③D．③④[解析]由線面平行的判判定理知圖①②可得出AB∥平面MNP.[答案]A4．以下列圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面C．HG∥平面D．EH∥平面

BCD，且四邊形EFGH是梯形ABD，且四邊形EFGH是菱形ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形1[解析]由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF∥BD，且EF＝5BD，∴EF∥平面BCD.又H，1G分別為BC，CD的中點，∴HG∥BD，且HG＝2BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴四邊形EFGH是梯形．[答案]B5．如圖，在周圍體ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，則以下命題中，錯誤的是()A．AC⊥BDC．AC＝BD

B．AC∥截面D．異面直線

PQMNPM與

BD

所成的角為

45°[解析]由題意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，因此AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確，由PN∥BD可知，異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，又四邊形PQMN為正方形，因此∠MPN＝45°，故D正確；而AC＝BD沒有論證本源．[答案]C6．如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同樣，有下面四個命題：①沒有水的部分向來呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1向來與水面所在平面平行；④當(dāng)容器傾斜以下列圖時，BE·BF是定值．其中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4[解析]由題圖，顯然①是正確的，②是錯誤的；對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正確的；對于④，∵水是定量的(定體積V)，1∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.2V∴BE·BF＝BC(定值)，即④是正確的，應(yīng)選C.[答案]C7．(2016全·國甲卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有以下四個命題：①若是m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②若是m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③若是α∥β，m?α，那么m∥β；④若是m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有______．(填寫所有正確命題的編號)[解析]當(dāng)m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的地址關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.[答案]②③④8．已知平面α∥β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為______．[解析]如圖1，∵AC∩BD＝P，∴經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD.∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，PAPB∴AB∥CD.∴AC＝BD，68－BD，∴BD＝24即9＝BD5.如圖2，同理可證AB∥CD.PA＝PB，即6＝BD－8，PCPD38BD＝24，綜上所述，BD＝24或24.5[答案]24或2459．如圖，空間四邊形ABCD的兩條對棱AC、BD的長分別為5和4，則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，周長的取值范圍是______．DHGHAHEH[解析]設(shè)DA＝AC＝k，∴DA＝BD＝1－k，GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周長＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周長的取值范圍為(8,10)．[答案]

(8,10)10．(2018

·北武漢五月模擬湖

)如圖，四棱錐中

P-ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB與△PAD

都是邊長為

2的等邊三角形，

E是

BC

的中點．(1)求證：AE∥平面PCD；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．[解](1)證明：由于，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，E是BC的中點，因此AD∥CE，且AD＝CE，因此四邊形ADCE是平行四邊形，因此AE∥CD.由于AE?平面PCD，CD?平面PCD，因此AE∥平面PCD；(2)連接DE、BD，設(shè)AE交BD于O，連PO，則四邊形ABED是正方形，因此AE⊥BD.由于PD＝PB＝2，O是BD中點，因此PO⊥BD.則PO＝PB2－OB2＝4－2＝2.又OA＝2，PA＝2，因此△POA是直角三角形，則PO⊥AO.由于BD∩AE＝O，因此PO⊥平面ABCD.112.則VP-ABCD＝×2×(2＋4)×2＝232[B能力提升練]1．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G為MC的中點．則以下結(jié)論中不正確的選項是()A．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面

AMN

B．GB∥平面AMND．平面DCM∥平面

ABN[解析]顯然該幾何圖形為正方體截去兩個三棱錐所剩的幾何體，把該幾何體放置到正方體中(圖略)，作AN的中點H，連接HB，MH，GB，則MC∥HB，又HB⊥AN，因此MC⊥AN，因此A正確；由題意易得GB∥MH，又GB?平面AMN，MH?平面AMN，因此GB∥平面AMN，因此B正確；由于AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，因此平面DCM∥平面ABN，因此D正確．[答案]C2．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于D，E，F(xiàn)，H，且D，E分別是AB，BC的中點，若是直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()45453A.2B.2C．45D．453[解析]取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，因此AC⊥SB.由于SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，從而得HF綊12AC綊DE，因此四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，因此DE⊥HD，因此四邊形DEFH為矩形，1145.其面積S＝HF·FD＝AC·SB＝222[答案]Aa3．以下列圖，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝3，過B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝______.[解析]∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，設(shè)PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴PQ＝PD＝2，即PQ＝2PM.PMAPPMAP1122又知△APM∽△ADB，∴BD＝AD＝3，∴PM＝3BD，又BD＝2a，∴PQ＝3a.22[答案]3a4．以下列圖，在周圍體ABCD中，截面EFGH平行于棱AB和CD，試問截面EFGH的四個點在棱AD、AC、BC、BD的______時，面積最大．[解]∵AB∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.AB∥FG，AB∥EH，F(xiàn)G∥EH，同理可證EF∥GH，∴截面EFGH是平行四邊形．設(shè)AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補角)．又設(shè)FG＝x，GH＝y(tǒng)，則由平面幾何知識可得x＝CG，aBCy＝BG，兩式相加得x＋y＝1，即y＝b?EFGH＝FG·GH·sinαbBCaba(a－x)，∴Sbbsinα＝x·ax(a－x)．a(chǎn)·(a－x)·sinα＝∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a為定值，∴bsinαabsinαax(a－x)≤4，ab當(dāng)且僅當(dāng)x＝a－x時等號成立．此時x＝2，y＝2.即當(dāng)截面EFGH的極點E、F、G、H分別為