2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案北師大版1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)核心涵養(yǎng)1.理解函數(shù)單調(diào)性的看法及其幾1．經(jīng)過學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的概何意義．（難點(diǎn)）念及幾何意義，提升數(shù)學(xué)抽象2．掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的涵養(yǎng)．步驟．(重點(diǎn)）2．經(jīng)過函數(shù)單調(diào)性的證明，3．會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，理解函培養(yǎng)邏輯推理涵養(yǎng)。數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用．（難點(diǎn)）1．函數(shù)在區(qū)間上增加（減少）的定義閱讀教材P36～P37第二自然段結(jié)束，完成以下問題．都有f在函數(shù)f（x)定義域內(nèi)f(x）在區(qū)間A上是增（x1)<的一個區(qū)間A上，如加的（遞加的)f（x2)果對于任意兩個數(shù)都有x1，x2∈A，當(dāng)x1〈x2f(x)在區(qū)間A上是減f(x1）>時少的(遞減的)f(x2)思慮1：對于函數(shù)f（x)＝x2，x∈［－1，1]，由于f（－1）〉f（0)，-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因此f（x）在區(qū)間［－1,1］上是遞減的，這個結(jié)論正確嗎？［提示］不正確．在函數(shù)遞加的定義中，要求對于任意x1，x2∈A，當(dāng)x1〈x2時，f（x1）<f（x2),本推理不滿足定義．2．單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性和單調(diào)函數(shù)的看法閱讀教材P37第三自然段開始～P38“函數(shù)f（x）＝3x＋2是R上的增函數(shù)”的有關(guān)內(nèi)容，完成以下問題．(1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若是y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么稱A為單調(diào)區(qū)間．在單調(diào)區(qū)間上，若是函數(shù)是增加的,那么它的圖像是上升的;若是函數(shù)是減少的，那么它的圖像是下降的．（2)函數(shù)的單調(diào)性若是函數(shù)y＝f（x）在定義域的某個子集上是增加的或減少的，那么就稱函數(shù)y＝f（x)在這個子集上擁有單調(diào)性．（3）單調(diào)函數(shù)若是函數(shù)y＝f（x）在整個定義域內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù),統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)．思慮2：函數(shù)y＝錯誤!的單調(diào)區(qū)間是(－∞，0)∪(0＋，∞），還是(－∞,0)和（0，＋∞)？-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精［提示]函數(shù)y＝錯誤!的單調(diào)區(qū)間是(－∞,0)(0和，＋∞)．3．函數(shù)最大值、最小值的看法閱讀教材P38第二自然段及左側(cè)“思慮”～P39“練習(xí)"以上內(nèi)容，完成以下問題．前設(shè)函數(shù)y＝f（x)的定義域為D,若是存在實(shí)數(shù)M滿足提①對于任意x∈D，都有①對任意x∈D都有f條f(x)≤M;（x)≥M;件②存在x0∈D,使得f（x0)＝②存在x0∈D，使得f（x0)M＝M結(jié)M為最大值M為最小值論思慮3：(1）任何函數(shù)都有最大值或最小值嗎?(2）當(dāng)x∈R時，f（x)＝錯誤!x2≥－1，－1是函數(shù)f(x)＝錯誤!x2,x∈R的最小值嗎？（3)函數(shù)f(x）的最大（小）值的幾何意義分別是什么？[提示](1）不用然,如函數(shù)y＝2x，x∈R就無最大值和最小值．（2）不是，誠然f(x)≥－1，但是不存在x0∈R，使f(x0）＝－1。-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精依照最小值的定義可知－1不是函數(shù)f（x）的最小值．(3)函數(shù)f(x）的最大(?。┲档膸缀我饬x分別是函數(shù)f(x)的圖像上最高（低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．1．若y＝(2k－1）x＋b是R上的減函數(shù)，則有()A．k〉錯誤!B．k>－錯誤!C．k〈錯誤!D．k<－錯誤![由y＝(2k－1）x＋b是R上的減函數(shù)，1因此2k－1<0得k〈2,應(yīng)選C。]2。函數(shù)f（x）在［－2，2］上的圖像以下列圖，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（）A．f（－2），0B．0，2C．f(－2)，2D．f(2）,2C[由最大(?。┲档膸缀我饬x，可知f(x)max＝f(1）＝2，f（x）min＝f（－2）．］3．函數(shù)f(x）＝x2－1，x∈R的最小值是________．-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1[f(x)＝x2－1≥－1，又f（0）＝－1，因此f（x)的最小值是1.］4．已知函數(shù)f（x)在R中是增函數(shù)，則當(dāng)x1<x2時，f（x1）與f（x2）的大小關(guān)系是________．f（x1）〈f(x2)[依照增函數(shù)的定義知，f(x1)<f（x2)．]用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】證明函數(shù)f(x)＝x＋錯誤!在（0,1）上為減函數(shù)．［思路研究]在（0，1）上任取x1，x2且x1＜x2,經(jīng)過作差比較法證明f(x1）＞f(x2)．［解］任取x1,x2∈(0,1)，x且1<x2，則f(x2）－f（x1)＝錯誤!－錯誤!＝錯誤!，由0<x1〈x2〈1，得x2－x1〉0，x1x2－1<0,x1x2〉0,因此，f（x2)－f（x1)<0,于是f(x2）〈f(x1）．依照減函數(shù)的定義知，f（x)在（0，1)上為減函數(shù)．用定義判斷或證明單調(diào)性的步驟-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精設(shè)元:在指定區(qū)間內(nèi)任取x1，x2且x1＜x2。2作差變形：計算fx1－fx2，并經(jīng)過因式分解、通分、配方、有理化等手段,轉(zhuǎn)變成易判斷正負(fù)的式子幾個因式的積或幾個完好平方式的和.3定號：確定fx1－fx2的符號，當(dāng)符號不確準(zhǔn)時,可考慮分類談?wù)摗?判斷:依照fx1－fx2的符號及定義判斷函數(shù)的單調(diào)性。錯誤!1．對于例1中的函數(shù)，證明其在區(qū)間(1，＋∞）內(nèi)是增函數(shù)．[證明］任取x1，x2∈(1,＋∞，）且x1〈x2，則f(x2）－f(x1）＝錯誤!－錯誤!＝錯誤!,由x2〉x1>1,得x2－x1〉0,x1x2－1〉0，x1x2>0，因此f(x2)－f（x1）〉0,于是f(x2）>f(x1），依照增函數(shù)的定義知，f（x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【例2】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝－x2＋3x－2；2)f（x）＝3|x｜；3)f(x）＝－x2＋2｜x|＋3.［思路研究］求給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間平時采用以下方法:(1）利用已知函數(shù)的單調(diào)性；(2)圖像法；（3）定義法（利用單調(diào)性的定義商議)．[解］（1）f(x）＝－錯誤!錯誤!＋錯誤!.y＝f（x)是張口向下的拋物線，對稱軸為x＝錯誤!，∴f（x)在錯誤!上是增加的，在錯誤!上是減少的．∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是錯誤!，單調(diào)減區(qū)間是錯誤!。(2）∵f(x)＝3｜x|＝錯誤!由一次函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在(－∞，0)上是減少的，在[0,＋∞)上是增加的．因此f(x)的單調(diào)減區(qū)間是（－∞，,0單）調(diào)增區(qū)間是［0，＋∞)．(3）∵f（x）＝錯誤!其圖像以下列圖．由此可知，y＝f（x)在(－∞，－1]，［0,1]上是-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精增加的；y＝f(x）在(－1,0)，(1，＋∞）上是減少的．∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（－∞1］,－,[0,1］，單調(diào)減區(qū)間是(－1,0）,(1，＋∞）．1．對于含有絕對值的函數(shù)，經(jīng)常轉(zhuǎn)變成分段函數(shù)去辦理．如y＝|x｜＝錯誤!，在此基礎(chǔ)上，畫出圖像，寫出單調(diào)區(qū)間．2．利用圖像法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先畫出圖像，依照圖像的上升和下降的趨勢寫出單調(diào)區(qū)間．3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，必然要先求函數(shù)的定義域,爾后再在定義域內(nèi)談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間．錯誤!2．以下列圖的是定義在區(qū)間[－5,5）上的函數(shù)y＝f（x)的圖像，依照圖像寫出y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每一個單調(diào)區(qū)間上y＝(x）是增函數(shù)還是減函數(shù)．[解］函數(shù)y＝f（x)的單調(diào)區(qū)間有［－5，－2)，[－2，1），［1，-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3）,［3，5），其中y＝f（x）在區(qū)間[－5，－2)，［1,3）上是減函數(shù)，在區(qū)間[－2，1)，［3，5）上是增函數(shù)．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【例3】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1）x＋1在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路研究]求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，利用會集之間的關(guān)系求解．[解]∵f（x）＝［x＋(a－1）］2－（a－1)2＋1。f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（－∞，1－a］．又f(x）在區(qū)間(－∞,4］上單調(diào)遞減，則（－∞,4］（－∞,1－a],1－a≥4,解得a≤－3.1．變條件）設(shè)函數(shù)（f(x）＝(1－2a)x＋1是R上的增函數(shù),則有()A．a(chǎn)<錯誤!B．a(chǎn)>錯誤!C．a(chǎn)〈－1D．a(chǎn)>－錯誤!2A［依題意,1－2a>0，解得a<錯誤!。]2．（變條件）已知函數(shù)f（x)＝錯誤!是R上的增函數(shù)，-9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精則a的取值范圍是________．－3≤a≤－2[依題意，錯誤!解得－3≤a≤－2。]知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍的方法先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，將其轉(zhuǎn)變成兩個會集之間的關(guān)系求解；當(dāng)已知函數(shù)是分段函數(shù)時,不僅需考慮各段上函數(shù)的單調(diào)性，而且還要考慮各段圖像之間的上下關(guān)系。利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小）值[研究問題］1．若函數(shù)f（x)在定義域[a，b］上是增函數(shù)，則f（x)的最大值與最小值分別是什么？提示：f(x）max＝f（b),f(x）min＝f（a）．2．已知函數(shù)f(x）的定義域是區(qū)間(a,b），且在(a，c]上遞加，在[c，b)上遞減，則f（x）可否必然存在最大值,若存在最大值，最大值是什么?提示：f（x）必然存在最大值,最大值是f(c)．-10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．如何求函數(shù)f（x)＝－錯誤!在區(qū)間[1，3］上的最大值與最小值．提示：由f(x)＝－錯誤!在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞加，得f(x）max＝f（3）＝－錯誤!＝－錯誤!；f（x)min＝f(1)＝－錯誤!＝－1?！纠?】求函數(shù)f（x）＝錯誤!在區(qū)間［1，3]上的最大值與最小值．［思路研究］先判斷函數(shù)f（x)在區(qū)間［1,3]上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值．[解]f（x)＝錯誤!＝錯誤!＝2＋錯誤!.其圖像以下：由上圖知，f(x)在區(qū)間［1,3］上遞加,因此，f(x）max＝f(3)＝2＋錯誤!＝錯誤!；f(x）min＝f（1）＝2＋錯誤!＝錯誤!.1若是函數(shù)y＝fx在區(qū)間a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間［b，c上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝fx，x∈a，c在x＝b處有最大值fb.-11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精若是函數(shù)y＝fx在區(qū)間a，b］上是減函數(shù)，在區(qū)間［b,c上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝fx，x∈a，c在x＝b處有最小值fb。3若是函數(shù)y＝fx在區(qū)間［a，b]上是增減函數(shù)，則在區(qū)間[a，b]的左、右端點(diǎn)處分別獲取最小大值、最大小值。［跟進(jìn)訓(xùn)練]3．求函數(shù)f(x)＝錯誤!在區(qū)間[2,5]上的最值．[解]f(x)＝錯誤!＝錯誤!＝1＋錯誤!。其圖像以下:由上圖知，f(x)在［2，5］上遞減，因此，f（x）max＝f（2)＝2;f(x）min＝f(5）＝錯誤!.1．增（減)函數(shù)看法中對“任意”的理解“任意”兩個字是指不能夠取特定的值來判斷函數(shù)的單調(diào)性,不能夠因x＝2－1>0，y＝f（2）－f（1)〉0就說f(x）在區(qū)間[1，2］上-12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精是增函數(shù)．即證明單調(diào)性時，不能夠用特別代替一般．2．對函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的兩點(diǎn)說明(1)若函數(shù)的單調(diào)增（或減)區(qū)間有多個，區(qū)間之間不能夠用“∪”來表示,能夠用“,”“和”等來連接兩個區(qū)間．(2)區(qū)間端點(diǎn)的書寫，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，因此不存在單調(diào)性問題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時，能夠包括端點(diǎn)，也能夠不包括端點(diǎn)，但是對于某些點(diǎn)無意義時，即不在定義域范圍內(nèi)的點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間就不包括這些點(diǎn)，只能用開區(qū)間．3．單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若函數(shù)f（x),g（x）在區(qū)間I上擁有單調(diào)性，則：（1)f(x)與f（x)＋C（C為常數(shù)）擁有相同的單調(diào)性．(2）f（x)與a·f(x），當(dāng)a>0時擁有相同的單調(diào)性;當(dāng)a<0時擁有相反的單調(diào)性．（3）在f(x），g（x)的公共單調(diào)區(qū)間上,有以下結(jié)論：f（x）g(x）f(x）＋g(x)f（x)－g（x)不能夠確定單調(diào)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)性-13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精不能夠確定單調(diào)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)性不能夠確定單調(diào)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)性不能夠確定單調(diào)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)性4。對函數(shù)最值的三點(diǎn)說明(1）最大（?。┲当囟ㄊ且粋€函數(shù)值，是值域中的一個元素，如函數(shù)y＝x2（x∈R)的最小值是0，有f（0）＝0.2)最大（小)值定義中的“任意”是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必定滿足不等式，即對于定義域內(nèi)的全部元素，都有f(x)≤M(fx)≥M）成立，也就是說,函數(shù)y＝f(x)的圖像不能夠位于直線y＝M的上(下)方．(3)最大（小)值定義中的“存在"是說定義域中最少有一個實(shí)數(shù)滿足等號成立，也就是說y＝f(x）的圖像與直線y＝M最少有一個交點(diǎn)．5．函數(shù)最值與函數(shù)值域的關(guān)系函數(shù)的值域是一個會集，最值若存在則屬于這個會集，即最值-14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素．函數(shù)值域必然存在,而函數(shù)其實(shí)不用然有最大(?。┲担?．思慮辨析(1）在區(qū)間A上存在x1,x2，當(dāng)x1＜x2時，有f（x1）＜f(x2），則f(x)在區(qū)間A上是增加的．（）(2)若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間A上是減少的，當(dāng)x1，x2∈A,且f(x1)＜f（x2)時，有x1＞x2.（）(3)函數(shù)f(x)＝錯誤!在區(qū)間(－∞，0)，（0,＋∞）上都是減少的，則f（x）為減函數(shù)．（）[答案］(1)×(2)√（3）×2．函數(shù)y＝－x＋1在區(qū)間錯誤!上的最大值是（）A．－錯誤!B．－1C．錯誤!D．3[函數(shù)y＝－x＋1在區(qū)間錯誤!上是遞減的,因此當(dāng)x＝錯誤!時，函數(shù)獲取最大值ymax＝－錯誤!＋1＝錯誤!。]