圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1

我們?cè)谇懊鎸W(xué)過，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直線．復(fù)習(xí)引入ArxOy

平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓,定點(diǎn)就是圓心,定長(zhǎng)就是半徑.初中所講的圓的定義

思考？在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？我們?cè)谇懊鎸W(xué)過，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直2

當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了．因此一個(gè)圓最基本要素是圓心和半徑．xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新課

如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心（點(diǎn)）A的位置用坐標(biāo)(a,b)表示，半徑r的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x,y)與圓心A(a,b)的距離．如何求圓的方程呢？當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了．xOyA(a3

思考?符合上述條件的點(diǎn)的集合是什么？你能用描述法來(lái)表示這個(gè)集合嗎？符合上述條件的點(diǎn)的集合：一.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xOyA(a,b)Mr(x,y)思考?符合上述條件的點(diǎn)的集合是什么？你能用描述4兩邊平方得

由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合的條件表示為

xOyA(a,b)Mr(x,y)1.(選系)取動(dòng)點(diǎn),2.找等量，3.列方程,4.化簡(jiǎn).上述過程可歸納為：兩邊平方得由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合5

思考？是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這個(gè)方程的坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上？

點(diǎn)M(x,y)在圓上，由前面討論可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合方程；反之，若點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)適合方程，這就說明點(diǎn)M與圓心的距離是r，即點(diǎn)M在圓心為A(a,b)，半徑為r的圓上．

這個(gè)方程稱為圓心為A(a,b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程，把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，及方程含有三個(gè)參變數(shù)a,b,r,即圓心A(a,b),半徑r，只要a,b,r三個(gè)量確定且r>0,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就確定了思考？是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這個(gè)方程的坐6特殊位置的圓方程

因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0,0)，將a＝0，b＝0和半徑r代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

思考？圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程是什么？

得：

整理得：特殊位置的圓方程因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0,0)，將a＝0，72.寫出下列各圓的方程：（1）圓心在原點(diǎn)，半徑是3；（2）圓心在點(diǎn)，半徑是；（3）經(jīng)過點(diǎn)，圓心在點(diǎn)．課堂練習(xí)1.根據(jù)方程，指出圓的圓心和半徑.（1）（2）（3）2.寫出下列各圓的方程：課堂練習(xí)1.根據(jù)方程，指出圓的圓心和83.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么圖形_____________________;4.方程x2+y2=0表示什么圖形______5.方程y=表示什么圖形?(0,0)圓心是(1,-3)半徑是3的圓圓心在原點(diǎn)，半徑為2的上半圓3.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么圖形(0,0)9

例1

寫出圓心為，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上．

解：圓心是，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

把的坐標(biāo)代入方程左右兩邊相等，點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn)在這個(gè)圓上；

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點(diǎn)的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．AxyoM1M2例1寫出圓心為，半徑長(zhǎng)等于5的圓的10二.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個(gè)圓上；反之如果不成立則不在這個(gè)圓上．思考?點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外三種位置關(guān)系.

思考?怎樣判斷點(diǎn)

在圓

內(nèi)呢？還是在圓外呢？二.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在11M3M1A觀察下圖中的三個(gè)點(diǎn)，可以看到M2

點(diǎn)在圓外——點(diǎn)到圓心的距離大于半徑r；點(diǎn)在圓內(nèi)——點(diǎn)到圓心的距離小于半徑r；

點(diǎn)在圓上——點(diǎn)到圓心的距離等于半徑r．xyo同理，點(diǎn)在圓內(nèi)設(shè)

在圓外，圓心A(a,b)，由點(diǎn)到圓心距離大于半徑r得點(diǎn)在圓上M3M1A觀察下圖中的三個(gè)點(diǎn)，可以看到M212小結(jié)：特別地，點(diǎn)

在圓

內(nèi)的條件是點(diǎn)

在圓

外的條件是

點(diǎn)

在圓

上的條件是小結(jié)：特別地，點(diǎn)在圓13例2

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．

分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．

因?yàn)锳(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）．于是

解：設(shè)所求圓的方程是

（1）解此方程組，得：所以，的外接圓的方程

上述方法為待定系數(shù)法.還有別的方法嗎？例2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1)14圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)幾何方法方法二：例2

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)xyOA(5,15

例3

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,－2)，且圓心C在直線上l：x－y+1=0，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

分析：已知道確定一個(gè)圓只需要確定圓心的位置與半徑．圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,－2)，由于圓心C與A,B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線上．又圓心C在直線l

上，因此圓心C是直線l與直線的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于|CA|或|CB|．yxOCABl例3已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,16因此線段AB的垂直平分線的方程是即圓心C的坐標(biāo)是方程組的解．

解：因?yàn)锳(1,1)和B(2,－2)，所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)直線AB的斜率:所以圓心C的坐標(biāo)是圓心為C的圓的半徑長(zhǎng)所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解得因此線段AB的垂直平分線的方程是即圓心C的坐標(biāo)是方程組的17比較例2和例3，歸納求△ABC外接圓的方程的兩種方法.思考?

（1）根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于a,b,r的方程組，解方程組得到a,b,r的值，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)確定圓的要素，以及題設(shè)條件，結(jié)合圓的性質(zhì)分別求出圓心坐標(biāo)和半徑大小，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.比較例2和例3，歸納求△ABC外接圓的方程的兩種方法.思考?18知識(shí)小結(jié)圓的基本要素圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.a,b,r(r＞0）三個(gè)量確定了,方程就確定了作業(yè)：P1242,3,4練習(xí)：P1201,3,4知識(shí)小結(jié)圓的基本要素圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷194.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程20

我們?cè)谇懊鎸W(xué)過，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直線．復(fù)習(xí)引入ArxOy

平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓,定點(diǎn)就是圓心,定長(zhǎng)就是半徑.初中所講的圓的定義

思考？在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？我們?cè)谇懊鎸W(xué)過，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直21

當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了．因此一個(gè)圓最基本要素是圓心和半徑．xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新課

如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心（點(diǎn)）A的位置用坐標(biāo)(a,b)表示，半徑r的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x,y)與圓心A(a,b)的距離．如何求圓的方程呢？當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了．xOyA(a22

思考?符合上述條件的點(diǎn)的集合是什么？你能用描述法來(lái)表示這個(gè)集合嗎？符合上述條件的點(diǎn)的集合：一.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xOyA(a,b)Mr(x,y)思考?符合上述條件的點(diǎn)的集合是什么？你能用描述23兩邊平方得

由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合的條件表示為

xOyA(a,b)Mr(x,y)1.(選系)取動(dòng)點(diǎn),2.找等量，3.列方程,4.化簡(jiǎn).上述過程可歸納為：兩邊平方得由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合24

思考？是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這個(gè)方程的坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上？

點(diǎn)M(x,y)在圓上，由前面討論可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合方程；反之，若點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)適合方程，這就說明點(diǎn)M與圓心的距離是r，即點(diǎn)M在圓心為A(a,b)，半徑為r的圓上．

這個(gè)方程稱為圓心為A(a,b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程，把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，及方程含有三個(gè)參變數(shù)a,b,r,即圓心A(a,b),半徑r，只要a,b,r三個(gè)量確定且r>0,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就確定了思考？是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這個(gè)方程的坐25特殊位置的圓方程

因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0,0)，將a＝0，b＝0和半徑r代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

思考？圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程是什么？

得：

整理得：特殊位置的圓方程因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0,0)，將a＝0，262.寫出下列各圓的方程：（1）圓心在原點(diǎn)，半徑是3；（2）圓心在點(diǎn)，半徑是；（3）經(jīng)過點(diǎn)，圓心在點(diǎn)．課堂練習(xí)1.根據(jù)方程，指出圓的圓心和半徑.（1）（2）（3）2.寫出下列各圓的方程：課堂練習(xí)1.根據(jù)方程，指出圓的圓心和273.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么圖形_____________________;4.方程x2+y2=0表示什么圖形______5.方程y=表示什么圖形?(0,0)圓心是(1,-3)半徑是3的圓圓心在原點(diǎn)，半徑為2的上半圓3.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么圖形(0,0)28

例1

寫出圓心為，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上．

解：圓心是，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

把的坐標(biāo)代入方程左右兩邊相等，點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn)在這個(gè)圓上；

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點(diǎn)的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．AxyoM1M2例1寫出圓心為，半徑長(zhǎng)等于5的圓的29二.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個(gè)圓上；反之如果不成立則不在這個(gè)圓上．思考?點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外三種位置關(guān)系.

思考?怎樣判斷點(diǎn)

在圓

內(nèi)呢？還是在圓外呢？二.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在30M3M1A觀察下圖中的三個(gè)點(diǎn)，可以看到M2

點(diǎn)在圓外——點(diǎn)到圓心的距離大于半徑r；點(diǎn)在圓內(nèi)——點(diǎn)到圓心的距離小于半徑r；

點(diǎn)在圓上——點(diǎn)到圓心的距離等于半徑r．xyo同理，點(diǎn)在圓內(nèi)設(shè)

在圓外，圓心A(a,b)，由點(diǎn)到圓心距離大于半徑r得點(diǎn)在圓上M3M1A觀察下圖中的三個(gè)點(diǎn)，可以看到M231小結(jié)：特別地，點(diǎn)

在圓

內(nèi)的條件是點(diǎn)

在圓

外的條件是

點(diǎn)

在圓

上的條件是小結(jié)：特別地，點(diǎn)在圓32例2

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．

分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．

因?yàn)锳(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）．于是

解：設(shè)所求圓的方程是

（1）解此方程組，得：所以，的外接圓的方程

上述方法為待定系數(shù)法.還有別的方法嗎？例2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1)33圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)幾何方法方法二：例2

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)xyOA(5,34

例3

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,