全國各地高考數(shù)學試題及解答分類匯編大全(04導數(shù))

2007年全國各地高考數(shù)學試題及解答分類匯編大全（06導數(shù)）一、選擇題：1.（2007福建文、理)已知對任意實數(shù)x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0時，f’(x)>0，g’(x)>0，則x<0時（B）Af’(x)>0，g’(x)>0Bf’(x)>0，g’(x)<0Cf’(x)<0，g’(x)>0Df’(x)<0，g’(x)<02．(2007海南、寧夏理)曲線y1xe2在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（D）Ａ．9e2Ｂ．4e2Ｃ．2e2Ｄ．e22．(2007海南、寧夏文)曲線yex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（D）3Ａ．9e2Ｂ．2e2Ｃ．e2Ｄ．e24242007江蘇）已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc的導數(shù)為f'(x)，f'(0)0，關(guān)于任意實數(shù)x都有．（f(x)0，則f(1)的最小值為（C）f'(0)A．35C．2D．3B．225．（2007江西理）設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為（B）A．－1B．0C．1D．5556.（2007全國Ⅰ文）曲線y=1x3x在點（1，4）處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（Ａ）33（A）1（B）2（C）1（D）299x233y17（2007全國Ⅱ文）已知曲線4的一條切線的斜率為,則切點的橫坐標為（A）2(A)1(B)2(C)3(D)48.（2007全國Ⅱ理）已知曲線yx21A）3lnx的一條切線的斜率為,則切點的橫坐標為（412(A)3(B)2(C)1(D)29.（2007浙江理）設(shè)f(x)是函數(shù)yf(x)的導函數(shù)，將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個直角坐yyy標系中，不能夠能正確的選項是（D）O

x

O

x

O

x

O

xA．

B．

C．

D．10.．（2007湖南理）以下四個命題中，不正確的是（C）．．．A．若函數(shù)f(x)在xx0處連續(xù)，則limf(x)limf(x)x→x0x→x0B．函數(shù)f(x)x2的不連續(xù)點是x2和x2x240，則limf(x)limg(x)C．若函數(shù)f(x)，g(x)滿足lim[f(x)g(x)]x→x→x→x11D．lim12x→1x二、填空題：1．（2007北京文)f(x)是f(x)1x32x1的導函數(shù)，則f(1)的值是3．312．(2007廣東文)函數(shù)f(x)=xlnx(x>0)的單調(diào)遞加區(qū)間是(,).．e3（2007湖北文）已知函數(shù)yf(x)的圖象在M（1，f（l））處的切線方程是y1f(l)＝x|2，f(l)324．（2007湖南理）函數(shù)f(x)12xx3在區(qū)間[3，3]上的最小值是16．5．（2007江蘇）已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間[3,3]上的最大值與最小值分別為M,m，則Mm32.6.（2007浙江文）曲線yx32x24x2在點(1，一3)處的切線方程是___5xy20___．三、解答題：1.(2007安徽理)(本小題滿分14分)設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），議論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；21.本小題主要觀察函數(shù)導數(shù)的看法與計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運用有關(guān)知識解決問題的能力，本小題滿分14分.（Ⅰ）解：依照求導法規(guī)得f(x)12Inx2a,x0.xx故F(x)xf(x)x2Inx2a,x0,于是F(x)12x2,x0.xx列表以下：x(0,2)2(2,+∞)F′（）-0+xF(x)↓極小值F（2）↑故知F（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，因此，在x＝2處獲取極小值F（2）2-2In2+2a.（Ⅱ）證明：由a0知，F(xiàn)(x)的極小值F(2)2In22a0.于是由上表知，對所有x(0,),恒有F(x)xf(x)0.從而當x0時，恒有f(x)0,故f(x)在（0,）內(nèi)單調(diào)增加.因此當x1()f(1)0,即x1In2x2aInx0.時，fx故當x1In2x2aInx1.時，恒有x2.（2007安徽文))（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)f（x）=-cos2x-4tsinxcosx+4t2t2t+4,x∈R,22+-3其中t≤1，將f(x)的最小值記為g(t).(Ⅰ)求g(t)的表達式；(Ⅱ)詩論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.2.本小題主要觀察同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項式函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性.觀察應(yīng)用導數(shù)剖析解決多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值等問題的綜合能力.本小題滿分14分.解：（Ⅰ）我們有f(x)cos2x4tsinxcosx4t322＝sin2x12tsinx4t3t2＝sin2x2tsinxt24t33t＝(sinxt)24t33t3.因為(sinxt)20,t1,故當sinxt(t)4t33t3.（Ⅱ）我們有

t23t43t43t時，f(x)達到其最小g(t)，即gt)t23tt1),1t1.(123(21)(2列表以下：t(1,1)1(1,1)1(1,1)222222G′（t）+0G′(t)↑極大值(1)2

-0+→極小值g(↑1)2因此可知，g(t)在區(qū)間(1,11,1)單調(diào)增加，在區(qū)間（11)和(2，）單調(diào)減小，極22212,極大值為g(14.小值為g( ))223.（2007福建理)（本小題滿分12分）某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3a5）的管理費，預(yù)計當每件產(chǎn)品的售價為x元（9x11）時，一年的銷售量為（12－x）2萬件。（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）。3．本小題觀察函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用等知識，觀察運用數(shù)學知識剖析和解決實詰責題的能力，滿分12分．解：（Ⅰ）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為：L(x3a)(12x)2，x[9，11]．（Ⅱ）L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(18a2x．3令L0得x62a或x12（不合題意，舍去）．33≤a≤5，8≤62a≤28．33在x62a兩側(cè)L的值由正變負．32a9因此（1）當8≤69即3≤a時，39)22LmaxL(9)(93a)(129(6a)．（2）當9≤62289a≤即≤a≤5時，3322LmaxL(62a)62a3a1262a431a33339(6a)，3≤a9，因此Q(a)21a39≤a≤543，32

3，9答：若3≤a，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)9(6a)（萬2元）；若9≤a≤5，則當每件售價為62a元時，分公司一年的利潤L最大，最大值231Q(a)43a3

3（萬元）．4.（2007福建理)（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝－kx，.（1）若k＝e，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若k>0，且關(guān)于任意確定實數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F(x)＝f(x)+f(-x)，求證：F(1)F(2)F(n)>（）。4．本小題主要觀察函數(shù)的單調(diào)性、極值、導數(shù)、不等式等基本知識，觀察運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，觀察分類議論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，觀察剖析問題、解決問題的能力．滿分14分．解：（Ⅰ）由ke得f(x)exex，因此f(x)exe．由f(x)0得x1，故f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是(1，)，由f(x)0得x1，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1)．（Ⅱ）由f(x)f(x)可知f(x)是偶函數(shù)．于是f(x)0對任意xR成立等價于f(x)0對任意x≥0成立．由f(x)exk0得xlnk．①當k(01]，時，f(x)exk1k≥0(x0)．此時f(x)在[0，)上單調(diào)遞加．故f(x)≥f(0)10，切合題意．②當k(1，)時，lnk0．當x變化時f(x)，f(x)的變化狀況以下表：x(0，lnk)lnk(lnk，f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞加由此可得，在[0，)上，f(x)≥f(lnk)kklnk．依題意，kklnk0，又k1，1ke．綜合①，②得，實數(shù)k的取值范圍是0ke．（Ⅲ）F(x)f( )f(x)exexx，F(xiàn)(x1)F(x2)ex1x2e(x1x2)ex1x2ex1x2ex1x2e(x1F(1)F(n)en12，F(xiàn)(2)F(n1)en12

)x2)2ex1x22，F(xiàn)(n)F(1)en1由此得，[F(1)F(2)故F(1)F(2)F(n)

2.F(n)]2[F(1)F(n)][F(2)F(n1)][F(n)F(1)](en12)n(en1n2)2，nN．5.（2007福建文)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f(x)的最小值h(t);(II)若h(t)<-2t+m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.5.本題主要觀察函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應(yīng)用，觀察運用數(shù)學知識剖析問題解決問題的能力.滿分12分.解：（I）∵f(x)t(xt)2t3t1（xR,t0），∴當x=-t時，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,2由g’(t)=-3t+3=0得t=1,t=-1（不合題意，舍去）.當t變化時g’(t)、g(t)的變化狀況以下表：T(0,1)1(1,2)g’(t)+0-g(t)遞加極大值1-m遞減g(t)在（0，2）內(nèi)有最大值g(1)=1-mh(t)<-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價于g(t)<0在（0，2）內(nèi)恒成立，即等價于1-m<0因此m的取值范圍為m>16．(2007海南、寧夏理)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)ln(xa)x2（I）若當x1時，f(x)獲取極值，求a的值，并議論f(x)的單調(diào)性；（II）若f(x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于lne．126．解：（Ⅰ）f2x，(x)xa依題意有f(1)0，故a3．2x22從而f(x)3x1(2x1)(x33x2x2f(x)的定義域為3，∞，當322當1x1(x)0；時，f2

．x1時，f(x)0；當x10．時，f(x)23，11，∞單調(diào)增加，在區(qū)間從而，f(x)分別在區(qū)間，22（Ⅱ）f(x)的定義域為(a，∞)，f(x)2x22ax1．方程2x24a2xa2ax10的鑒識式8．（ⅰ）若0，即2a2，在f(x)的定義域內(nèi)f(x)（ⅱ）若0，則a2或a2．

1，1單調(diào)減少．20，故f(x)的極值．若a2，x(2，∞)，f(x)(2x1)2．x2當x2(x)0，當x，22，∞時，f(x)0，因此f(x)無極值．222若a2，x(2，∞)，f(x)(2x1)20，f(x)也無極值．x2（ⅲ）若0，即a2或a2，則2x22ax10有兩個不一樣樣的實根x1aa22，2aa22x22．當a2時，x1a，x2a，從而f(x)有f(x)的定義域內(nèi)沒有零點，故f(x)無極值．當a2時，x1a，x2a，f(x)在f(x)的定義域內(nèi)有兩個不一樣樣的零點，由根值鑒識方法知f(x)在xx1，xx2獲取極值．綜上，f(x)存在極值時，a的取值范圍為(2，∞)．(x)的極值之和為f(x1)f(x2)ln(x1a)x12ln(x2a)x22ln1a211ln2lne．227．(2007海南、寧夏文)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)ln(2x3)x2（Ⅰ）議論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間314，的最大值和最小值．47．解：f(x)的定義域為3，∞．2（Ⅰ）f(x)22x4x26x22(2x1)(x1)．32x32x312x31x1時，f(x)0；當1x時，f(x)0；當x時，f(x)0．當222311從而，f(x)分別在區(qū)間，，，∞單調(diào)增加，在區(qū)間，單調(diào)減少．11222（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在區(qū)間31的最小值為f1ln21．4，244又f3f139ln71ln311490．4ln16216721ln4226因此f(x)在區(qū)間3111ln7．4，的最大值為f416248.（2007湖北理）（本小題滿分13分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=1x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其2中a>0.設(shè)兩曲線y=f(x)，y=g(x)有公共點，且在該點處的切線相同.（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；（Ⅱ）求證：f(x)≥g(x)(x>0).8.本小題主要觀察函數(shù)、不等式和導數(shù)的應(yīng)用等知識，觀察綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.解：（Ⅰ）設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點（x0,y0）處的切線相同,f(x)x2a,g(x)3a2,由題意f(x0)g(x0),f(x0)g(x0).x1x022ax03a2lnx0b,即23a2由x0x02a.x0即有b1a22a23a2lna5a222令h(t)5232lnt(t0),則h(t)21

2a3a2得：x0a,或x03a(舍去).x03a2lna.2t(13lnt).于是當t(13lnt)0,即0te3時，h(t)0;1當t(13lnt)0,即te3時，h(t)0.11故()在（0，e3）為增函數(shù)，在（e2,）ht為減函數(shù),12于是h(t)在(0,)的最大值為h(e3)3e3.12（Ⅱ）設(shè)F(x)f(x)g(x)x22ax3a2lnxb(x0),2則F(x)x2a3a2(xa)(x3a)(x0).xx故F(x)在（0，a）為減函數(shù)，在（a,+）為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在（0，）上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故當x>0時，有f(x)g(x)0,即當x0時，f(x)g(x).9.（2007湖南文）（本小題滿分１3分）已知函數(shù)fx1x31ax2bx在區(qū)間1,1,1,3內(nèi)各有一個極值點.32（Ⅰ）求a24b的最大值；（Ⅱ）當a24b8時，設(shè)函數(shù)yfx在點A1,f1處的切線為l，若在點A處穿過yfx的圖象（即動點在點A周邊沿曲線yfx運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)fx的表達式.9I）因為函數(shù)f(x)x1axbx在區(qū)間[11)，，(13]，內(nèi)分別有一個極值點，因此．解：（132(x)x20在[32faxb11)，，(13]，內(nèi)分別有一個實根，設(shè)兩實根為x1，x2（x1x2），則x2x1a24b，且0x2x1≤4．于是0a24b≤4，0a24b≤16，且當x11，x23，即a2，b3時等號成立．故a24b的最大值是16．（II）解法一：由f(1)1ab知f(x)在點(1，f(1))處的切線l的方程是yf(1)f(1)(x1)，即y(1ab)x21a，因為切線l在點A(1，f(x))處空過y32f(x)的圖象，因此g(x)f(x)[(1ab)x21a]在x1兩邊周邊的函數(shù)值異號，則321不是g(x)的極值點．而g(x)1x31ax2bx(1ab)x21a，且x232x232g(x)axb(1ab)axa1(x1)(x1a)．若11a，則x1和x1a都是g(x)的極值點．因此11a，即a2，又由a24b8，得b1，故f(x)1x3x2x．21a]3解法二：同解法一得g(x)f(x)[(1ab)x13a332(x1)[x2(1)x(2a)]．322因為切線l在點A(1，f(1))處穿過yf(x)的圖象，因此g(x)在x1兩邊周邊的函數(shù)值異號，于是存在m1，m2（m11m2）．當m1x1時，g(x)0，當1xm2時，g(x)0；或當m1x1時，g(x)0，當1xm2時，g(x)0．設(shè)h(x)x213ax23a，則22當m1x1時，h(x)0，當1xm2時，h(x)0；或當m1x1時，h(x)0，當1xm2時，h(x)0．由h(1)0知x1是h(x)的一個極值點，則h(1)2113a0，21x3因此a2，又由a24b8，得b1，故f(x)x2x．310．（2007遼寧文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x39x2cos48xcos18sin2，g(x)f(x)，且對任意的實數(shù)t均有g(shù)(1cost)≥0，g(3sint)≤0．（I）求函數(shù)f(x)的剖析式；（II）若對任意的m[26，6]，恒有f(x)≥x2mx11，求x的取值范圍．11．（2007遼寧理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x2t2t(x2x)x22t21，g(x)1f(x)．（I）證明：當t22時，g(x)在R上是增函數(shù)；2（II）關(guān)于給定的閉區(qū)間[a，b]，試說明存在實數(shù)k，當tk時，g(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)；（III）證明：3f(x)≥．2(22)本小題主要觀察二次函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值，觀察綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分12分.(Ⅰ)證明：由題設(shè)得g()e2x(ex1)x,g(x)22xtex1.xte又由2exex≥22,且t＜22得t＜2exex，即g(x)2e2xtex1＞0.由此可知，g(x)為R上的增函數(shù).(Ⅱ)證法一：因為g(x)＜0是g(x)為減函數(shù)的充分條件，因此只要找到實數(shù)k，使得tg(x)2e2xtex1＜0，即t＞2exex在閉區(qū)間[,]上成馬上可.ab因此y=2exex在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故在閉區(qū)[a,b]上有最大值，設(shè)其為k，t＞k時,g(x)＜0在閉區(qū)間[a,b]上恒成立，即g(x)在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù).證法二：因為g(x)＜0是g(x)為減函數(shù)的充分條件，因此只要找到實數(shù)k，使得t＞k時g(x)2e2xtex1＜0，在閉區(qū)間[a,b]上成馬上可.令mex,則g(x)＜0(x[a,b])當且僅當2ab2mtm1＜0(m[e,e]).2e2atea10,即t2eae2e2bteb10,t2ebe

ab成立.取aabb2ee與2ee中較大者記為kg(x)＜0在閉區(qū)[,]成立，即，易知當t＞k時，abg(x)在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù).(Ⅲ)證法一：設(shè)F(t)2t22(exx)te2xx21,即F(t)2(tex2x)21(exx)21,易得F(t)≥1(ex2x)21.2令H(x)exx,則H(x)exx,易知H(0)0當x＞0時,H(x)＞0;當x＜0,H(x)＜0.故當x=0時，H(x)取最小值，H(0)1因此1(exx)21≥3，22于是對任意x、t，有F(t)≥3，即f(x)≥3.22證法二：設(shè)F(t)=2t22(exx)te2xx21,F(t)≥3，當且僅當21≥02t22(exx)te2xx22只要證明4(exx)224(e2xx21)≤0，即(exx)2≥12以下同證法一.證法三：設(shè)F(t)=222(ex)te2xx21，則txF(t)4t2(exx).易得F(ex2x)0.當t＞exx時,F(t)＞0;t＜exx時,F(t)＜0，故當t=exF(t)取最小值1(ex222x)21.即2F(t)≥1(exx)21.2以下同證法一.證法四:f(x)(ext)2(xt)21設(shè)點A、B的坐標分別為(x,ex)、(t,t)，易知點B在直線y=x上，令點A到直線y=離為d，則f(x)|AB|21≥d211(exx)21.以下同證法一.212（2007全國Ⅰ文）(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時獲取極值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若關(guān)于任意的x〔0,3〕,都有f(x)＜c2成立，求c的取值范圍.12．解：（Ⅰ）f(x)6x26ax3b，因為函數(shù)f(x)在x1及x2獲取極值，則有f(1)0，f(2)0．66a3b0，即2412a3b0．解得a3，b4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)．當x(01)，時，f(x)0；當x(12)，時，f(x)0；當x(2，3)時，f(x)0．因此，當x1時，f(x)獲取極大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c．則當x0，3時，f(x)的最大值為f(3)98c．因為關(guān)于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，因此98cc2，解得c1或c9，因此c的取值范圍為(，1)(9，)．－x.13.（2007全國Ⅰ理）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex－e＇(Ⅰ)證明：f（x）的導數(shù)f（x）≥2；(Ⅱ)若對所有x＝0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.13.解：（Ⅰ）f(x)的導數(shù)f(x)exex．因為exe-x≥2exex2，故f(x)≥2．（當且僅當x0時，等號成立）．（Ⅱ）令g(x)f(x)ax，則g(x)f(x)aexexa，（?。┤鬭≤2，當x0時，g(x)exexa2a≥0，故g(x)在(0，∞)上為增函數(shù)，因此，x≥0時，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．（ⅱ）若a2，方程g(x)0的正根為x1lnaa24，2此時，若x(0，x1)，則g(x)0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù)．因此，x(0，x1)時，g(x)g(0)0，即f(x)ax，與題設(shè)f(x)≥ax相矛盾．綜上，滿足條件的a的取值范圍是∞，2．14.（2007全國Ⅱ文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1處獲取極大值，在x=x2處獲取極小值，且0<x1<1<x2<2.1）證明a>0;2）若z=a+2b,求z的取值范圍。14．解：求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)ax22bx2b．（Ⅰ）由函數(shù)f(x)在xx1處獲取極大值，在xx2處獲取極小值，知x1，x2是f(x)0的兩個根．因此f(x)a(xx1)(xx2)當xx1時，f(x)為增函數(shù)，f(x)0，由xx10，xx20得a0．f(0)02b0（Ⅱ）在題設(shè)下，0x11x22等價于f(1)0即a2b2b0．f(2)04a4b2b02b0化簡得a3b20．4a5b20此不等式組表示的地域為平面aOb上三條直線：2b0，a3b20，4a5b20．△ABCA46B(22)C(42)所圍成的的內(nèi)部，其三個極點分別為：，，7，，，．7z在這三點的值依次為16，，．b7因此z的取值范圍為16，．2B(2，2)87C(4，2)1463A15.（2007全國Ⅱ理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)7，f(x)=x-x7（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點M(t,f(t))處的切線方程O24a（Ⅱ）設(shè)a>0,若是過點（a,b）可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：-a<b<f(a)15．解：（1）求函數(shù)f(x)的導數(shù)；f(x)3x21．曲線yf(x)在點M(t，f(t))處的切線方程為：yf(t)f(t)(xt)，即y(3t21)x2t3．（2）若是有一條切線過點(a，b)，則存在t，使b(3t21)a2t3．于是，若過點(a，b)可作曲線yf(x)的三條切線，則方程2t33at2ab0有三個相異的實數(shù)根．記g(t)2t33at2ab，則g(t)6t26at6t(ta)．當t變化時，g(t)，g(t)變化狀況以下表：t(，0)0(0，a)a(a，)g(t)00g(t)極大值ab極小值bf(a)由g(t)的單調(diào)性，當極大值ab0或極小值bf(a)0時，方程g(t)0最多有一個實數(shù)根；當ab0時，解方程g(t)0得t0，t3a，即方程g(t)0只有兩個相異的實數(shù)根；2當bf(a)0時，解方程g(t)0得ta，ta，即方程g(t)0只有兩個相異的實數(shù)根．2綜上，若是過(a，b)可作曲線yf(x)三條切線，即g(t)0有三個相異的實數(shù)根，則ab，0f(a)0.即abf(a)．16．（2007山東文）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)ax2blnx，其中ab0．證明：當ab0時，函數(shù)f(x)沒有極值點；當ab0時，函數(shù)f(x)有且只有一個極值點，并求出極值．16．證明：因為f(x)ax2blnx，ab0，因此f(x)的定義域為(0，)．f(x)b2ax2b．2axxx當ab0時，若是a0，b0，f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞加；若是a0，b0，f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減．因此當ab0，函數(shù)f(x)沒有極值點．當ab0時，2axbxb2a2af(x)x令f(x)0，將x1b(0，)（舍去），x2b(0，)，2a2a當a0，b0時，f(x)，f(x)隨x的變化狀況以下表：x0，bbb，2a2a2af(x)0f(x)極小值從上表可看出，函數(shù)f(x)有且只有一個極小值點，極小值為fbblnb．2a12a2當a0，b0時，f(x)，f(x)隨x的變化狀況以下表：x0，bbb，2a2a2af(x)0f(x)極大值從上表可看出，函數(shù)f(x)有且只有一個極大值點，極大值為fbb1lnb．2a22a綜上所述，當ab0時，函數(shù)f(x)沒有極值點；當ab0時，若a0，b0b1b時，函數(shù)f(x)有且只有一個極小值點，極小值為ln22a若a0，b0b1b時，函數(shù)f(x)有且只有一個極大值點，極大值為ln22a

．．17.（2007山東理）(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)當b>1時，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；2f(x)的極值點；（Ⅱ）求函數(shù)（Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)n,不等式ln(111)都成立.(1)n3nn218.【答案】(I)函數(shù)f(x)x2bln(x1)的定義域為1,.f'(x)2xb2x22xbx1x1，令g(x)2x22xb，則g(x)在1,上遞加，在1,1上遞減，22g(x)ming(1)1b.1221時，g(x)min0，當bb22g(x)2x22xb0在1,上恒成立.f'(x)0,1即當b時,函數(shù)f(x)在定義域1,上單調(diào)遞加。2（II）分以下幾種狀況議論：（1）由（I）知當b1f(x)無極值點.時函數(shù)212(x1)2（2）當b2，時，f'(x)x12x1,1時，f'(x)0,2x1,時，f'(x)0,2b11,上無極值點。時，函數(shù)f(x)在2（3）當b1時，解f'(x)0得兩個不一樣樣解x1112b，x2112b.222當b0時，x1112b1，x2112b1，22x11,,x21,,此時f(x)在1,上有唯一的極小值點x2112b.21當0b時，x1,x21,,2f'(x)在，f'(x)在(x1,x2)上小于1,x,x,都大于00，12此時f(x)有一個極大值點x1112b112b2和一個極小值點x22.綜上可知，b0時，f(x)在1,上有唯一的極小值點x2112b2；0b1時，f(x)有一個極大值點x1112b112b22和一個極小值點x22；1b時，函數(shù)f(x)在1,上無極值點。2x2（III）當b1時，f(x)ln(x1).令h(x)x3f(x)x3x2ln(x1),則h'(x)3x3(x1)2在0,上恒正，x1h(x)在0,上單調(diào)遞加，當x0,時，恒有h(x)h(0)0.即當x0,時，有x3x2ln(x1)0,ln(x1)x2x3，對任意正整數(shù)n，取x1得ln(11)11nnn2n319.（2007陜西文）(本小題滿分12分)已知f(x)ax3bx2cx在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)在區(qū)間,(,0),(1,)上是減函數(shù),又f13( ).22(Ⅰ)求f(x)的剖析式;(Ⅱ)若在區(qū)間[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范圍.19．（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）f(x)3ax22bxc，由已知f(0)f(1)0，，c0，c0解得即3．3a2bc，b2f(x)3ax23ax，f13a3a3，a2，f(x)2x33x2．2422（Ⅱ）令f(x)≤x，即2x33x2x≤0，x(2x1)(x1)≥0，0≤x≤1或x≥1．21又f(x)≤x在區(qū)間0，m上恒成立，．0m≤220（2007陜西理）(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex,其中a為實數(shù).2ax(Ⅰ)若f(x)的定義域為R,求a的取值范圍;xa(Ⅱ)當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區(qū)間.20．（本小題滿分12分）x2a2解：（Ⅰ）f(x)的定義域為R，axa0恒成立，4a0，0a4，即當0a4時f(x)的定義域為R．（Ⅱ）f(x)x(xa2)ex，令f(x)≤0，得x(xa2)≤0．(x2axa)2由f(x)0，得x0或x2a，又0a4，0a2時，由f(x)0得0x2a；當a2時，f(x)≥0；當2a4時，由f(x)0得2ax0，即當0a2時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，2a)；當2a4時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2a，0)．21.（2007四川文）(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點（1,f（1））處的切線與直線x－6y－7=0垂直，導函數(shù)f＇（x）的最小值為－12.（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.22.（2007天津文）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)2（xR），其中aR．（Ⅰ）當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2))處的切線方程；（Ⅱ）當a0時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；（Ⅲ）當a3時，證明存在k10，，使得不等式f(kcosx)≥f(k2cos2x)對任意的xR恒成立．22.本小題主要觀察運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的切線方程，函數(shù)的極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，觀察綜合剖析和解決問題的能力及分類議論的思想方法．滿分14分．（Ⅰ）解：當a1時，f(x)x(x1)2x32x2x，得f(2)2，且f(x)3x24x1，f(2)5．因此，曲線yx(x1)2在點(2，2)處的切線方程是y25(x2)，整理得5xy80．（Ⅱ）解：f(x)x(xa)2x32ax2a2xf(x)3x24axa2(3xa)(xa)．令f(x)0，解得xa或xa．3因為a0，以下分兩種狀況議論．（1）若a0，當x變化時，f(x)的正負以下表：xaaa，aa(a，∞)∞，333f(x)0因此，函數(shù)f(x)在xa處獲取極小值fa，且33fa4a3；327函數(shù)f(x)在xa處獲取極大值f(a)，且f(a)0．（2）若a0，當x變化時，f(x)的正負以下表：x∞，aaf(x)0因此，函數(shù)f(x)在xa處獲取極小值f(a)，且f(a)0；函數(shù)f(x)在xa處獲取極大值fa，且33fa4a3．327（Ⅲ）證明：由a3，得a1，當k10，時，3

0aaa，∞a，3330kcosx≤1，k2cos2x≤1．f(kcosx)≥f(k2cos2x)，x由（Ⅱ）知，f(x)在∞，1上是減函數(shù)，要使R只要kcosx≤k2cos2x(xR)即cos2xcosx≤k2k(xR)①2設(shè)g(x)cos2xcosxcosx11，則函數(shù)g(x)在R上的最大值為2．24要使①式恒成立，必定k2k≥2，即k≥2或k≤1．因此，在區(qū)間1，0上存在k1，使得f(kcosx)≥f(k2cos2x)對任意的xR恒成立．23.（2007天津理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)2axa21(xR)，其中aR．（Ⅰ）當a1時，求曲線yx21f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；（Ⅱ）當a0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．23．本小題觀察導數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識，觀察運算能力及分類議論的思想方法．滿分12分．（Ⅰ）解：當a1時，f(x)2x1，f(2)4，2x225又f(x)2(x1)·22x，f(2)62x2x．(x21)2(x21)225因此，曲線yf(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y462)，5(x即6x2y320．25（Ⅱ）解：f(x)2a(x21)2x(2axa21)2(xa)(ax1)．(x21)2(x21)2因為a0，以下分兩種狀況議論．1（1）當a0時，令f(x)0，獲取x1x2a．當x變化時，，的變化狀況以下，af(x)f(x)表：x∞，111，aa(a，∞)aaaf(x)00f(x)極小值極大值因此f(x)在區(qū)間∞，1，(a，∞)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間1，a內(nèi)為增函數(shù)．a(chǎn)a函數(shù)f(x)在x11處獲取極小值f1，且f1a2，aaa函數(shù)f(x)在x21f(a)，且f(a)1．處獲取極大值a（2）當a0時，令f(x)0，獲取1x1ax2，當x變化時，f(x)f(x)的變化狀況以下表：ax∞，aa，111，+∞aaaaf(x)00f(x)極大值極小值因此f(x)在區(qū)間(∞，a)，1，+∞內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間，1內(nèi)為減函數(shù)．a(chǎn)aa函數(shù)f(x)在x1a處獲取極大值f(a)，且f(a)1．函數(shù)f(x)在x21處獲取極小值f1，且f1a2．a(chǎn)aax322t．24.（2007浙江理）（本題15分）設(shè)f(x)，對任意實數(shù)t，記gt(x)t3x33I）求函數(shù)yf(x)gt(x)的單調(diào)區(qū)間；II）求證：（?。┊攛0時，f(x)gf(x)≥gt(x)對任意正實數(shù)t成立；（ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)x0，使得gx(x0)≥gt(x0)對任意正實數(shù)t成立．24．本題主要觀察函數(shù)的基本性質(zhì)，

導數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，

以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．滿分15分．（I）解：yx3164x．由yx23340，得x2．因為當x(，2)時，y0，當x(2，2)時，y0，當x(2，)時，y0，故所求函數(shù)的單調(diào)遞加區(qū)間是(，2)，(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，2)．（II）證明：（i）方法一：x322t(x0)，則令h(x)f(x)gt(x)t3x233x2h(x)t3，1當t0時，由h(x)0，得xt3，1當x(x3，)時，h(x)0，1因此h(x)在(0，)內(nèi)的最小值是h(t3)0．故當x0時，f(x)≥gt(x)對任意正實數(shù)t成立．方法二：對任意固定的x0，令h(t)22t(tgt(x)t3x0)，則1132h(t)3(xt3)，t3x3．由h(t)0，得t當0tx3時，h(t)0．當tx3時，h(t)0，因此當tx3時，h(t)獲取最大值h(x3)1x3．因此當x03時，f(x)≥g(x)對任意正實數(shù)t成立．（ii）方法一：f(2)8gt(2)．3(2)≥gt(2)對任意正實數(shù)t成立．由（i）得，gt即存在正實數(shù)x02，使得gx(2)≥gt(2)對任意正實數(shù)t成立．下面證明x0的唯一性：當x02，x00，t8時，f(x0)x03，gx(x0)4x016，33由（i）得，x034x016，33x03再取tx03，得g3(x0)，x03因此gx(x0)4x016x03gx3(x0)，330即x02時，不滿足gx(x0)≥gt(x0)對任意t0都成立．故有且僅有一個正實數(shù)x02，使得gx(x0)0≥gt(x0)對任意正實數(shù)t成立．方法二：對任意x00，gx(x0)4x0163，1x0因為gt(x0)關(guān)于t的最大值是3，因此要使gx(x0)≥gt(x0)對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：4x016≥1x03，333即(x02)2(x04)≤0，①又因為x00，不等式①成立的充分必要條件是x02，因此有且僅有一個正實數(shù)x02，使得gx(x0)≥gt(x0)對任意正實數(shù)t成立．25.（2007重慶文）（本小題滿分12分）用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？25.（本小題12分）解：設(shè)長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為h1812x4.5x＜x＜3.43(m)02故長方體的體積為V(x)2x2x)9x26x33＜x＜32(4.52從而V()18x18x3)18x(1x).xx令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜2時，V′（x）＜0，3故在x=1處V（x）獲取極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2m，高為1.5m.答：當長方體的長為2m時，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m3。26（.2007重慶理）(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)其中a,b,c為常數(shù)。

44axlnxbx

c(x>0)在

x=1

處獲取極值

--3--c，1）試確定a,b的值；2）議論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意x>0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范圍。26.（本小題13分）26．解：（I）由題意知f(1)3c，因此bc3c，從而b3．又對f(x)求導得f(x)4ax3lnxax414bx3x3(4alnxxa4b)．由題意f(1)0，因此a4b0，解得a12．（II）由（I）知f(x)48x3lnx（x0），令f(x)0，解得x1．當0x1時，f(x)0，此時f(x)為減函數(shù)；當x1時，f(x)0，此時f(x)為增函數(shù)．因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，而f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間為(1，∞)．（III）由（II）知，f(x)在x1處獲取極小值f(1)3c，此極小值也是最小值，要使f(x)≥2c2（x0）恒成立，只要3c≥2c2．即2c2c3≥0，從而(2c3)(c1)≥0，解得c≥3或c≤1．2因此c的取值范圍為(，1]3，．227.（2007湖北文）（本小題滿分12分）某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.若是降低價格。銷售量能夠增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低銷x（單位：元，0x30）的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件.（Ⅰ）將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù);（Ⅱ）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？（2007湖北文）本小題主要觀察依照實詰責題成立數(shù)學模型，以及運用函數(shù)，導數(shù)的知識解決實詰責題的能力.解：（Ⅰ）設(shè)商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的盈利為f(x)，則依題意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由已知條件，24=k·22,于是有k=6,因此f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈［0,30］.(Ⅱ)依照（Ⅰ），我們有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).X［0，2］2（2，12）12（12，30）f′(x)-0+0-f(x)斜下剪頭極小斜上剪頭極大斜下剪頭故x=12時，f(x)達到極大值，因為f(0)=9072、f(12)=11264,因此定價為30-12=18元能使一個星期的商品銷售利潤最大.28.（2007湖南理）（本小題滿分12分）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（090），且sin2的距離PH0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點O，點P到平面5到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建開支a2（1≤l≤2）時，其造價為(l21)a萬元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB1.5(km)，OA3(km)．I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最?。籌I）關(guān)于（I）中獲取的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最?。↖II）在AB上可否存在兩個不一樣樣的點D，E，使沿折線PDEO修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論．28．解：（I）如圖，PH⊥，HB，PB⊥AB，A由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，因此PBH是山坡與所成二面角的平面角，則PBH，OPPHPB1．sinEDHx2PB2x2設(shè)BDx(km)，0≤x≤1.5．則PD1[1，2]．B記總造價為f1(x)萬元，據(jù)題設(shè)有f1(x)(PD211ADAO)a(x21x113)a224243x13aa164當x1，即BD1(km)時，總造價f1(x)最?。?4（II）設(shè)AEy(km)，0≤y≤5，總造價為f2(y)萬元，依照題設(shè)有4f2(y)PD21y23131yay23ya43a．224216則f2yy1a，由f2(y)0，得y1．y232當y(01)，時，f2(y)0，f2(y)在(0，1)內(nèi)是減函數(shù)；當y5時，f2(y)0，f2(y)在51，1，內(nèi)是增函數(shù)．44故當y1，即AE1（km）時總造價f2(y)最小，且最小總造價為67a萬元．（IIID，E．16）解法一：不存在這樣的點事實上，在AB上任取不一樣樣的兩點D，E．為使總造價最小，E顯然不能夠位于D與B之間．