畢業(yè)論文數(shù)學歸納法的應用

數(shù)學歸納法的概述2.1常用數(shù)學證明方法數(shù)學是一門非常注重學習方法的學科,而數(shù)學的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓盡致，數(shù)學中研究問題的方法一般有以下分類：2.1.1演繹法演繹法是從一般性原理得出特殊結(jié)論的推理方法，即從一般到特殊的推理方法。演繹法的特點是它從真實的前提一定能推出真實的結(jié)論。因此，演繹法是一種必然的推理，它是一種嚴格的邏輯證明方法。2.1.2歸納法歸納法是由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納法和完全歸納法[2]。不完全歸納法是根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié)論的推理方法。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的一種重要手段。在問題探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過對這些特例的不完全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想。因而學會用不完全歸納法對問題進行探索，對提高數(shù)學能力十分重要。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因果歸納法兩類。枚舉歸納法是以某個對象的多次重復作為判斷根據(jù)的歸納方法；因果歸納法歸納法是把一類事物中部分對象的因果關(guān)系作為判斷的前提而做出一般性猜想的方法[2]。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法。2.2數(shù)學歸納法基本原理及其其它形式2.2.1數(shù)學歸納法概念數(shù)學歸納法概念:數(shù)學歸納法是數(shù)學上證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題。2.2.2數(shù)學歸納法的基本原理在了解數(shù)學歸納法的基本原理前，我們不妨先來回想一下小時候?qū)φ麛?shù)的認識過程，首先，父母叫我們數(shù),后來數(shù),有必有，每一個正整數(shù)后面都有一個正整數(shù)，于是我們說：會數(shù)數(shù)了。事實上，數(shù)學歸納法正是基于這樣一個簡單原理。數(shù)學歸納法來源于皮亞諾自然公理，自然數(shù)有以下性質(zhì)：(1)是自然數(shù)(2)每一個確定的自然數(shù),都有一個確定的隨從，也是自然數(shù)(3)非隨從，即(4)一個數(shù)只能是某一個數(shù)的隨從，或者根本不是隨從，即由一定能推得(5)任意一個自然數(shù)的集合，如果包含，并且假設(shè)包含，也一定包含的隨從,那么這個集合包含所有的自然數(shù)。后來因為把也作為自然數(shù)，所以公理中的要換成。其中的性質(zhì)(5)是數(shù)學歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學歸納法：設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，如果：(1)命題當時正確，即正確(2)在假設(shè)正確的前提下，可以證明命題也正確，那么命題對任意正整數(shù)都是正確的。數(shù)學歸納法的正確性驗證是根據(jù)數(shù)學歸納法的原理，能否完成對與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證，即數(shù)學歸納法是否可靠，下面我將結(jié)合“正整數(shù)最小原理”，即“任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來驗證數(shù)學歸納法是否正確。命題1：任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)。證明：在這集合里任意取一個數(shù),大于的不必討論了，我們需要討論的是那些不大于n的自然數(shù)里一定有一個最小的數(shù)。應用歸納法，如果,它本身就是自然數(shù)里的最小的數(shù)，如果這集合里沒有小于的自然數(shù)存在，那么就是最小的，也不必討論了，如果有一個,那么由數(shù)學歸納法的假設(shè)知道集合里不大于的自然數(shù)一定有一個最小的數(shù)存在，這個數(shù)也就是原集合里最小的數(shù)，即得證。反過來，也可以用這個性質(zhì)來推出數(shù)學歸納法。假設(shè)對于某些自然數(shù)是不正確的，那么，一定有一個最小的自然數(shù)使這個命題不正確，也就是，當?shù)臅r候，命題正確，而當?shù)臅r候，這個命題也不正確，這與歸納法的假定是矛盾的。也許從理論上來看，我們有可能還不是很懂得數(shù)學歸納法原理的正確性，我們可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。例2.1從袋子里摸球問題如果袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完而得出一個確定的結(jié)論，但是，當東西是無窮的，怎么辦？如果有這樣一個論證：“當你這一次摸出紅玻璃球的時候，下一次摸出的，也一定是紅玻璃球”，那么，在這樣的保證下，只要第一次摸出的確定是紅玻璃球，就可以不再檢查地作出正確的結(jié)論：“袋里的東西，全部是紅玻璃球”。上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號碼的數(shù)學命題，能夠證明第號命題正確，如果能夠證明在第號命題正確的時候，第號命題也正確，那么，這一批命題就全部正確。2.2.3數(shù)學歸納法的其它形式數(shù)學歸納法原理本質(zhì)上來看由兩個重要步驟構(gòu)成，首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必須的，然后需要一個一般意義的演繹規(guī)則，按照這個演繹規(guī)則，反復應用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達到任意指定的情形，通常，這個一般的演繹規(guī)則是從所謂的歸納法假設(shè)開始，從較少規(guī)模成立的假設(shè)推導出較大規(guī)模的情形成立，從而建立一個一般的演繹規(guī)則，因此，從這一本質(zhì)出發(fā)，數(shù)學歸納法可演繹出豐富的“變著”，概括起來有兩個方面：一是奠基點的前提或后推，增多或減少：二是遞推跨度和遞推途徑的變通，而正是因為是“變著”的多樣性和應用技巧的靈活性，才使數(shù)學歸納法顯示出廣泛的應用性。(1)不一定從開始，也就是數(shù)學歸納法里的兩句話，可以改成：如果當?shù)臅r候，這個命題是正確的，又從假設(shè)當時，這個命題是正確的，可以推出當時，這個命題也是正確的，那么這個命題時都正確。這是第一數(shù)學歸納法的“變著”，也叫做跳躍數(shù)學歸納法。例2.2求證：邊形個內(nèi)角的和等于，（）。證明：當時，我們知道三角形三個內(nèi)角的和是，所以當時，命題是正確的，假設(shè)當時命題也是正確的，設(shè)是邊形的頂點，做線段，它把這個邊形分成兩個圖形，一個是邊形,另一個是三角形,并且邊形內(nèi)角的和等于后面兩個圖形的內(nèi)角和的和，就是也就是說，當時這個命題也是正確的，因此，定理得證。第二句話也可以改為“如果當適合于時命題正確，那么當時，命題也正確”，由此同樣可以證明對于所有命題都正確。這種屬于第二數(shù)學歸納法的“變著”。例2.3我們知道，對于任意自然數(shù)，有,反之，若，且,有成立嗎？證明：當時，由及,得。命題成立。假設(shè)當時，命題成立，即，當時，因為又于是因為所以又因為,故解得或所以時命題也成立，從而對任意自然數(shù)，命題成立。(3)設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若對無限多個自然數(shù)成立；假設(shè)成立可推出成立，則命題一切自然數(shù)都成立?？傊?，數(shù)學歸納法原理還隱含著許多“變著”，這便使得數(shù)學歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實的數(shù)學歸納法，如蹺蹺板數(shù)學歸納法，雙重數(shù)學歸納法。3數(shù)學歸納法的步驟3.1數(shù)學歸納法的步驟在高中階段，我們把數(shù)學歸納法的步驟分為三步，但是從實質(zhì)上來說，數(shù)學歸納法也可以分為兩個步驟：（1）當時，這個命題是正確的，（2）假設(shè)當時，這個命題是正確的，（3）證明當時，這個命題也是正確的。從而推出這個命題在自然數(shù)中都是成立的。例3.1對任意正自然數(shù)，有。證明：(1)當時，，，所以等式成立。(2)假設(shè)當時，等式也成立，則有(3)當時，時，等式也成立綜上所述，等式對一切正自然數(shù)都成立。3.2三個步驟缺一不可在實際的教學過程中，重點在于如何利用假設(shè)時命題的結(jié)論來推出時命題也成立，因為之前的兩部相當于第三步而言比較簡單，因此，學生做題時往往會在第三步感到困難，然而，即使學生經(jīng)過一段時間的訓練，能夠一步不漏正確的做下來，學生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學生心中疑問：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不是是代個最簡單的數(shù)字進去看看命題對不對，這一步會有多少作用，為什么非要不可。并且用的假設(shè)命題去推的必要性。以上問題都涉及到數(shù)學歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學證明方法的巧妙之處。其實，數(shù)學歸納法的三個步驟有著十分密切的關(guān)系，三個步驟缺一不可。下面用例題來說明：例3.2證明：所有的正整數(shù)都相等。這個命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當?shù)臅r候，這個命題是正確的”不管，那么可以用“數(shù)學歸納法”來“證明”它。這里，第號命題是：“第個正整數(shù)等于第個正整數(shù)”，就是兩邊都加上，就得這就是說，第個正整數(shù)等于第個正整數(shù)，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？錯誤就在于，我們沒有考慮的情況。例3.3在正自然數(shù)上都是素數(shù)。分析：當?shù)臅r候，式子的值都是素數(shù),即使如此，我們還不能確立是任何正整數(shù)的時候，這個式子的值都是素數(shù)，事實上，只要的時候它的值就不是素數(shù)。這也就是說，即使我們試了次，式子的值都是素數(shù)，我們?nèi)耘f不能斷定這個命題一般的正確性。這就足夠說明了是遞推的基礎(chǔ),二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過程，它解決了從特殊值到一般的過渡。這三個步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。所以，用數(shù)學歸納法證題時，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應用假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學教材而論，應用數(shù)學歸納法證明命題大概有兩種類型：能直接應用歸納假設(shè)來證明的，證明這類問題時，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項，通過適當變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學的課本中比較常見。不能直接應用歸納假設(shè)來證明的，這類命題解題時，一般通過下面的兩種途徑為應用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件,先將代入原式，然后將所得表達式作適當?shù)淖儞Q，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學知識，建立與的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立，對于這種類型題目在中學數(shù)學的學習中出現(xiàn)的概率也是很大的。4數(shù)學歸納法的典型應用數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應用是十分廣泛的。應用數(shù)學歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。4.1證明恒等式應用數(shù)學歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。下面舉例說明．例4.1用數(shù)學歸納法證明：證明：(1)當時，左邊，右邊∴左邊=右邊(2)假設(shè)時，等式成立．即當時，∴當時，等式也成立。由(1)(2)知，等式對任何都成立。例4.2（2010江蘇卷（理科））已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1）求證：是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)，是有理數(shù)．證明：(1)由、、為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。(2)用數(shù)學歸納法證明和都是有理數(shù)。①當時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。②假設(shè)當時，和都是有理數(shù)。當時，由,由①和歸納假設(shè)，知與都是有理數(shù)。即當時，結(jié)論成立。綜合①、②可知，對任意正整數(shù)，是有理數(shù)。數(shù)學歸納法最簡單的應用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學習，我們已經(jīng)知道：“從個不同的元素里，每次取個，按照一定的順序擺成一排，稱做從個元素里每次取出個元素的排列?！迸帕械姆N數(shù)，稱做排列數(shù)。從個不同的元素里每次取個元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號來表示。對于有下面的公式：定理1現(xiàn)在我們用數(shù)學歸納法來證明它。證明：首先，．這是顯然的．如果再能證明，那么，這個定理就可以應用數(shù)學歸納法來證明。我們假定個元素是在每次取出個元素的種排列法里，以為首的共有種，以為首的同樣也有種，由此即得于是定理得證。4．2證明不等式應用數(shù)學歸納法證明不等式，分為嚴格不等式和非嚴格不等式兩種．嚴格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對于非嚴格不等式，情況略顯復雜，在證明過程的第一步驗證中，對于“”或“”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點認為：在第一步中，既要驗證“”成立，也要說明成立。只有如此，才能更充分地體現(xiàn)非嚴格不等式成立。另一種觀點認為：在第一步中，只要證明或有一個成立，即可說明非嚴格不等式成立。從邏輯連接詞的角度，我傾向于后者。事實上，用數(shù)學歸納法證明非嚴格不等式時，是或的基礎(chǔ)。例4.3求證：證明：（1）當時，不等式成立。（2）假設(shè)當時命題成立，即那么當即當時，命題成立。根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何都成立。例4.4求證：證明：（1）當時，左邊==右邊∴不等式成立（2）假設(shè)當時命題成立，即令那么當時，令則有∴由歸納假設(shè)知，，則即當時，命題成立。根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何都成立。有時候，我們要證明的不等式無法直接運用歸納法解決，這時，我們則考慮將不等式加強以便運用歸納法。而不等式加強的形式是多樣的，其中規(guī)律有法可循——根據(jù)要證不等式的形式進行構(gòu)造。例4.5若不等式對一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明你的結(jié)論。解：取，令，得，而，所以取，下面用數(shù)學歸納法證明1）時，已證結(jié)論正確。2）假設(shè)時，不等式成立。3）則當時，有因為所以所以即時，結(jié)論成立。由1），2）可知，對一切，都有故的最大值為。4．3證明整除問題應用數(shù)學歸納法證明整除性問題，是數(shù)學歸納法的重要應用之一。在做這一部分題時，應從整除的基本含義入手，通過添項去項進行“配湊”，使之能夠獲證。例4.6證明能被整除。證明：1)時，能被整除。2)假設(shè)時，能被整除。3）則當時，有由于能被整除，能被整除所以時命題成立。即證。4.4證明幾何問題應用數(shù)學歸納法證明幾何問題是數(shù)學歸納法的一個重要應用。數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。數(shù)學家華羅庚曾在其《數(shù)學歸納法》一書中指出；“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來．”不少與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，也可以用數(shù)學歸納法證明，但是在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學歸納法證明結(jié)論。例4.7平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點。求證：這個圓把平面分成個部分。證明：1）當時，一個圓把平面分成兩部分，命題成立。2）假設(shè)當時命題成立，即個圓把平面分成個部分。3）則當時，這個圓中的個圓把平面分成個部分，第個圓被前個圓分成條弧，每條弧把它所在部分分成了兩個部分，這是共增加了個部分，即個圓把平面分成即命題成立。4.5行列式與矩陣的證明行列式與矩陣的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，階行列式的展開式有！項，計算量很大，一般情況下不用此法。如果選擇好的方法，從而達到化繁為簡的功效。例4.8證明范得蒙行列式：其中證明：（1）當時，，等式成立。（2）假設(shè)等式對階范得蒙行列式成立，即對n階范得蒙行列式：按第一列展開并提取公因子，得后面的行列式是一個階范得蒙行列式，由歸納假設(shè)可寫作，代入上式便得.由（1）、（2）可知，對所有的，命題成立。例4.9求證：證明：（1）當時，結(jié)論顯然成立（2）假設(shè)命題成立，即當取時:由（1）、（2）可知，對所有的，命題成立。在解決行列式與矩陣問題時，選擇一種好的方法不僅能達到事半功倍的效果，更能體現(xiàn)學習高等數(shù)學的功底。計算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用。在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上的特點，再考察它是否能用常用的幾種方法，如果行列式與矩陣中有與自然數(shù)有關(guān)，我們可考慮用數(shù)學歸納法去證明，再利用它們的性質(zhì)對它進行變換，然后求解。5運用數(shù)學歸納法時容易出現(xiàn)的錯誤分析剛剛接觸數(shù)學歸納法時容易出現(xiàn)對步驟把握不清的現(xiàn)象，下面針對幾種常見錯誤進行分析。5.1忽略了歸納奠定基礎(chǔ)的必要性錯例5.1試證。錯證：假設(shè)時等式成立，即則當時，即當時等式成立。根據(jù)數(shù)學歸納法原理可知，當是任意正整數(shù)時，等式都成立。評注：事實上，。因此錯例1的題目是錯誤的。上述錯證，竟把錯誤的結(jié)論“證明”出來了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納奠定這一步。切莫以為歸納奠定這一步就是“當時命題正確”這么一句話，似乎無關(guān)緊要，可有可無。從上例可以看出，不去認真地檢驗這一步，或者根本沒有這一步，就可能陷入錯誤的泥潭。因此，只有歸納遞推、沒有歸納奠定基礎(chǔ)的論證是錯誤的。歸納奠基步驟決不能少。5.2弄不清從變化到命題發(fā)生變化時到底增加了幾項錯例5.2求證：（n為自然數(shù)）。當時，左邊為則當時左邊應為就增加了括號中的那部分共項，而往往在此處由于受到前期思維定勢的影響，判斷為只增加一項，那就錯了。5.3在第二步證明中沒有利用歸納假設(shè)比如用數(shù)學歸納法證明，不少同學是按下列步驟展開的：證明：（1）當時，左邊=，右邊=2∵左邊右邊∴原不等式成立（2）假設(shè)當（k為整數(shù)）時不等式成立，即，那么當時，∴時不等式也成立．由（1）、（2）知對于一切整數(shù)n，命題成立。上述的證明方法表象似乎是“數(shù)學歸納法”，其實不是，因為第二步由推導時，沒有用到歸納假設(shè)來證明不等式成立，這就好像接力賽跑一樣沒有由前一個將接力棒傳給。6應用數(shù)學歸納法時的一些技巧6.1靈活選取“起點”第一步驗證時，一般情況下也總能把命題證明出來，但對有些問題，則必須根據(jù)題目具體條件，對第一步做些調(diào)整，靈活選取起點，比如，適當?shù)膶⑵瘘c前移或后挪，會對問題的解決大有幫助。所謂“起點的前移”是指對命題，若驗證起點（如）比較困難或麻煩，而（如）有意義時，不妨將起點的驗證移至；所謂“起點后挪”是指對命題，，，…，不能統(tǒng)一到“歸納”過程中去，這時可將起點后挪至，當然，，…，需要用完全歸納法予以一一驗證。例6.1若、為正整數(shù)，則能被整除。證明：（1）當時，顯然成立。假設(shè)時命題成立。則當時，由假設(shè)知，時命題成立。綜合（1）、（2）知原命題成立。上例假設(shè)是為正整數(shù)，而我們第一步驗證，這時命題顯然成立，這比直接驗證要容易的多。并且這樣選擇的“起點”并不影響后面的遞推步，在這種情形下是允許這樣做的。例6.2試證：對一切自然數(shù)，都有。分析：不妨先看看第二步，假設(shè)時，有，即.則當時，?！?由于，欲使上式大于0，必有，即k3>4。這說明要完成歸納遞推，必須從4開始。因而起點也必須從“后挪”至。此時第一步就應該是：當時，（經(jīng)驗證）命題都成立。這里運用了“起點后挪”的技巧[7]。6.2恰當選取“跨度”在歸納中，有時采用較大的跨度更為方便，就可以改變跨度，不過應注意隨之而起點增多。例6.3試證：任意大于7的自然數(shù)均可表為若干個3與若干個5之和（若干個包括零個）。證明：（1）當=8，9,10時，命題成立，由8=5+3,9=3+3+3,10=5+3知命題成立。假設(shè)時命題成立，則當時，只需再加一個3即可，顯然成立。綜合（1）、（2）知原命題成立.上例遞推跨度為3，起點驗證也需要三個。例6.4求證對一切自然數(shù)，不定方程都有正整數(shù)解。證明：當時，??；當，取，故知命題在和2時成立。假設(shè)當時，，就有，知它們恰為方程的一組正整數(shù)解.所以當時，命題也成立。則對一切自然數(shù)不定方程都有正整數(shù)解。對上述兩個例題，如果硬性規(guī)定跨度為1，則作繭自縛，而通過加大跳躍跨度，則大大降低了歸納難度[6]。6.3選取合適的假設(shè)方式同“起點”和“跨度”一樣，歸納法的假設(shè)也可以是“因勢而異”的，不一定非要拘泥于“假設(shè)當時命題成立”不可。事實上，“”往往可以用“”或“，”等等來代替。6.3.1以“假設(shè)時成立”代替“假設(shè)時成立”例6.5設(shè)數(shù)列{}滿足關(guān)系式：（1），（2），試證數(shù)列的通項公式為。（加拿大數(shù)學競賽試題）分析：顯然滿足通項公式，但因，與，，…，都有關(guān)，如果仍設(shè)，就顯得不夠用了。按如果改設(shè)“對一切，都有”，問題即可解決，因為由即可知也滿足通項公式。在上面的論證中，僅僅改變了假設(shè)的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理，相反卻有利歸納過渡，因而是十分可取的。6.3.2以“假設(shè)，時成立”代替“假設(shè)時成立”有時也會碰到一些問題，它們的歸納需要依賴于前面兩個命題同時成立，這時就應當用“假設(shè)，時成立”來代替通常的“假設(shè)時成立”，不過這樣一來，起點也應增多為兩個，否則，后面所作的假設(shè)就變得沒有依據(jù)，整個論證也就變得不可信了。例6.6設(shè)與是方程的兩個根，試證對任何自然數(shù)，都是整數(shù)，但不是5的倍數(shù)。證明：為了便于使用歸納法，我們先來推導一下遞推關(guān)系式.由韋達定理知：，因而就有故知，即有.又當時，；當時，，故知當與2時，都是整數(shù)且不為5的倍數(shù)，現(xiàn)假設(shè)，時，也都是整數(shù)，于是由遞推關(guān)系式知當時，也是整數(shù).所以對一切自然數(shù)，都是整數(shù)。為證都不是5的倍數(shù)，以記其被5除所得的余數(shù)，于是由已證部分知，且由遞推公式知。再證{}是一個循環(huán)數(shù)列，循環(huán)節(jié)是6。事實上，我們有于是有從而知{}是以6作為循環(huán)節(jié)的循環(huán)數(shù)列.于是可以算出：它們都不為0，這樣我們就證明了對一切自然數(shù)，都不是5的倍數(shù)。在本例論證的前一部分——是整數(shù)中，就采用了“與時，是整數(shù)”的假設(shè)形式，以便于利用遞推公式順利進行完成歸納過渡。這種假設(shè)形式，在論證數(shù)列問題時較為常用.但在使用時應注意對起點數(shù)作相應的增多。7數(shù)學歸納法的地位和作用數(shù)學歸納法在討論涉及正數(shù)無限性的問題時，是一種非常重要的數(shù)學方法，在數(shù)學的學習中，它的地位和作用可以從以下三個方面來看：（1）中學數(shù)學中的許多重要結(jié)論，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式、二項公式定理等都可以用數(shù)學歸納法進行證明。對于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，我們也常采用數(shù)學歸納法來證明它們的正確性。（2）運用數(shù)學歸納法可以證明許多數(shù)學問題，如與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、一些整除問題、一些幾何問題等，既可以開闊眼界，又可以受到推理論證的訓練。對于一些用常規(guī)的分析綜合法不容易證明的題，用數(shù)學歸納法往往會得到一些意想不到的好結(jié)果。（3）數(shù)學歸納法在進一步學習高等數(shù)學時會經(jīng)常用到，因此掌握這種方法可以為今后的高等數(shù)學的學習打下一個良好的基礎(chǔ)。致謝經(jīng)過了數(shù)月的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，此時，我的心情常激動。雖然，本論文還有許多不足之處，但這也是我?guī)讉€月來努力的成果，以及我的導師曹慧老師對我孜孜不倦的指導。記得在剛剛確定論文課題的開始，導師就很耐心地幫助我，比個根據(jù)對我自身的特點給了我?guī)讉€比較合適的課題；還有在撰寫論文的過程中，老師也是隨時地提醒我要注意論文撰寫的進度以及一些相關(guān)要求。所以，這篇論文并不僅僅是我個人的勞動成果，假如沒有導師的指導和支持，我的畢業(yè)論文肯定完成得不是那么順利。所以，我要發(fā)自肺腑地感謝我的導師，感謝她這幾個月來的辛勤知道和陪伴！還有我敬愛的老師們，在我大學四年的學習生活中，你們的諄諄教誨時時刻刻激勵著我，我之所以能夠很好地學到科學文化知識，全得益于你們的樂于奉獻，所以在此，也要對你們說聲謝謝！再者，還有我親愛的同學們，我的生活因為有你們的陪伴而不再枯燥乏味，你們給我?guī)砹颂嗝篮玫幕貞?，這些回憶值得我永遠珍藏，所以也要謝謝你們！最后，我要感謝我的家人，有了你們的鼓勵和支持，我才能夠義無返顧的努力向前，我才能夠順利地完成學校，在此道一聲：謝謝你們！還要感謝在百忙之中抽出時間參加我們畢業(yè)論文答辯的老師，你們辛苦了！參考文獻[1]王子興.數(shù)學方法論[M].長沙：中南大