線性代數(shù)B期末試卷及答案

((共6頁第5頁)2008–2009學年第二學期《線性代數(shù)B》試卷2009年6月22日一二一二三四五六總分得分一、填空題(6小題318分）1.設(shè)，則＝.BAB=O，則。4。設(shè)向量組線性無關(guān)，向量不能由它們線性表示，則向量組的秩為。A為實對稱陣，且f=xTAxf=yTA-1y的線x=．６．設(shè)的兩組基為,,;T,,則由基到基的過渡矩陣為。得分二、單項選擇題（共6小題,每小題3分，滿分18分)得分1。設(shè)Dn為n階行列式，則Dn＝0的必要條件是［ 。（A）Dn(B）Dn中各行元素之和為零；（C)Dn中有一行元素全為零；(D)以Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解．2．若向量組線性無關(guān)線性相,則[ 。線性表示；（B)必可由線性表示;,，線性表示;（D）線性表示.３．設(shè)3階方陣A有特征值0，－1，1,其對應(yīng)的特征向量為3，令＝（1,2，，則－1AP＝[ 。(（；C)； （．４．設(shè)α1,α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是[ ]。(A)α1，α2,α3-α1； （B)α1，α1+α2，α1+α3；（C)α1+α2,α2+α3，α3+α1; （D)α1-α2，α2-α3，α3—α1。５．

3×4

有一個3階子式不為0,則A的秩］.(A）1;(B）2；（C）3；(D）4．６．實二次型f＝xTAx為正定的充分必要條件是［ ]。（A）A的特征值全大于零；（B） A的負慣性指數(shù)為零；（C) ｜A|〉0（D）（A）n。得分三、解答題（共5小題，每道題8分，滿分40分）1。求的值.２.求向量組,性表出。３。設(shè)A、P均為3階矩陣，且若P=（α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，求QTAQ．4．設(shè)是階實對稱矩陣,，若，求。5。設(shè)矩陣相似于對角矩陣，求a.（10分）對線性方程組得分(1)若兩兩不等，問方程組是否有解，為什么？(）b0，且已知方程的兩個解,，試給出方程組的通解．得分 五（本題滿分8分)設(shè)二次曲面方程經(jīng)正交變換，化成，求、的值及正交矩陣Q。得分6分)AnA的對應(yīng)于實特λ的特征向量，βATμ的特征向量αβ正交．2008–2009學年第二學期《線性代數(shù)B》試卷參考答案2009622日一二三四五六總分一二三四五六總分得分一、填空題(6小題，每小題3分,18分）1。設(shè),則＝ 2 .3．設(shè)方陣B為三階非零矩陣，且AB=O，則 —3 。4。設(shè)向量組線性無關(guān)，向量不能由它們線性表示，則向量組的秩為m+1。設(shè)A為實對稱陣,且|A|≠0，則二次型f=xTAx化為f=yTA—1y的線性變換是x= ．６．;，,則由基到基的過渡矩陣P=．得分 二、單項選擇題（共6小題每小題3分，滿分18分）1。n階行列式，則0［。（A）中有兩行元素對應(yīng)成比例；(B）中各行元素之和為零；(C）解．,[C。(A）必可由，，線性表示.（B)必可由，，線性表示。(C）必可由，，線性表示.(D)必可由，，線性表示.3AP，＝PP，P－1A＝［］.

1 2 31 2 3（A);（B）;（C）（D．2 ４．設(shè)α1α，α線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的[D 2 2 3 1 1 1 2 1 α1αα—α（Bαα+αα+α2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 (Cα1+2α2α，αα（）1-2，2α3α3α3 3 1 ５．若矩陣有一個3階子式不為0，則［C 。（）=1;（）（）=2;(）（)=3（）（）=．６．f＝xAx為正定的充分必要條件是［A．A（）A的負慣性指數(shù)為零(C）｜A|〉0；(D）R(A）=n。得分三、解答題(共5小題，每道題8分，滿分40分）1。求的值解:２性表出。解：極大無關(guān), ,.３。設(shè)A、P均為3階矩陣，且若P=（α1，α2,α3）,Q=（α1+α2，α2，α3）,QTAQ．解：由于Q=（α1+α2，α2，α3）=（α1，α2，α3）于是QTAQ=解:由知，的特征值—2或0，又，且是階實對稱矩陣，則(k個—2),故．5。設(shè)矩陣相似于對角矩陣，求a.|A—λE|=0,A=-2A相似于對角矩陣，R(A—6E)=1，即，a=06無關(guān)的特征向量．得分（10分）對線性方程組得分若兩兩不等,問方程組是否有解，為什么？若，（b0，且已知方程的兩個解，,試給出方程組的通解．解：(1)因為,故,無解．（2．得分 五（本題滿分8分)設(shè)二次曲面的方程經(jīng)正交變,化成,求、的值及正交矩陣Q。解：設(shè),，當時,故正交陣.

(6分）An階實矩陣,αA的對應(yīng)于實特λ的特征向量,βATμαβ正交．得分證：依題意得Aα=λα，A