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((共6頁第5頁)2008–2009學年第二學期《線性代數(shù)B》試卷2009年6月22日一二一二三四五六總分得分一、填空題(6小題318分)1.設(shè),則=.BAB=O,則。4。設(shè)向量組線性無關(guān),向量不能由它們線性表示,則向量組的秩為。A為實對稱陣,且f=xTAxf=yTA-1y的線x=.6.設(shè)的兩組基為,,;T,,則由基到基的過渡矩陣為。得分二、單項選擇題(共6小題,每小題3分,滿分18分)得分1。設(shè)Dn為n階行列式,則Dn=0的必要條件是[ 。(A)Dn(B)Dn中各行元素之和為零;(C)Dn中有一行元素全為零;(D)以Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解.2.若向量組線性無關(guān)線性相,則[ 。線性表示;(B)必可由線性表示;,,線性表示;(D)線性表示.3.設(shè)3階方陣A有特征值0,-1,1,其對應(yīng)的特征向量為3,令=(1,2,,則-1AP=[ 。((;C); (.4.設(shè)α1,α2,α3線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是[ ]。(A)α1,α2,α3-α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3;(C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3—α1。5.
3×4
有一個3階子式不為0,則A的秩].(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.6.實二次型f=xTAx為正定的充分必要條件是[ ]。(A)A的特征值全大于零;(B) A的負慣性指數(shù)為零;(C) |A|〉0(D)(A)n。得分三、解答題(共5小題,每道題8分,滿分40分)1。求的值.2.求向量組,性表出。3。設(shè)A、P均為3階矩陣,且若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ.4.設(shè)是階實對稱矩陣,,若,求。5。設(shè)矩陣相似于對角矩陣,求a.(10分)對線性方程組得分(1)若兩兩不等,問方程組是否有解,為什么?()b0,且已知方程的兩個解,,試給出方程組的通解.得分 五(本題滿分8分)設(shè)二次曲面方程經(jīng)正交變換,化成,求、的值及正交矩陣Q。得分6分)AnA的對應(yīng)于實特λ的特征向量,βATμ的特征向量αβ正交.2008–2009學年第二學期《線性代數(shù)B》試卷參考答案2009622日一二三四五六總分一二三四五六總分得分一、填空題(6小題,每小題3分,18分)1。設(shè),則= 2 .3.設(shè)方陣B為三階非零矩陣,且AB=O,則 —3 。4。設(shè)向量組線性無關(guān),向量不能由它們線性表示,則向量組的秩為m+1。設(shè)A為實對稱陣,且|A|≠0,則二次型f=xTAx化為f=yTA—1y的線性變換是x= .6.;,,則由基到基的過渡矩陣P=.得分 二、單項選擇題(共6小題每小題3分,滿分18分)1。n階行列式,則0[。(A)中有兩行元素對應(yīng)成比例;(B)中各行元素之和為零;(C)解.,[C。(A)必可由,,線性表示.(B)必可由,,線性表示。(C)必可由,,線性表示.(D)必可由,,線性表示.3AP,=PP,P-1A=[].
1 2 31 2 3(A);(B);(C)(D.2 4.設(shè)α1α,α線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的[D 2 2 3 1 1 1 2 1 α1αα—α(Bαα+αα+α2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 (Cα1+2α2α,αα()1-2,2α3α3α3 3 1 5.若矩陣有一個3階子式不為0,則[C 。()=1;()()=2;()()=3()()=.6.f=xAx為正定的充分必要條件是[A.A()A的負慣性指數(shù)為零(C)|A|〉0;(D)R(A)=n。得分三、解答題(共5小題,每道題8分,滿分40分)1。求的值解:2性表出。解:極大無關(guān), ,.3。設(shè)A、P均為3階矩陣,且若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),QTAQ.解:由于Q=(α1+α2,α2,α3)=(α1,α2,α3)于是QTAQ=解:由知,的特征值—2或0,又,且是階實對稱矩陣,則(k個—2),故.5。設(shè)矩陣相似于對角矩陣,求a.|A—λE|=0,A=-2A相似于對角矩陣,R(A—6E)=1,即,a=06無關(guān)的特征向量.得分(10分)對線性方程組得分若兩兩不等,問方程組是否有解,為什么?若,(b0,且已知方程的兩個解,,試給出方程組的通解.解:(1)因為,故,無解.(2.得分 五(本題滿分8分)設(shè)二次曲面的方程經(jīng)正交變,化成,求、的值及正交矩陣Q。解:設(shè),,當時,故正交陣.
(6分)An階實矩陣,αA的對應(yīng)于實特λ的特征向量,βATμαβ正交.得分證:依題意得Aα=λα,A
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