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八年級(jí)上冊(cè)RJ初中數(shù)學(xué)第4課時(shí)12.2三角形全等的判定八年級(jí)上冊(cè)RJ初中數(shù)學(xué)第4課時(shí)12.2三角形全等的判定1.什么叫全等三角形?能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A'B'C'中,
AB=A'B',
AC=A'C',
BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'
(SSS).知識(shí)回顧BCAB'C'A'1.什么叫全等三角形?能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形3.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A′B′,∠B=∠B′,
BC=B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).BCAB'C'A'3.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊4.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或者“ASA”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A′B′C′中,
∠B=∠B′,
BC=B′C′,∠C=∠C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).BCAB'C'A'4.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角1.理解并掌握三角形全等判定“角角邊”條件的內(nèi)容.2.熟練利用“角角邊”條件證明兩個(gè)三角形全等.3.通過探究判定三角形全等條件的過程,提高分析和解決問題的能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握三角形全等判定“角角邊”條件的內(nèi)容.學(xué)習(xí)目標(biāo)兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等,這樣的兩個(gè)三角形全等嗎?在△ABC和△A'B'C'中,使AB=A'B',∠C=∠C',∠B=∠B'.此時(shí)的△ABC和△A'B'C'全等嗎?請(qǐng)選用已經(jīng)學(xué)過的全等三角形的判定來證明△ABC和△A'B'C'全等.ABB'A'CC'課堂導(dǎo)入兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等,這樣的兩個(gè)三角形全等嗎已知,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠C=∠C′,∠B=∠B′.證明△ABC≌△A′B′C′.證明:∵∠C=∠C′,∠B=∠B′,∴∠A=∠A′.
在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
ABB'A'CC'知識(shí)點(diǎn)1三角形全等的判定定理:角角邊(AAS)新知探究∠A=∠A′,AB=A′B′,∠B=∠B′,已知,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠C=∠判定4:兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′,∠B=∠B′,
BC=B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).要按照“角—角—邊”的順序書寫.BCAB'C'A'判定4:兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等例1如圖,在△ABC和△ADC中,∠B=∠D=90°,∠BAC=∠DAC.求證:△ABC≌△ADC.證明:在△ABC和△ADC中,
∠B=∠D,
∠BAC=∠DAC,
AC=AC(公共邊),∴△ABC≌△ADC(AAS).┐ABDC┐新知探究跟蹤訓(xùn)練例1如圖,在△ABC和△ADC中,∠B=∠D=90°,∠例2如圖,BE=CD,∠1=∠2,則AB=AC嗎?為什么?C1BDAE2證明:∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠ADC.在△AEB和△ADC中,
∠A=∠A,
∠AEB=∠ADC,
BE=CD,
∴△AEB≌△ADC(AAS).
∴AB=AC.
等角的補(bǔ)角相等例2如圖,BE=CD,∠1=∠2,則AB=AC嗎?為什么思考:有兩個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否一定全等?如果兩個(gè)三角形中,有兩個(gè)角和一條邊分別相等,那么這兩個(gè)三角形是全等三角形.思考:“ASA”和“AAS”之間有什么關(guān)系?在證明兩個(gè)三角形全等過程中,“ASA”和“AAS”兩個(gè)判定是可以相互轉(zhuǎn)化的.知識(shí)點(diǎn)2“ASA”和“AAS”之間的區(qū)別與聯(lián)系新知探究你能總結(jié)一下“ASA”和“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系嗎?思考:有兩個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否一定全等?“ASA”和“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系A(chǔ)SA“S”的意義書寫格式聯(lián)系A(chǔ)SA“S”是兩角的夾邊把夾邊相等寫在兩角相等的中間由三角形的內(nèi)角和定理可知,“ASA”和“AAS”可以互相轉(zhuǎn)化AAS“S”是其中一角的對(duì)邊把兩角相等寫在一起,邊相等放在最后“ASA”和“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系A(chǔ)SA“S”的意義書寫格式例
如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△BOD全等嗎?請(qǐng)用兩種方法證明.解:△AOC和△BOD全等,理由如下:方法一∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴OA=OB.∵在△AOC和△BOD中,∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,BAODC跟蹤訓(xùn)練新知探究例如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△B例
如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△BOD全等嗎?請(qǐng)用兩種方法證明.∴∠A=∠B.在△AOC和△BOD中,
∠A=∠B,
OA=OB,
∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD(ASA).BAODC例如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△B方法二∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴OA=OB.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(AAS).例
如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△BOD全等嗎?請(qǐng)用兩種方法證明.∠C=∠D,
∠AOC=∠BOD,
OA=OB,BAODC方法二∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴OA=OB.例如圖,點(diǎn)1.已知,如圖,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn),AB=CE,AB//CD,∠ACB=∠D.求證:BC=ED.證明:∵AB//CD,∴∠A=∠ECD.
在△ACB和△CDE中,
∠ACB=∠D,
∠A=∠ECD,
AB=CE,∴△ACB≌△CDE(AAS).
∴BC=ED.ABECD隨堂練習(xí)1.已知,如圖,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn),AB=CE,AB//CD,2.如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一直線上,AB=DE,∠A=∠D,AC//DF.求證:(1)△ABC≌△DEF.(2)BE=CF.
證明:(1)∵AC//DF,∴∠ACB=∠F.在△ABC和△DEF中,
∠ACB=∠F,
∠A=∠D,
AB=DE,∴△ABC≌△DEF(AAS).ACDFBE2.如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一直線上,AB=DE,∠A(2)∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF.
∴BC-EC=EF-EC,即BE=CF.等邊加(減)等邊,其和(差)還是等邊,等角加(減)等角,其和(差)還是等角.ACDFBE2.如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一直線上,AB=DE,∠A=∠D,AC//DF.求證:(1)△ABC≌△DEF.(2)BE=CF.(2)∵△ABC≌△DEF,等邊加(減)等邊,其和(差
3.如圖,已知AD=BC,AC=BD.(1)求證:△ADB≌△BCA.(2)OA與OB相等嗎?若相等,請(qǐng)說明理由.證明:(1)∵在△ADB和△BCA中,
AD=BC,
AB=BA(公共邊),
BD=
AC,∴△ADB≌△BCA(SSS).
ACDBO3.如圖,已知AD=BC,AC=BD.證明:(1)∵在證明:(2)
OA與OB相等.理由如下:
由(1)得△ADB≌△BCA,∴∠D=∠C.
∠D=∠C,∵在△DOA和△COB中,∠DOA=∠COB,
AD=BC,∴△DOA≌△COB(AAS),∴OA=OB.
(2)OA與OB相等嗎?若相等,請(qǐng)說明理由.ACDBO證明:(2)OA與OB相等.理由如下:(2)OA與OB相三角形全等的判定AAS對(duì)比探究應(yīng)用兩角和其中一組角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等對(duì)比“ASA”和“AAS”的區(qū)別和聯(lián)系利用“AAS”解決實(shí)際問題課堂小結(jié)三角形全等的判定AAS對(duì)比應(yīng)用兩角和其中一組角的對(duì)邊分別相等
1.如圖,AB⊥CD,且AB=CD.E,F(xiàn)是AD上的兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,
BF=b,EF=c,則AD的長為()A.a+c
B.b+cC.a-b+cD.a+b-c拓展提升ABCEFD解析:設(shè)AB,CD相交于點(diǎn)M.∵CE⊥AD,AB⊥CD,∴∠AMD=∠CED=90°.∵∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠AFB=90°.M1.如圖,AB⊥CD,且AB=CD.E,F(xiàn)是AD上的兩點(diǎn)在△ABF和△CDE中,∠AFB=∠CED,
∠A=∠C,
AB=CD,∴△ABF≌△CDE(AAS).∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴DF=DE-EF=b-c,∴AD=AF+DF=a+b-c.
1.如圖,AB⊥CD,且AB=CD.E,F(xiàn)是AD上的兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,
BF=b,EF=c,則AD的長為()A.a+c
B.b+cC.a-b+cD.a+b-cABCEFDMD在△ABF和△CDE中,∠AFB=∠CED,1.如圖2.如圖,已知AD是∠BAC的平分線,在不添加任何輔助線的前提下,要使△AED≌△AFD,可添加一個(gè)什么條件?并給予證明.
解:方法一添加AE=AF.證明如下:
∵AD是∠BAC的平分線,∴∠EAD=∠FAD.
AE=AF,在△AED和△AFD中,∠EAD=∠FAD,
AD=AD,∴△AED≌△AFD(SAS).
AEBDCF2.如圖,已知AD是∠BAC的平分線,在不添加任何輔助線的前
方法二添加∠EDA=∠FDA
.證明如下:
∵AD是∠BAC的平分線,∴∠EAD=∠FAD.
∠EDA=∠FDA,在△AED和△AFD中,AD=AD,∠EAD=∠FAD,∴△AED≌△AFD(ASA).
AEBDCF2.如圖,已知AD是∠BAC的平分線,在不添加任何輔助線的前提下,要使△AED≌△AFD,可添加一個(gè)什么條件?并給予證明.方法二添加∠EDA=∠FDA.證明如下:AEBDC八年級(jí)上冊(cè)RJ初中數(shù)學(xué)第4課時(shí)12.2三角形全等的判定八年級(jí)上冊(cè)RJ初中數(shù)學(xué)第4課時(shí)12.2三角形全等的判定1.什么叫全等三角形?能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A'B'C'中,
AB=A'B',
AC=A'C',
BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'
(SSS).知識(shí)回顧BCAB'C'A'1.什么叫全等三角形?能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形3.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A′B′,∠B=∠B′,
BC=B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).BCAB'C'A'3.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊4.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或者“ASA”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A′B′C′中,
∠B=∠B′,
BC=B′C′,∠C=∠C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).BCAB'C'A'4.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角1.理解并掌握三角形全等判定“角角邊”條件的內(nèi)容.2.熟練利用“角角邊”條件證明兩個(gè)三角形全等.3.通過探究判定三角形全等條件的過程,提高分析和解決問題的能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握三角形全等判定“角角邊”條件的內(nèi)容.學(xué)習(xí)目標(biāo)兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等,這樣的兩個(gè)三角形全等嗎?在△ABC和△A'B'C'中,使AB=A'B',∠C=∠C',∠B=∠B'.此時(shí)的△ABC和△A'B'C'全等嗎?請(qǐng)選用已經(jīng)學(xué)過的全等三角形的判定來證明△ABC和△A'B'C'全等.ABB'A'CC'課堂導(dǎo)入兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等,這樣的兩個(gè)三角形全等嗎已知,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠C=∠C′,∠B=∠B′.證明△ABC≌△A′B′C′.證明:∵∠C=∠C′,∠B=∠B′,∴∠A=∠A′.
在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
ABB'A'CC'知識(shí)點(diǎn)1三角形全等的判定定理:角角邊(AAS)新知探究∠A=∠A′,AB=A′B′,∠B=∠B′,已知,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠C=∠判定4:兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”).符號(hào)語言表示:在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′,∠B=∠B′,
BC=B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).要按照“角—角—邊”的順序書寫.BCAB'C'A'判定4:兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等例1如圖,在△ABC和△ADC中,∠B=∠D=90°,∠BAC=∠DAC.求證:△ABC≌△ADC.證明:在△ABC和△ADC中,
∠B=∠D,
∠BAC=∠DAC,
AC=AC(公共邊),∴△ABC≌△ADC(AAS).┐ABDC┐新知探究跟蹤訓(xùn)練例1如圖,在△ABC和△ADC中,∠B=∠D=90°,∠例2如圖,BE=CD,∠1=∠2,則AB=AC嗎?為什么?C1BDAE2證明:∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠ADC.在△AEB和△ADC中,
∠A=∠A,
∠AEB=∠ADC,
BE=CD,
∴△AEB≌△ADC(AAS).
∴AB=AC.
等角的補(bǔ)角相等例2如圖,BE=CD,∠1=∠2,則AB=AC嗎?為什么思考:有兩個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否一定全等?如果兩個(gè)三角形中,有兩個(gè)角和一條邊分別相等,那么這兩個(gè)三角形是全等三角形.思考:“ASA”和“AAS”之間有什么關(guān)系?在證明兩個(gè)三角形全等過程中,“ASA”和“AAS”兩個(gè)判定是可以相互轉(zhuǎn)化的.知識(shí)點(diǎn)2“ASA”和“AAS”之間的區(qū)別與聯(lián)系新知探究你能總結(jié)一下“ASA”和“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系嗎?思考:有兩個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否一定全等?“ASA”和“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系A(chǔ)SA“S”的意義書寫格式聯(lián)系A(chǔ)SA“S”是兩角的夾邊把夾邊相等寫在兩角相等的中間由三角形的內(nèi)角和定理可知,“ASA”和“AAS”可以互相轉(zhuǎn)化AAS“S”是其中一角的對(duì)邊把兩角相等寫在一起,邊相等放在最后“ASA”和“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系A(chǔ)SA“S”的意義書寫格式例
如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△BOD全等嗎?請(qǐng)用兩種方法證明.解:△AOC和△BOD全等,理由如下:方法一∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴OA=OB.∵在△AOC和△BOD中,∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,BAODC跟蹤訓(xùn)練新知探究例如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△B例
如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△BOD全等嗎?請(qǐng)用兩種方法證明.∴∠A=∠B.在△AOC和△BOD中,
∠A=∠B,
OA=OB,
∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD(ASA).BAODC例如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△B方法二∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴OA=OB.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(AAS).例
如圖,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,則△AOC和△BOD全等嗎?請(qǐng)用兩種方法證明.∠C=∠D,
∠AOC=∠BOD,
OA=OB,BAODC方法二∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴OA=OB.例如圖,點(diǎn)1.已知,如圖,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn),AB=CE,AB//CD,∠ACB=∠D.求證:BC=ED.證明:∵AB//CD,∴∠A=∠ECD.
在△ACB和△CDE中,
∠ACB=∠D,
∠A=∠ECD,
AB=CE,∴△ACB≌△CDE(AAS).
∴BC=ED.ABECD隨堂練習(xí)1.已知,如圖,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn),AB=CE,AB//CD,2.如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一直線上,AB=DE,∠A=∠D,AC//DF.求證:(1)△ABC≌△DEF.(2)BE=CF.
證明:(1)∵AC//DF,∴∠ACB=∠F.在△ABC和△DEF中,
∠ACB=∠F,
∠A=∠D,
AB=DE,∴△ABC≌△DEF(AAS).ACDFBE2.如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一直線上,AB=DE,∠A(2)∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF.
∴BC-EC=EF-EC,即BE=CF.等邊加(減)等邊,其和(差)還是等邊,等角加(減)等角,其和(差)還是等角.ACDFBE2.如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一直線上,AB=DE,∠A=∠D,AC//DF.求證:(1)△ABC≌△DEF.(2)BE=CF.(2)∵△ABC≌△DEF,等邊加(減)等邊,其和(差
3.如圖,已知AD=BC,AC=BD.(1)求證:△ADB≌△BCA.(2)OA與OB相等嗎?若相等,請(qǐng)說明理由.證明:(1)∵在△ADB和△BCA中,
AD=BC,
AB=BA(公共邊),
BD=
AC,∴△ADB≌△BCA(SSS).
ACDBO3.如圖,已知AD=BC,AC=BD.證明:(1)∵在證明:(2)
OA與OB相等.理由如下:
由(1)得△ADB≌△BCA,∴∠D=∠C.
∠D=∠C,∵在△DOA和△COB中,∠DOA=∠COB,
AD=BC,∴△DOA≌△COB(AAS),∴OA=OB.
(2)OA與OB相等嗎?若相等,請(qǐng)說明理由.ACDBO證明:(2)OA與OB相等.理由如下:(2)OA與OB相三角形全等的判定AAS對(duì)比探究應(yīng)用兩角和其中一組角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等對(duì)比“ASA”和“AAS”的區(qū)別和聯(lián)系利用“AAS”解決實(shí)際問題課堂小結(jié)三角形全等的判定AAS對(duì)比應(yīng)用兩角和其中一組角的對(duì)邊分別相等
1.如圖,AB⊥CD,且AB=CD.E,F(xiàn)是AD上的兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,
BF=b,EF=c,則AD的長為()A.a+c
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