第四節(jié)曲線運動萬有引力與航天第4講

第4講萬有引力與航天一、開普勒行星運動定律1．開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．2．開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積．3．開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，表達式：eq\f(a3,T2)＝k.二、萬有引力定律1．公式：F＝eq\f(Gm1m2,R2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量．2．適用條件：只適用于質(zhì)點間的相互作用．3．理解(1)兩質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，也可用本定律來計算，其中r為兩球心間的距離．(2)一個質(zhì)量分布均勻的球體和球外一個質(zhì)點間的萬有引力的計算也適用，其中r為質(zhì)點到球心間的距離．[深度思考]1.如圖1所示的球體不是均勻球體，其中缺少了一規(guī)則球形部分，如何求球體剩余部分對質(zhì)點P的引力？圖1答案求球體剩余部分對質(zhì)點P的引力時，應(yīng)用“挖補法”，先將挖去的球補上，然后分別計算出補后的大球和挖去的小球?qū)|(zhì)點P的引力，最后再求二者之差就是陰影部分對質(zhì)點P的引力．2．兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大嗎？答案不是．當(dāng)兩物體無限接近時，不能再視為質(zhì)點．三、宇宙速度1．三個宇宙速度第一宇宙速度(環(huán)繞速度)v1＝7.9km/s，是人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度第二宇宙速度(脫離速度)v2＝11.2km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝16.7km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度2．第一宇宙速度的理解：人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，也是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度．3．第一宇宙速度的計算方法(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R)).(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR).1．判斷下列說法是否正確．(1)地面上的物體所受地球引力的大小均由F＝Geq\f(m1m2,r2)決定，其方向總是指向地心．(√)(2)只有天體之間才存在萬有引力．(×)(3)只要已知兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(Mm,R2)計算物體間的萬有引力．(×)(4)發(fā)射速度大于7.9km/s，小于11.2km/s時，人造衛(wèi)星圍繞地球做橢圓軌道運動．(√)2．(2016·全國Ⅲ卷·14)關(guān)于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律C．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律答案B3．靜止在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動．下列說法正確的是()A．物體受到的萬有引力和支持力的合力總是指向地心B．物體做勻速圓周運動的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等C．物體做勻速圓周運動的加速度等于重力加速度D．物體對地面壓力的方向與萬有引力的方向總是相同答案B4．(人教版必修2P48第3題)金星的半徑是地球的0.95倍，質(zhì)量為地球的0.82倍，金星表面的自由落體加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？答案8.9m/s27.3km/s解析根據(jù)星體表面忽略自轉(zhuǎn)影響，重力等于萬有引力知mg＝eq\f(GMm,R2)故eq\f(g金,g地)＝eq\f(M金,M地)×(eq\f(R地,R金))2金星表面的自由落體加速度g金＝g地×0.82×(eq\f(1,0.95))2m/s2＝8.9m/s2由萬有引力充當(dāng)向心力知eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))所以eq\f(v金,v地)＝eq\r(\f(M金,M地)×\f(R地,R金))＝eq\r(0.82×\f(1,0.95))≈0.93v金＝0.93×7.9km/s≈7.3km/s.命題點一萬有引力定律的理解和應(yīng)用1．地球表面的重力與萬有引力地面上的物體所受地球的吸引力產(chǎn)生兩個效果，其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力，另一個分力等于重力．(1)在兩極，向心力等于零，重力等于萬有引力；(2)除兩極外，物體的重力都比萬有引力??；(3)在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq\f(GMm,R2)－mRωeq\o\al(2,自).2．地球表面附近(脫離地面)的重力與萬有引力物體在地球表面附近(脫離地面)時，物體所受的重力等于地球表面處的萬有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，R為地球半徑，g為地球表面附近的重力加速度，此處也有GM＝gR2.3．距地面一定高度處的重力與萬有引力物體在距地面一定高度h處時，mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，R為地球半徑，g′為該高度處的重力加速度．例1(多選)如圖2所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積．下列關(guān)系式正確的有()圖2A．TA>TB B．EkA>EkBC．SA＝SB D.eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))答案AD解析由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)＝meq\f(4π2,T2)R和Ek＝eq\f(1,2)mv2可得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，Ek＝eq\f(GMm,2R)，因RA>RB，則TA>TB，EkA<EkB，A對，B錯；由開普勒定律可知，C錯，D對．例2由中國科學(xué)院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體．“蛟龍”下潛深度為d，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度之比為()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f(R－d2,R＋h2)C.eq\f(R－dR＋h2,R3) D.eq\f(R－dR＋h,R2)把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體．答案C解析令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g＝Geq\f(M,R2).由于地球的質(zhì)量為：M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表達式可寫成：g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR.根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴钡闹亓铀俣萭′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)．所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R).根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma，“天宮一號”的加速度為a＝eq\f(GM,R＋h2)，所以eq\f(a,g)＝eq\f(R2,R＋h2)，eq\f(g′,a)＝eq\f(R－dR＋h2,R3)，故C正確，A、B、D錯誤．萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”1．兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力．2．地球上的物體受到的重力只是萬有引力的一個分力．3．萬有引力的兩個有用推論(1)推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即ΣF引＝0.(2)推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).1．(2015·海南單科·6)若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶eq\r(7)，已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R.由此可知，該行星的半徑約為()A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)R C．2R D.eq\f(\r(7),2)R答案C解析平拋運動在水平方向上為勻速直線運動，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運動，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，兩種情況下，拋出的速率相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(x\o\al(2,地),x\o\al(2,行))＝eq\f(7,4)，根據(jù)公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得R2＝eq\f(GM,g)，故eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f(M行,M地)·\f(g地,g行))＝2，解得R行＝2R，故C正確．2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的(忽略其自轉(zhuǎn)影響)()A.eq\f(1,4) B．4倍C．16倍 D．64倍答案D解析天體表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，又知ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3M,4πR3)，所以M＝eq\f(9g3,16π2ρ2G3)，故eq\f(M星,M地)＝(eq\f(g星,g地))3＝64.命題點二天體質(zhì)量和密度的估算天體質(zhì)量和密度常用的估算方法使用方法已知量利用公式表達式備注質(zhì)量的計算利用運行天體r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天體的質(zhì)量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的計算利用運行天體r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當(dāng)r＝R時ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地衛(wèi)星只需測出其運行周期利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)例3(多選)公元2100年，航天員準(zhǔn)備登陸木星，為了更準(zhǔn)確了解木星的一些信息，到木星之前做一些科學(xué)實驗，當(dāng)?shù)竭_與木星表面相對靜止時，航天員對木星表面發(fā)射一束激光，經(jīng)過時間t，收到激光傳回的信號，測得相鄰兩次看到日出的時間間隔是T，測得航天員所在航天器的速度為v，已知引力常量G，激光的速度為c，則()A．木星的質(zhì)量M＝eq\f(v3T,2πG)B．木星的質(zhì)量M＝eq\f(π2c3t3,2GT2)C．木星的質(zhì)量M＝eq\f(4π2c3t3,GT2)D．根據(jù)題目所給條件，可以求出木星的密度區(qū)分兩個時間t、T的區(qū)別．答案AD解析航天器的軌道半徑r＝eq\f(vT,2π)，木星的半徑R＝eq\f(vT,2π)－eq\f(ct,2)，木星的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(v3T,2πG)；知道木星的質(zhì)量和半徑，可以求出木星的密度，故A、D正確，B、C錯誤．計算中心天體的質(zhì)量、密度時的兩點區(qū)別1．天體半徑和衛(wèi)星的軌道半徑通常把天體看成一個球體，天體的半徑指的是球體的半徑．衛(wèi)星的軌道半徑指的是衛(wèi)星圍繞天體做圓周運動的圓的半徑．衛(wèi)星的軌道半徑大于等于天體的半徑．2．自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期自轉(zhuǎn)周期是指天體繞自身某軸線運動一周所用的時間，公轉(zhuǎn)周期是指衛(wèi)星繞中心天體做圓周運動一周所用的時間．自轉(zhuǎn)周期與公轉(zhuǎn)周期一般不相等．3．過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的eq\f(1,20)，該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為()A.eq\f(1,10) B．1 C．5 D．10答案B解析根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比為eq\f(M恒,M太)＝eq\f(r\o\al(3,行)T\o\al(2,地),r\o\al(3,地)T\o\al(2,行))＝(eq\f(1,20))3×(eq\f(365,4))2≈1，故選項B正確．4．據(jù)報道，天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的a倍，質(zhì)量是地球的b倍．已知近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為T，引力常量為G.則該行星的平均密度為()A.eq\f(3π,GT2) B.eq\f(π,3T2) C.eq\f(3πb,aGT2) D.eq\f(3πa,bGT2)答案C解析萬有引力提供近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力：Geq\f(M地m,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，且ρ地＝eq\f(3M地,4πR3)，由以上兩式得ρ地＝eq\f(3π,GT2).而eq\f(ρ星,ρ地)＝eq\f(M星V地,V星M地)＝eq\f(b,a)，因而ρ星＝eq\f(3πb,aGT2).命題點三衛(wèi)星運行參量的比較與計算1．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律2．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋．(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心．例4(多選)(2015·天津理綜·8)P1、P2為相距遙遠的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛(wèi)星s1、s2做勻速圓周運動．圖3中縱坐標(biāo)表示行星對周圍空間各處物體的引力產(chǎn)生的加速度a，橫坐標(biāo)表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P1、P2周圍的a與r2的反比關(guān)系，它們左端點橫坐標(biāo)相同．則()圖3A．P1的平均密度比P2的大B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大D．s1的公轉(zhuǎn)周期比s2的大①a與r2成反比；②它們左端點橫坐標(biāo)相同．答案AC解析由題圖可知兩行星半徑相同，則體積相同，由a＝Geq\f(M,r2)可知P1質(zhì)量大于P2，則P1密度大于P2，故A正確；第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，所以P1的“第一宇宙速度”大于P2，故B錯誤；衛(wèi)星的向心加速度為a＝eq\f(GM,R＋h2)，所以s1的向心加速度大于s2，故C正確；由eq\f(GMm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得T＝eq\r(\f(4π2R＋h3,GM))，故s1的公轉(zhuǎn)周期比s2的小，故D錯誤．利用萬有引力定律解決衛(wèi)星運動的技巧1．一個模型天體(包括衛(wèi)星)的運動可簡化為質(zhì)點的勻速圓周運動模型．2．兩組公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝mamg＝eq\f(GMm,R2)(g為天體表面處的重力加速度)3．a(chǎn)、v、ω、T均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由軌道半徑和中心天體質(zhì)量共同決定，所有參量的比較，最終歸結(jié)到半徑的比較．5．如圖4，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是()圖4A．甲的向心加速度比乙的小B．甲的運行周期比乙的小C．甲的角速度比乙的大D．甲的線速度比乙的大答案A解析由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝ma＝meq\f(4π2,T2)r，變形得：a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，只有周期T和M成減函數(shù)關(guān)系，而a、v、ω和M成增函數(shù)關(guān)系，故選A.6．(多選)據(jù)天文學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，月球正在以每年3.8cm的“速度”遠離地球，地月之間的距離從“剛開始”的約2×104km拉大到目前的約38×104km,100萬年前的古人類看到的月球大小是現(xiàn)在的15倍左右，隨著時間推移，月球還會“走”很遠，最終離開地球的“視線”，假設(shè)地球和月球的質(zhì)量不變，不考慮其他星球?qū)Α暗亍隆毕到y(tǒng)的影響，已知月球環(huán)繞地球運動的周期為27d(天)，eq\r(19)＝4.36，eq\r(15)＝3.87，以下說法正確的是()A．隨著時間的推移，月球在離開地球“視線”之前的重力勢能會緩慢增大B．月球“剛開始”環(huán)繞地球運動的線速度大小約為目前的15倍C．月球“剛開始”環(huán)繞地球運動的周期約為8hD．月球目前的向心加速度約為“剛開始”的eq\f(1,225)倍答案AC解析月球在離開地球“視線”之前要克服萬有引力做功，所以重力勢能會緩慢增大，A正確．根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以剛開始時v′＝eq\r(\f(38×104,2×104))v＝4.36v，B錯誤．根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，所以剛開始時T′＝eq\f(1,19\r(19))T＝eq\f(27×24,19\r(19))h≈8h，故C正確．根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力得eq\f(GMm,r2)＝ma，所以目前的向心加速度為a＝eq\f(r′2,r2)a′＝eq\f(1,361)a′，D錯誤．命題點四衛(wèi)星變軌問題分析1．速度：如圖5所示，設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB.在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.圖52．加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同．3．周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3.4．機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，則E1<E2<E3.例5(2016·天津理綜·3改編)如圖6所示，我國發(fā)射的“天宮二號”空間實驗室已與“神舟十一號”飛船完成對接．假設(shè)“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是()圖6A．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接B．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接C．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接D．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接答案C解析若使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速，所需向心力變大，則飛船將脫離原軌道而進入更高的軌道，不能實現(xiàn)對接，選項A錯誤；若使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速，所需向心力變小，則空間實驗室將脫離原軌道而進入更低的軌道，不能實現(xiàn)對接，選項B錯誤；要想實現(xiàn)對接，可使飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，然后飛船將進入較高的空間實驗室軌道，逐漸靠近空間實驗室后，兩者速度接近時實現(xiàn)對接，選項C正確；若飛船在比空間實驗室半徑較小的軌道上減速，則飛船將進入更低的軌道，不能實現(xiàn)對接，選項D錯誤．7．嫦娥三號攜帶有一臺無人月球車，重3噸多，是當(dāng)時我國設(shè)計的最復(fù)雜的航天器．如圖7所示為其飛行軌道示意圖，則下列說法正確的是()圖7A．嫦娥三號的發(fā)射速度應(yīng)該大于11.2km/sB．嫦娥三號在環(huán)月軌道1上P點的加速度大于在環(huán)月軌道2上P點的加速度C．嫦娥三號在環(huán)月軌道2上運行周期比在環(huán)月軌道1上運行周期小D．嫦娥三號在動力下降段中一直處于完全失重狀態(tài)答案C解析在地球表面發(fā)射衛(wèi)星的速度大于11.2km/s時，衛(wèi)星將脫離地球束縛，繞太陽運動，故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，由此可知在環(huán)月軌道2上經(jīng)過P的加速度等于在環(huán)月軌道1上經(jīng)過P的加速度，故B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，由此可知，軌道半徑越小，周期越小，故嫦娥三號在環(huán)月軌道2上運行周期比在環(huán)月軌道1上運行周期小，故C正確；嫦娥三號在動力下降段中，除了受到重力還受到動力，故不是完全失重狀態(tài)，故D錯誤．8．(多選)某航天飛機在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的一點，如圖8所示．關(guān)于航天飛機的運動，下列說法中正確的有()圖8A．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于經(jīng)過B的速度B．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的動能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的動能C．在軌道Ⅱ上運動的周期小于在軌道Ⅰ上運動的周期D．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度答案ABC解析軌道Ⅱ為橢圓軌道，根據(jù)開普勒第二定律，航天飛機與地球的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等，可知近地點的速度大于遠地點的速度，故A正確．根據(jù)開普勒第三定律，航天飛機在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上滿足eq\f(R3,T\o\al(2,Ⅰ))＝eq\f(a3,T\o\al(2,Ⅱ))，又R>a，可知TⅠ>TⅡ，故C正確．航天飛機在A點變軌時，主動減小速度，所需要的向心力小于此時的萬有引力，做近心運動，從軌道Ⅰ變換到軌道Ⅱ，又Ek＝eq\f(1,2)mv2，故B正確．無論在軌道Ⅰ上還是在軌道Ⅱ上，A點到地球的距離不變，航天飛機受到的萬有引力一樣，由牛頓第二定律可知向心加速度相同，故D錯誤.“嫦娥”探月發(fā)射過程的“四大步”一、探測器的發(fā)射典例1我國已于2013年12月2日凌晨1∶30分使用長征三號乙運載火箭成功發(fā)射“嫦娥三號”．火箭加速是通過噴氣發(fā)動機向后噴氣實現(xiàn)的．設(shè)運載火箭和“嫦娥三號”的總質(zhì)量為M，地面附近的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G.(1)用題給物理量表示地球的質(zhì)量．(2)假設(shè)在“嫦娥三號”艙內(nèi)有一平臺，平臺上放有測試儀器，儀器對平臺的壓力可通過監(jiān)控裝置傳送到地面．火箭從地面發(fā)射后以加速度eq\f(g,2)豎直向上做勻加速直線運動，升到某一高度時，地面監(jiān)控器顯示“嫦娥三號”艙內(nèi)測試儀器對平臺的壓力為發(fā)射前壓力的eq\f(17,18)，求此時火箭離地面的高度．答案見解析解析(1)在地面附近，mg＝Geq\f(M地m,R2)，解得：M地＝eq\f(gR2,G).(2)設(shè)此時火箭離地面的高度為h，選儀器為研究對象，設(shè)儀器質(zhì)量為m0，火箭發(fā)射前，儀器對平臺的壓力F0＝Geq\f(M地m0,R2)＝m0g.在距地面的高度為h時，儀器所受的萬有引力為F＝Geq\f(M地m0,R＋h2)設(shè)在距離地面的高度為h時，平臺對儀器的支持力為F1，根據(jù)題述和牛頓第三定律得，F(xiàn)1＝eq\f(17,18)F0由牛頓第二定律得，F(xiàn)1－F＝m0a，a＝eq\f(g,2)聯(lián)立解得：h＝eq\f(R,2)二、地月轉(zhuǎn)移典例2(多選)如圖9是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖，在地月轉(zhuǎn)移段，若不計其他星體的影響，關(guān)閉發(fā)動機后，下列說法正確的是()圖9A．“嫦娥三號”飛行速度一定越來越小B．“嫦娥三號”的動能可能增大C．“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和一定不變D．“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和可能增大答案AC解析在地月轉(zhuǎn)移段“嫦娥三號”所受地球和月球的引力之和指向地球，關(guān)閉發(fā)動機后，“嫦娥三號”向月球飛行，要克服引力做功，動能一定減小，速度一定減小，選項A正確，B錯誤．關(guān)閉發(fā)動機后，只有萬有引力做功，“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和一定不變，選項C正確，D錯誤．三、繞月飛行典例3(多選)典例2的題圖是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖．假設(shè)“嫦娥三號”運行經(jīng)過P點第一次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道Ⅰ上運動，再次經(jīng)過P點時第二次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面近地點為Q、高度為15km，遠地點為P、高度為100km的橢圓軌道Ⅱ上運動，下列說法正確的是()A．“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道Ⅰ上運動時速度大小可能變化B．“嫦娥三號”在距離月面高度100km的圓軌道Ⅰ上運動的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運動的周期C．“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的加速度一定大于經(jīng)過P點時的加速度D．“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的速度可能小于經(jīng)過P點時的速度答案BC解析“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道上運動是勻速圓周運動，速度大小不變，選項A錯誤．由于圓軌道的軌道半徑大于橢圓軌道半長軸，根據(jù)開普勒定律，“嫦娥三號”在距離月面高度100km的圓軌道Ⅰ上運動的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運動的周期，選項B正確．由于在Q點“嫦娥三號”所受萬有引力大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的加速度一定大于經(jīng)過P點時的加速度，選項C正確．“嫦娥三號”在橢圓軌道上運動的引力勢能和動能之和保持不變，Q點的引力勢能小于P點的引力勢能，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動到Q點的動能較大，速度較大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的速度一定大于經(jīng)過P點時的速度，選項D錯誤．四、探測器著陸典例4“嫦娥三號”探測器著陸是從15km的高度開始的，由著陸器和“玉兔”號月球車組成的“嫦娥三號”月球探測器總重約3.8t．主減速段開啟的反推力發(fā)動機最大推力為7500N，不考慮月球和其他天體的影響，月球表面附近重力加速度約為1.6m/s2，“嫦娥三號”探測器在1s內(nèi)()A．速度增加約2m/s B．速度減小約2m/sC．速度增加約0.37m/s D．速度減小約0.37m/s答案B解析根據(jù)題述，不考慮月球和其他天體的影響，也就是不考慮重力，由牛頓第二定律，－F＝ma，解得a≈－2m/s2，根據(jù)加速度的意義可知“嫦娥三號”探測器在1s內(nèi)速度減小約2m/s，選項B正確．題組1萬有引力定律的理解與應(yīng)用1．關(guān)于行星運動定律和萬有引力定律的建立過程，下列說法正確的是()A．第谷通過整理大量的天文觀測數(shù)據(jù)得到行星運動規(guī)律B．開普勒指出，地球繞太陽運動是因為受到來自太陽的引力C．牛頓通過比較月球公轉(zhuǎn)的向心加速度和地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，對萬有引力定律進行了“月地檢驗”D．卡文迪許在實驗室里通過幾個鉛球之間萬有引力的測量，得出了引力常量的數(shù)值答案D2．理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零．現(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球體，O為球心，以O(shè)為原點建立坐標(biāo)軸Ox，如圖1所示．一個質(zhì)量一定的小物體(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則選項所示的四個F隨x變化的關(guān)系圖中正確的是()圖1答案A解析因為質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零，則在距離球心x處(x≤R)物體所受的引力為F＝eq\f(GM1m,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πx3ρ·m,x2)＝eq\f(4,3)Gπρmx∝x，故F－x圖線是過原點的直線；當(dāng)x>R時，F(xiàn)＝eq\f(GMm,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πR3ρ·m,x2)＝eq\f(4GπρmR3,3x2)∝eq\f(1,x2)，故選項A正確．3．一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A.eq\f(mv2,GN) B.eq\f(mv4,GN) C.eq\f(Nv2,Gm) D.eq\f(Nv4,Gm)答案B解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m′由萬有引力提供向心力，得Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v2,R) ①m′eq\f(v2,R)＝m′g ②由已知條件：m的重力為N得N＝mg ③由③得g＝eq\f(N,m)，代入②得：R＝eq\f(mv2,N)代入①得M＝eq\f(mv4,GN)，故A、C、D錯誤，B項正確．4．(多選)(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ·21)我國發(fā)射的“嫦娥三號”登月探測器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運行；然后經(jīng)過一系列過程，在離月面4m高處做一次懸停(可認為是相對于月球靜止)；最后關(guān)閉發(fā)動機，探測器自由下落．已知探測器的質(zhì)量約為1.3×103kg，地球質(zhì)量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小約為9.8m/s2.則此探測器()A．在著陸前的瞬間，速度大小約為8.9m/sB．懸停時受到的反沖作用力約為2×103NC．從離開近月圓軌道到著陸這段時間內(nèi)，機械能守恒D．在近月圓軌道上運行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的線速度答案BD解析在星球表面有eq\f(GMm,R2)＝mg，所以重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，地球表面g＝eq\f(GM,R2)＝9.8m/s2，則月球表面g′＝eq\f(G\f(1,81)M,\f(1,3.7)R2)＝eq\f(3.7×3.7,81)×eq\f(GM,R2)≈eq\f(1,6)g，則探測器重力G＝mg′＝1300×eq\f(1,6)×9.8N≈2×103N，選項B正確；探測器做自由落體運動，末速度v＝eq\r(2g′h)≈eq\r(\f(4,3)×9.8)m/s≈3.6m/s，選項A錯誤；關(guān)閉發(fā)動機后，僅在月球引力作用下機械能守恒，而離開近月軌道后還有制動懸停，所以機械能不守恒，選項C錯誤；在近月圓軌道運動時萬有引力提供向心力，有eq\f(GM′m,R′2)＝eq\f(mv2,R′)，所以v＝eq\r(\f(G\f(1,81)M,\f(1,3.7)R))＝eq\r(\f(3.7GM,81R))＜eq\r(\f(GM,R))，即在近月圓軌道上運行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的線速度，選項D正確．題組2中心天體質(zhì)量和密度的估算5．一衛(wèi)星繞火星表面附近做勻速圓周運動，其繞行的周期為T.假設(shè)宇航員在火星表面以初速度v水平拋出一小球，經(jīng)過時間t恰好垂直打在傾角α＝30°的斜面體上，如圖2所示．已知引力常量為G，則火星的質(zhì)量為()圖2A.eq\f(3v3T4,16Gt3π4) B.eq\f(3\r(3)v3T4,16Gt3π4)C.eq\f(3v2T4,16Gt3π4) D.eq\f(3\r(3)v2T4,16Gt3π4)答案B解析以M表示火星的質(zhì)量，r0表示火星的半徑，g′表示火星表面附近的重力加速度，火星對衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r\o\al(2,0))＝m(eq\f(2π,T))2r0，在火星表面有Geq\f(Mm′,r\o\al(2,0))＝m′g′；平拋小球速度的偏轉(zhuǎn)角為60°，tan60°＝eq\f(g′t,v)，聯(lián)立以上各式解得M＝eq\f(3\r(3)v3T4,16Gt3π4)，B正確．6．(2014·新課標(biāo)全國Ⅱ·18)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G.地球的密度為()A.eq\f(3πg(shù)0－g,GT2g0) B.eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3πg(shù)0,GT2g)答案B解析物體在地球的兩極時，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物體在赤道上時，mg＋m(eq\f(2π,T))2R＝Geq\f(Mm,R2)，又V＝eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立以上三式解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g).故選項B正確，選項A、C、D錯誤．7．(多選)如圖3所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是()圖3A．軌道半徑越大，周期越長B．軌道半徑越大，速度越大C．若測得周期和張角，可得到星球的平均密度D．若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度答案AC解析設(shè)星球質(zhì)量為M，半徑為R，飛行器繞星球轉(zhuǎn)動半徑為r，周期為T.由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大，選項A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小，選項B錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r和ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)，又eq\f(R,r)＝sineq\f(θ,2)，所以ρ＝eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))，所以選項C正確，D錯誤．8．我國月球探測計劃“嫦娥工程”已經(jīng)啟動，科學(xué)家對月球的探索會越來越深入．(1)若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，試求出月球繞地球運動的軌道半徑．(2)若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面高度為h的某處以速度v0水平拋出一個小球，小球飛出的水平距離為x.已知月球半徑為R月，引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M月．答案(1)eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))(2)eq\f(2hv\o\al(2,0)R\o\al(2,月),Gx2)解析(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力定律及向心力公式得Geq\f(MM月,r2)＝M月(eq\f(2π,T))2r，Geq\f(Mm,R2)＝mg聯(lián)立解得r＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))(2)設(shè)月球表面處的重力加速度為g月，小球飛行時間為t，根據(jù)題意得x＝v0t，h＝eq\f(1,2)g月t2Geq\f(M月m′,R\o\al(2,月))＝m′g月聯(lián)立解得M月＝eq\f(2hv\o\al(2,0)R\o\al(2,月),Gx2).題組3衛(wèi)星運行參量的比較和計算9．(多選)2011年中俄聯(lián)合實施探測火星計劃，由中國負責(zé)研制的“螢火一號”火星探測器與俄羅斯研制的“福布斯—土壤”火星探測器一起由俄羅斯“天頂”運載火箭發(fā)射前往火星．已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2).下列關(guān)于火星探測器的說法中正確的是()A．發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B．發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以C．發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D．火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度為地球第一宇宙速度的eq\f(\r(2),3)答案CD解析根據(jù)三個宇宙速度的意義，可知選項A、B錯誤，選項C正確；已知M火＝eq\f(M地,9)，R火＝eq\f(R地,2)，則eq\f(vm,v1)＝eq\r(\f(GM火,R火))∶eq\r(\f(GM地,R地))＝eq\f(\r(2),3).10．(多選)(2015·廣東理綜·20)在星球表面發(fā)射探測器，當(dāng)發(fā)射速度為v時，探測器可繞星球表面做勻速圓周運動；當(dāng)發(fā)射速度達到eq\r(2)v時，可擺脫星球引力束縛脫離該星球．已知地球、火星兩星球的質(zhì)量比約為10∶1，半徑比約為2∶1，下列說法正確的有()A．探測器的質(zhì)量越大，脫離星球所需要的發(fā)射速度越大B．探測器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C．探測器分別脫離兩星球所需要的發(fā)射速度相等D．探測器脫離星球的過程中，勢能逐漸增大答案BD解析由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，所以eq\r(2)v＝eq\r(2)×eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(2GM,R))，所以探測器脫離星球的發(fā)射速度與探測器的質(zhì)量無