武漢大學(xué)20162017學(xué)年第一學(xué)期末《高等數(shù)學(xué)C1》試卷(A卷)

武漢大學(xué)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期末《高等數(shù)學(xué)C1》試卷(A卷)一.計算limn[ln(n+2)-lnn].(7分)n→∞√√√二.計算limx-√a+x-a.(7分)x→a+x2-a2x2+ax+b,x/=1一.設(shè)f(x)=(x-1)(x+2),求a,b使得函數(shù)f(x)在x=1處連2,x=1續(xù).(7分)√√四.若y=x2+x-1-x2-2x+3,求dy.(7分).設(shè)y=y(x)由方程y2+lny2=x6確立,求ddxy.六.設(shè)y=arctan1+x,求yII.(7分)1-x七.求函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值.(8分)J1+cos2xdx.(7分)八.計算1+cos2xJ1dx.(7分)√2+x+1九.計算lncosx.計算cos2xdx.(7分)十一.設(shè)f(x)=xarctan1+Jxet2dt,求fI(1).(7分)x1十二.計算0J1(√1+x2）dx.(7分)1+x+2x十一.設(shè)0<a<b,f(x)在[a,b]上可導(dǎo),證明存在ξ,使得f(b)-f(a)=Ib.(7分)ξf(ξ)lna十四.設(shè)有一塊邊長為a的正方形鐵皮,從四個角截去相同在的小方塊,做成一個無蓋的方盒子,問小方塊邊長為多少時才能使盒子的容積最大?最大的容積為多少?(8分)武漢大學(xué)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期末《高等數(shù)學(xué)C1》試卷(A卷)答案一.計算limn[ln(n+2)-lnn].(7分)n→∞解.limn[ln(n+2)lnn]nln(1+2分)=2n]2分).)(2ln[(1)2=2(5n→∞-=limlimnn→∞+nn→∞二.計算lim√√√x-√a+x-a.(7分)x→a+x2-a2解.√√√ax-a+x-li√22=lim[?xm→a+x-ax→a+x-a

√√√x-ax-a](2分)?+(x-a√)(x+a)(x-a)(x+a)x-a=lim+[?√√+?]x→a(x-a)(x+a)(x+a)(x-a)(x+a)√1.(5分)2ax2+ax+b(x-1)(x+2),x/=1三.設(shè)f(x)=,求a,b使得函數(shù)f(x)在x=1處連2,x=1續(xù).(7分)解.由lim(x-1)(x+2)=0,1+a+b=0,a=-b-1(3分).又由x2-x→1(x-1)(x-b)=1-b=2得,b=-5.(b+1)x+b=(x-1)(x-b)及l(fā)imx→1(x-1)(x+2)1+2由此,a=4(4分).√√四.若y=x2+x-1-x2-2x+3,求dy.(7分)解.由yl2x+1-√x-12x+1-√x-1]dx.(2分)=√(5分),dy=[√2x2+x-1x2-2x+32x2+x-1x2-2x+3.設(shè)y=y(x)由方程y2+lny2=x6確立,求ddxy.解.方程兩邊同時對x求導(dǎo)得,2yyl+2yl=6x5(5分).故dy=3x5y(2分).ydxy2+1六.設(shè)y=arctan1+x,求yll.(7分)1-x解.1+1+x21-x+1+x=1(4分),yl=1-x(1-x)(1-x)2+(1+x)21+x21+(1+x)2=(1-x)2yll=-2x.(3分)(1+x2)2七.求函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值.(8分)解.由fl(x)=5x4-20x3+15x2=5x2(x-1)(x-3),函數(shù)在區(qū)間[-1,2]有駐點x=0,x=1(4分).又f(-1)=-10,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=-7,函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為f(1)=2,最小值為f(-1)=-10(4分).J1+cos2x分)八.計算dx.(71+cos2x解.r1+cos2xdx=1+cos2x=.計

r1+cos2x2cos2xdx11(+1)dx=2cos2x

(3分)tanxx(4分)++C.22J1dx.(7分)算√2+x+1解√x+1,則x=t2-1,dx=2tdt(3分),.令t=r12+r2t√dx=dt=2t-4ln|2+t|+Cx+12+√t√=2x+1-4ln|2+x+1|+C.(4分)Jlncosx分)十.計算dx.(7cos2x解.rrlncosxrlncosxdtanx=tanxlncosxtanxdlncosx(3分)dx=cos2x-r=tanxlncosx+tan2xdx=tanxlncosr11)dxx+(cos2x-=tanxlncosx+tanx-x+C.(4分)十一.設(shè)f(x)=xarctan1+解.由fl(x)=arctanx1-x

Jx2dt,求fl(1).(7分)1x+etex2(5分),fl(1)=π-1+e(2分).1+x242十二.計算J1(√2x1+x+01+x2

）dx.(7分)解.r1(2x'21111√1+x2dx=3(1++ln(10(501+x+0+√3212分)4x)2x)12=3-3+ln2.(2分)十三.設(shè)0<a<b,f(x)在[a,b]上可導(dǎo),證明存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=ξfl(ξ)lnba.(7分)證.令g(x)=lnx,則函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上知足Cauch中值定理的條件(3分).故存在ξ∈(a,b)使得f(b)-f(a)fl(ξ)=fl(ξ).=gl(ξ)1g(b)-g(a)ξlb即有f(b)-f(a)=ξf(4分).(ξ)lna十四.設(shè)有一塊邊長為

a的正方形鐵皮

從四個角截去相同在的小方塊做成一個無蓋的方盒子

,

問小方塊邊長為多少時才能使盒子的容積最大

?最大的容積為多少

?(8

分)解.

設(shè)小正方