華師統(tǒng)計與概率

第1章隨機事件與概率一、基本概念概率論研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。1．事件的運算及關系事件的并A∪B=“兩事件A與B中至少有一件發(fā)生”。事件的交A∩B=AB=“兩事件A與B都發(fā)生”。=“n個事件中至少有一件發(fā)生”；=“n個事件都發(fā)生”。事件的運算規(guī)律

（1）交換律：，；

（2）結合律：，；（3）分配律：，；（4）對偶律：，。；.包含若事件A的發(fā)生必然導致事件B的發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記為。相等當事件B包含事件A且事件A也包含事件B時，則稱事件A與B相等,記為A=B?；ゲ幌嗳荩ɑコ猓┤魞墒录嗀與B不可能同時發(fā)生，即AB=φ，則稱事件A與B互不相容。對立若兩事件A與B互不相容，且它們的并是必然事件，即A∪B=Ω，AB=φ，則稱A與B互為對立事件，記為或。獨立稱A與B相互獨立，如果P(AB)=P(A)P(B)。注意兩事件互不相容、對立與獨立之間的關系。2．概率與條件概率隨機事件發(fā)生的可能性大小稱為隨機事件的概率.條件概率是指事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作。定義設，則在事件B已發(fā)生的條件下,事件A的條件概率定義為。二、基本方法1．頻率方法（統(tǒng)計方法）獨立重復試驗n次，當n充分大時，可把事件A出現(xiàn)的頻率作為A的概率P(A)的近似值。伯努利大數(shù)定律.doc2．古典概型（１）樣本空間只包含有限個不同的基本事件;（２）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.在古典概型中，如果基本事件總數(shù)為N，事件A所包含的基本事件數(shù)為M（），則。3．伯努利概型將一試驗獨立重復n次，這一系列試驗稱為n重伯努利概型（獨立試驗序列）。設每次試驗中事件A的概率為p(0<p<1)，則在n重伯努利概型中事件A恰好發(fā)生m次的概率為(m=0,1,2,…,n)。三、基本公式1．加法公式：注：如果AB=φ，。。2．乘法公式：，如果。注：當P(AB)不容易直接得到時，可考慮利用乘法公式間接求得。3．全概率公式：，如果，（）。注：一個結果有許多原因，求結果發(fā)生的可能性可嘗試用全概率公式。4．Bayes公式：，如果，（）。注：知道結果找原因，用Bayes公式。

典型例題例1.1設，，將下列四個數(shù)：，，，按由小到大的順序排列，用符號連接，并指出在什么情況下等式成立。解因為，所以。又，故。于是。當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時。例1.2在N個產(chǎn)品中有M個次品。從中任取n個產(chǎn)品，試分別在無放回抽樣和有放回抽樣的條件下求取得的n個產(chǎn)品中恰有m個次品的概率。解(1)無放回抽樣:這是古典概型；基本事件總數(shù)為，取出的n個產(chǎn)品中恰有m個次品所包含的基本事件數(shù)為，故所求概率為。(2)有放回抽樣:這是伯努利概型；任取1個產(chǎn)品，恰為次品的概率為，故所求概率為。例1.3用甲胎蛋白法診斷肝癌，靈敏度（即癌癥患者檢測結果呈陽性的概率）是95%、特異度（即正常人檢測結果呈陰性的概率）是90%。如果在例行檢查（譬如單位每年一度的體檢）中，某人的檢驗結果是陽性，試問：他應該沮喪到什么程度？答案是令人驚訝的，他甚至應該保持謹慎樂觀的態(tài)度。為什么呢？我們只須計算出檢驗結果是陽性的條件下他患肝癌的概率就可以了。令A={檢測結果是陽性}，B={他患肝癌}，則?，F(xiàn)在已知的只是癌癥患者檢測結果呈陽性的概率和正常人檢測結果呈陰性的概率，為了利用Bayes公式計算檢驗結果是陽性的條件下他患肝癌的（后驗）概率，還需要知道人群中肝癌的罹患率。根據(jù)廣州市近年來的調查資料，我們可以假設人群的肝癌發(fā)病率大約為0.04%，即，則由Bayes公式得到他患肝癌的條件概率為。這么小的概率自然不值得他擔心。第2章隨機變量及其分布一、隨機變量及其分布1．分布函數(shù)：，。注：概率計算公式：，其中實數(shù)；2．聯(lián)合分布函數(shù)：，.

注：（1）的邊緣分布函數(shù)為；的邊緣分布函數(shù)為.（2）稱隨機變量與獨立，如果，.二、離散型隨機變量1．分布列：，。注：分布列的性質：(i)

；(ii)

．2．聯(lián)合分布列：，i=1,2,…,m…；j=1,2,…n,…。注：（1）聯(lián)合分布列的性質：(i)

；（ii）.（2）的邊緣分布列為，i=1,2,…,m…。的邊緣分布列為，j=1,2,…n,…。（3）與獨立的充要條件是，i=1,2,…,m…，j=1,2,…n,…。3．常用離散型隨機變量的分布列（1）“0-1”分布：，。例．拋擲一枚均勻硬幣，則徽花向上的次數(shù)X服從參數(shù)為1/2的“0-1”分布。（2）幾何分布：，。例．某種定期獎券中獎率為p(0<p<1)。某人每次購買一張；如沒有中獎，下次再繼續(xù)購買一張，直到中獎為止，則該人所需購買次數(shù)X服從幾何分布．（3）超幾何分布：，。例．一批產(chǎn)品共N件，其中次品M件，進行不放回抽樣檢查（每次從中任取一件，取出的產(chǎn)品不再放回去），連續(xù)取n次，則取出的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)X服從超幾何分布。（4）二項分布：，。例．一批產(chǎn)品共N件，其中次品M件，進行放回抽樣檢查（每次從中任取一件，取出的產(chǎn)品檢查質量后仍放回去），連續(xù)取n次，則取出的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)X服從二項分布，其中。（5）泊松分布：，。例．泊松分布常見于稠密性的問題中，如一段時間內電話用戶對電話站的呼喚次數(shù)、候車的旅客數(shù)、原子放射粒子數(shù)，都服從或近似服從泊松分布．

定理1當時，超幾何分布趨近于二項分布。定理1指出，當N充分大時，二項分布是超幾何分布的近似分布．事實上，當一批產(chǎn)品的總數(shù)N很大，而抽取的樣品數(shù)n遠較N為小()時，不放回抽樣與放回抽樣沒有多大差別．

定理2當時，二項分布趨近于泊松分布，其中．定理2指出，當n充分大時，泊松分布是二項分布的近似分布；但只有當p的值很小()時，用泊松分布取代二項分布所產(chǎn)生的誤差才較小．三、連續(xù)型隨機變量1．概率密度：。注：（1）。（2）概率密度的性質：（i）；（ii）。（3）概率計算公式：。2.聯(lián)合概率密度：。注：（1）。（2）聯(lián)合概率密度的性質：（i）；（ii）。（3）概率計算公式：。（4）的邊緣概率密度為.的邊緣概率密度為.（5）與獨立的充要條件是，。3．常用連續(xù)型變量及其概率密度：

1）上的均勻分布（）：可描述“四舍五入”原則下的誤差；每隔一定時間發(fā)車一部的車站乘客的候車時間。2）指數(shù)分布（）：可描述電子元件、動物的壽命；排隊的服務時間。

典型例題例2.1設連續(xù)隨機變量X的概率密度為：，求：（1）常數(shù)；（2）X落在區(qū)間內的概率。[解]（1）由概率密度的性質，有，故。（2）由概率計算公式知，所求概率為。例2.2已知2007年廣東省高考文科報考人數(shù)是24.7萬人，本科計劃招生5.8萬人，本科錄取率為23.4%。如果廣東省高考文科總分服從正態(tài)分布，試問最低控制分數(shù)線應是多少，才能使得高校在錄取新生時有多10%的選擇機會？[解]設最低控制分數(shù)線為m，要使得高校在錄取新生時有多10%的選擇機會，只須

第三章隨機變量的數(shù)字特征一、數(shù)學期望1.離散隨機變量的數(shù)學期望：.要求級數(shù)絕對收斂，使其和與各項的排列次序無關.隨機變量的數(shù)學期望表示隨機變量的平均取值.反例：離散隨機變量的數(shù)學期望不存在，若其概率函數(shù)為2.連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望：，如果上述廣義積分絕對收斂，即.反例：連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望不存在，若其密度為，。3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定理3.1設離散隨機變量的概率分布為(i=1,2,...),則隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望是，如果此級數(shù)絕對收斂.

定理3.2設連續(xù)隨機變量的概率密度為，則隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望是，如果此廣義積分絕對收斂，即.定理3.3設二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望是，如果此廣義積分絕對收斂.4.數(shù)學期望的性質（1）常數(shù)的數(shù)學期望等于本身：.（2）.（3），若相互獨立.

二、方差與標準差1.方差的定義：隨機變量的方差定義為：隨機變量的方差可用來描述它的分布的分散程度；方差越大，分散程度越大.隨機變量的標準差定義為：.對于離散隨機變量，；對于連續(xù)隨機變量，.2.方差的計算公式：.3.方差的性質：（1）常數(shù)的方差等于零：.（2）.（3），若、獨立。4.常用分布的數(shù)學期望與方差（1）二項分布：，；（2）幾何分布：，；（3）泊松分布：，；（4）上的均勻分布（）：，；（5）指數(shù)分布：，；

三、協(xié)方差與相關系數(shù)1.協(xié)方差：.定理3.4.定理3.5，若隨機變量與獨立。2.相關系數(shù)：，其中、分別是、的標準化隨機變量.定理3.6隨機變量與的相關系數(shù)的絕對值不大于1，即.定理3.7當且僅當隨機變量與之間存在線性關系.注：相關系數(shù)刻劃隨機變量之間的線性相關性.定理3.8若隨機變量與獨立，則它們的相關系數(shù)等于零（此時稱與線性無關或線性不相關），即.注：1.一般來說，線性無關只是隨機變量獨立的必要條件，并非充分條件.2.對于二維正態(tài)隨機變量，線性無關是隨機變量獨立的充分必要條件.

四、大數(shù)定律概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律.定理3.9（辛欽大數(shù)定律）設獨立同分布的隨機變量序列的數(shù)學期望及方差都存在：，則對任意,有:即按概率收斂于。定理3.10（伯努利大數(shù)定律）在獨立試驗序列中，設事件的概率為事件在n次試驗中發(fā)生的頻率是，則對任意,有:即