根軌跡方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程課件

第四章根軌跡法分析系統(tǒng)的方法－時域分析法

復(fù)域分析法－根軌跡法頻域分析法本章在課程中的地位：數(shù)學(xué)模型->系統(tǒng)分析->系統(tǒng)設(shè)計根軌跡的基本概念根軌跡的基本法則廣義根軌跡系統(tǒng)性能的分析1第四章根軌跡法分析系統(tǒng)的方法－本章在課程中的地位：根軌跡4-1根軌跡法的基本概念

根軌跡的定義根軌跡與系統(tǒng)性能閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系根軌跡方程本節(jié)內(nèi)容2第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念根軌跡的定義本節(jié)內(nèi)容2第四章1、根軌跡的定義開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮時,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡.注意：當(dāng)開環(huán)零、極點相消時，閉環(huán)特征方程的根閉環(huán)系統(tǒng)的極點優(yōu)點：避免高階方程求根；開環(huán)零、極點如何變化才能滿足系統(tǒng)性能的要求。根軌跡盧p653第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法1、根軌跡的定義開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮時,閉環(huán)系統(tǒng)特1、根軌跡的定義特征方程式為閉環(huán)傳遞函數(shù)為胡p1374第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法1、根軌跡的定義特征方程式為閉環(huán)傳遞函數(shù)為胡p1374第四章2、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性－k0穩(wěn)態(tài)性能－極點位置容許范圍；根軌跡增益動態(tài)性能－阻尼狀態(tài)盧p66;胡p138K=0開環(huán)極點閉環(huán)極點5第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法2、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性－k0盧p66;胡p138K3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系閉環(huán)傳遞函數(shù)為：前向通路增益前向通路根軌跡增益反饋通路根軌跡增益盧p67;胡p1396第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系閉環(huán)傳遞函數(shù)為：前向通路增益前向3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)盧p67;胡p1391）閉環(huán)根軌跡增益＝K*＝KG*KH*2）閉環(huán)零點＝{zi,pj}3）閉環(huán)極點＝{zj,pi,K*}結(jié)論n=q+h,m=f+l開環(huán)根軌跡增益7第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)盧p67;胡p4、根軌跡方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程:當(dāng)系統(tǒng)有m個開環(huán)零點和n個開環(huán)極點時,上式等價為根軌跡方程相角條件模值條件盧p68;胡p140充要條件8第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4、根軌跡方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程:當(dāng)系統(tǒng)有m個開環(huán)零點和n個開4-2根軌跡繪制的基本法則

根軌跡繪制的基本法則閉環(huán)極點的確定本節(jié)內(nèi)容：變化參數(shù)為根軌跡增益相角遵循條件180度根軌跡：9第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-2根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則本節(jié)內(nèi)容4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則1根軌跡的起點和終點根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點.無限零點、無限極點根軌跡起點根軌跡終點,其余兩個終點為無窮遠(yuǎn)根軌跡起點,第三條軌跡起于無窮遠(yuǎn)根軌跡終點10第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則1根軌跡的起點和終點4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)=max(m,n)m開環(huán)有限零點數(shù)，n開環(huán)有限極點數(shù)根軌跡分支是連續(xù)的且對稱于實軸11第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則2根軌跡的分支數(shù)、對4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則3根軌跡的漸近線n>m時,有n-m條漸近線漸近線與實軸交角：漸近線與實軸交點：0n-m=1:180°=2:±90°=3:±60°,180°=4:±45°,±135°12第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則3根軌跡的漸近線n4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1胡p143根軌跡起點：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j終點：z1=-1、無窮遠(yuǎn)處根軌跡有max{m=4,n=1}=4條分支,且對稱于實軸.13第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1胡p143根軌跡起點：4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1有n-m=3條漸近線交角:交點:±60°,180°14第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1有n-m=3條漸近線交4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則4根軌跡在實軸上的分布實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零點和極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。例:15第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則4根軌跡在實軸上的分布4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－1根軌跡的分離點與分離角根軌跡的分離點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(1)何時存在分離點?(2)如何解分離點方程?試探法、重根法分離角輻角條件逼近法－試探法分離點的坐標(biāo)d滿足下列方程：重根法16第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－1根軌跡的分離點4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－2根軌跡的會合點根軌跡的會合點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相會的點會合點與求分離點方法相同17第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－2根軌跡的會合點4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2開環(huán)極點：0,-2,-3開環(huán)零點為-1n=3,m=1漸近線與實軸交角：+900,-900交點坐標(biāo)為：分離點坐標(biāo)d滿足:oj-3-21-1-103條根軌跡分支n-m=2條漸近線.分離角18第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2開環(huán)極點：0,-2,-4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2重根法見盧p76例題4－319第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2重根法見盧p76例題44－2－1根軌跡繪制的基本法則例題3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解:G(s)的零、極點的標(biāo)準(zhǔn)形式：開環(huán)極點：-1-j、-1+j開環(huán)零點：-2實軸上的根軌跡區(qū)為[-2,-∞)一個分離點d：或(舍去)j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××規(guī)律:兩個開環(huán)實數(shù)或復(fù)數(shù)極點,一個開環(huán)零點(不位于兩實極點之間)則……20第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳啟示由兩個極點（實數(shù)或復(fù)數(shù)）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要零點沒有位于兩實數(shù)極點之間，當(dāng)K*從零到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的一個圓，或其一部分。j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××4－2－1根軌跡繪制的基本法則21第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法啟示j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終止角起始角滿足:起始角:根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角.終止角

:根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角.極點P1處的起始角為:例題4:22第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終止角例題4:零點z1處的終止角為根軌跡終止角滿足:23第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則7根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交的交點處的K*和值的計算：用勞思判據(jù)確定令其閉環(huán)特征方程中的s=j24第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則7根軌跡與虛軸的交點4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題54條漸近線分離點d:確定起始角25第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題54條漸近線分離點d:4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題5系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為應(yīng)用勞思判據(jù)有令s1行的首項為零,得K*=8.16代入K*=8.16并令s=j解出交點坐標(biāo)=±1.1輔助方程確定根軌跡與虛軸交點方法26第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題5系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為應(yīng)4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則8根之和例題6當(dāng)n-m≥2,開環(huán)極點為p1,2=-1±j,p3=-3開環(huán)零點為z1=2系統(tǒng)有3條根軌跡分支2條漸近線起始角：j27第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則8根之和當(dāng)n-m≥2,4－2－2閉環(huán)極點的確定模值條件確定－特定K*值下的閉環(huán)極點;根軌跡上特定點的K*。例題7s胡P153圖4-1528第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－2閉環(huán)極點的確定模值條件確定－例題7s胡P1開環(huán)零、極點分布與相應(yīng)的根軌跡圖29第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法開環(huán)零、極點分布與相應(yīng)的根軌跡圖29第四章線性系統(tǒng)的根軌跡繪制根軌跡例題盧p81-例題4－6盧p82-例題4－7大致步驟1、開環(huán)傳遞函數(shù)GH2、確定開環(huán)零、極點，由此判斷根軌跡數(shù)及其起始、終止點3、確定實軸上的根軌跡區(qū)段4、確定漸近線、夾角、交點5、共軛極點－起始角；共軛零點－終止角6、根軌跡與虛軸的交點7、應(yīng)需要，確定閉環(huán)極點勞思判據(jù)s=j30第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法繪制根軌跡例題盧p81-例題4－6大致步驟勞思判據(jù)s=j第四章根軌跡法分析系統(tǒng)的方法－時域分析法

復(fù)域分析法－根軌跡法頻域分析法本章在課程中的地位：數(shù)學(xué)模型->系統(tǒng)分析->系統(tǒng)設(shè)計根軌跡的基本概念根軌跡的基本法則廣義根軌跡系統(tǒng)性能的分析31第四章根軌跡法分析系統(tǒng)的方法－本章在課程中的地位：根軌跡4-1根軌跡法的基本概念

根軌跡的定義根軌跡與系統(tǒng)性能閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系根軌跡方程本節(jié)內(nèi)容32第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念根軌跡的定義本節(jié)內(nèi)容2第四章1、根軌跡的定義開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮時,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡.注意：當(dāng)開環(huán)零、極點相消時，閉環(huán)特征方程的根閉環(huán)系統(tǒng)的極點優(yōu)點：避免高階方程求根；開環(huán)零、極點如何變化才能滿足系統(tǒng)性能的要求。根軌跡盧p6533第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法1、根軌跡的定義開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮時,閉環(huán)系統(tǒng)特1、根軌跡的定義特征方程式為閉環(huán)傳遞函數(shù)為胡p13734第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法1、根軌跡的定義特征方程式為閉環(huán)傳遞函數(shù)為胡p1374第四章2、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性－k0穩(wěn)態(tài)性能－極點位置容許范圍；根軌跡增益動態(tài)性能－阻尼狀態(tài)盧p66;胡p138K=0開環(huán)極點閉環(huán)極點35第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法2、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性－k0盧p66;胡p138K3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系閉環(huán)傳遞函數(shù)為：前向通路增益前向通路根軌跡增益反饋通路根軌跡增益盧p67;胡p13936第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系閉環(huán)傳遞函數(shù)為：前向通路增益前向3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)盧p67;胡p1391）閉環(huán)根軌跡增益＝K*＝KG*KH*2）閉環(huán)零點＝{zi,pj}3）閉環(huán)極點＝{zj,pi,K*}結(jié)論n=q+h,m=f+l開環(huán)根軌跡增益37第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)盧p67;胡p4、根軌跡方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程:當(dāng)系統(tǒng)有m個開環(huán)零點和n個開環(huán)極點時,上式等價為根軌跡方程相角條件模值條件盧p68;胡p140充要條件38第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4、根軌跡方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程:當(dāng)系統(tǒng)有m個開環(huán)零點和n個開4-2根軌跡繪制的基本法則

根軌跡繪制的基本法則閉環(huán)極點的確定本節(jié)內(nèi)容：變化參數(shù)為根軌跡增益相角遵循條件180度根軌跡：39第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-2根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則本節(jié)內(nèi)容4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則1根軌跡的起點和終點根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點.無限零點、無限極點根軌跡起點根軌跡終點,其余兩個終點為無窮遠(yuǎn)根軌跡起點,第三條軌跡起于無窮遠(yuǎn)根軌跡終點40第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則1根軌跡的起點和終點4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)=max(m,n)m開環(huán)有限零點數(shù)，n開環(huán)有限極點數(shù)根軌跡分支是連續(xù)的且對稱于實軸41第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則2根軌跡的分支數(shù)、對4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則3根軌跡的漸近線n>m時,有n-m條漸近線漸近線與實軸交角：漸近線與實軸交點：0n-m=1:180°=2:±90°=3:±60°,180°=4:±45°,±135°42第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則3根軌跡的漸近線n4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1胡p143根軌跡起點：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j終點：z1=-1、無窮遠(yuǎn)處根軌跡有max{m=4,n=1}=4條分支,且對稱于實軸.43第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1胡p143根軌跡起點：4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1有n-m=3條漸近線交角:交點:±60°,180°44第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1有n-m=3條漸近線交4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則4根軌跡在實軸上的分布實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零點和極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。例:45第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則4根軌跡在實軸上的分布4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－1根軌跡的分離點與分離角根軌跡的分離點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(1)何時存在分離點?(2)如何解分離點方程?試探法、重根法分離角輻角條件逼近法－試探法分離點的坐標(biāo)d滿足下列方程：重根法46第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－1根軌跡的分離點4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－2根軌跡的會合點根軌跡的會合點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相會的點會合點與求分離點方法相同47第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－2根軌跡的會合點4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2開環(huán)極點：0,-2,-3開環(huán)零點為-1n=3,m=1漸近線與實軸交角：+900,-900交點坐標(biāo)為：分離點坐標(biāo)d滿足:oj-3-21-1-103條根軌跡分支n-m=2條漸近線.分離角48第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2開環(huán)極點：0,-2,-4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2重根法見盧p76例題4－349第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2重根法見盧p76例題44－2－1根軌跡繪制的基本法則例題3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解:G(s)的零、極點的標(biāo)準(zhǔn)形式：開環(huán)極點：-1-j、-1+j開環(huán)零點：-2實軸上的根軌跡區(qū)為[-2,-∞)一個分離點d：或(舍去)j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××規(guī)律:兩個開環(huán)實數(shù)或復(fù)數(shù)極點,一個開環(huán)零點(不位于兩實極點之間)則……50第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳啟示由兩個極點（實數(shù)或復(fù)數(shù)）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要零點沒有位于兩實數(shù)極點之間，當(dāng)K*從零到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的一個圓，或其一部分。j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××4－2－1根軌跡繪制的基本法則51第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法啟示j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終止角起始角滿足:起始角:根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角.終止角

:根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角.極點P1處的起始角為:例題4:52第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終止角例題4:零點z1處的終止角為根軌跡終止角滿足:53第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則7