2020-2021初三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編-銳角三角函數(shù)綜合

2020-2021初三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編一一銳角三角函數(shù)綜合一、銳角三角函數(shù)DCF1.如圖，山坡上有一棵樹AB,樹底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6J3米，山坡的坡角為30。.小寧在山腳的平地F處測量這棵機(jī)^勺高，點(diǎn)C到測角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測得樹頂部A的仰角為45°,樹底部B的仰角為20°,求樹AB的高度.(參考數(shù)DCF值：sin20°^0,34:os20°=0.94tan20°=0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30°.?.DC=BC?cos30°6a/3—9米,2,.CF=1米,?.DC=9+1=10米，?.GE=10米，??/AEG=45；?.AG=EG=10米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20°=10x0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答：樹高約為6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的長，然后求得DF的長，進(jìn)而求得GF的長，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的長，從而求得樹高2.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,/AEF=90；AE=EF過點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H,連接AC.(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：/ACF=90°;⑶連接AF,過A,E,F三點(diǎn)作圓，如圖2.若EC=4,ZCEF=15°,求i.熊的長.圖1 圖2【答案】(1)BE="FH”;理由見解析(2)證明見解析⑶熊=2冗【解析】試題分析：(1)由△ABE^^EHF(SA§即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=ER從而可知△FHC是等腰直角三角形， /FCH為45°,而/ACB也為45°,從而可證明(3)由已知可知/EAC=30,AF是直徑，設(shè)圓心為O,連接EO,過點(diǎn)E作ENLAC于點(diǎn)N,則可得4ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進(jìn)而可得AE的長，得到半徑，得到:定所對圓心角的度數(shù)，從而求得弧長試題解析：(1)BE=FH理由如下：四邊形ABCD是正方形 /B=90；.FHXBC/FHE=90°又/AEF=90 /AEB+/HEF="90"且/BAE+/AEB=90/HEF=ZBAE /AEB=ZEFH又「AE=EF?.△ABE^AEHF(SAS.?.BE=FH(2)「AABE^AEHFBC=EH,BE=FH又「BE+EC=EC+CH.BE="CH".?.CH=FH/FCH=45,° /FCM=45°.「AC是正方形對角線，ZACD=45°/ACF=ZFCM+/ACD=90°???AE=EF，4AEF是等腰直角三角形△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為O.連結(jié)EO得/AOE=90°過E作EN±AC于點(diǎn)N

RtAENC中，EC=4,/ECA=45。，?.EN=NC=#RtAENA中，EN=.任又???/EAF=45/CAF=ZCEF=15（等弧對等角）/EAC=30°?.AE=一/RtAAFE中，AE=472=EF,?-AF=8AE所在的圓O半徑為4,其所對的圓心角為/AOE=90°|定=2兀-490°+36?！?2?？键c(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)3.在正方形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B）,1/BPE=—/ACB,PE交BO于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF，PE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.2（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時（如圖1）.求證：△BO84POE;（2）通過觀察、測量、猜想：BF= ,并結(jié)合圖2證明你的猜想；PE一值.（用含“的式子表示）01BF（3）把正方形值.（用含“的式子表示）01BF（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖 3）,若/ACB=4,求——的PEBF1 BF1【答案】（1）證明見解析（2）BF1（3）空1tanPE2 PE2解：（1）證明：???四邊形ABCD是正方形，P與C重合,?.OB="OP",/BOC=ZBOG=90:?.PFXBG,/PFB=90,°../GBO=901BGO,ZEPO=90—ZBGO.，/GBO=/EPO. ABOG^APOE(AAS).(2)BFPE(2)BFPE12.證明如下:如圖，過P作PM//AC交BG于M,交BO于N,?.BF=-PE即-?.BF=-PE即--PE2/r下式/PNE=/BOC=9Cf,/BPN=/OCB.??/OBC=ZOCB=4?, /NBP=ZNPB..NB=NP.??/MBN=9C°—/BMN,/NPE=9C0—/BMN,「./MBN=/NPE.?.△BMN^APEN(ASA)...BM=PE.1??/BPE=—/ACB,/BPN=/ACB,「./BPF=/MPF.2.PF±BM, /BFP土MFP=9C°.又..PF=PF ABPF^AMPF(ASA).BF="MF",即BF=-BM.=—tan=—tan(3)如圖，過P作PM//AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,臚 -c/BPN=ZACB=q/PNE=ZBOC=9C0.1由(2)同理可得BF=-BM,/MBN=/EPN.???ZBNM=ZPNE=9Cf, △BMN<^△PEN.BMBN一 .PEPN在rwnp中，tan=型，幽二tan，即空=tanPNPE PEBF1.PE2(1)由正方形的性質(zhì)可由AAS證得△BOGW^POE.(2)過P作PM〃AC交BG于M,交BO于N,通過ASA證明△BMN^△PEN得至U

BF1BM=PE,通過ASA證明ABP閣AMPF得到BF=MF,即可得出———的結(jié)論.PE2(3)過P作PM//AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,同(2)證得BF=1BM,2，BMBN, , BNr/MBN=/EPN,從而可證得△BMNs^pen,由n"百和Rt^BNP中tan=贏■即BF1可求得——=—tan.PE24.如圖，在4ABC中，AB=7.5,AC=9,Saabc=—.動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以每秒45個單位長度的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度沿CA方向向A點(diǎn)勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，以PQ為邊作正4PQM(P、Q、M按逆時針排序)，以QC為邊在AC上方作正^QC、設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒.(1)求cosA的值;(2)當(dāng)4PQM與4QCN的面積滿足SApqm=9Saqcn時，求t的值；5(3)當(dāng)t為何值時，4PQM的某個頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在4QCN的邊上.【答案】(1)coaA=—;(2)當(dāng)t=§時，滿足Sapqm=—Saqcn;(3)當(dāng)t=-27~3^3s或5 5 5 26273石s時,4PQM的某個頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在4QCN的邊上.26【解析】分析：(1)如圖1中，作BEXAC于E.利用三角形的面積公式求出 BE,利用勾股定理求出AE即可解決問題；9(2)如圖2中，作PHXAC于H.利用Sapqm=-S\qcn構(gòu)建方程即可解決問題；5(3)分兩種情形①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M落在QN上時，作PHLAC于H.②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)M在CQ上時，作PHI±AC于H.分別構(gòu)建方程求解即可；詳解：(1)如圖1中，作BEXAC于E..VTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"E0圖1 “Saabc=一?AC?BE=81，\o"CurrentDocument"2 4??.BE=9,2在Rt^ABE中，AE=JaB2BE2=6，\o"CurrentDocument"AE 6 4coaA= —.\o"CurrentDocument"AB 7.55(2)如圖2中，作PHXAC于H.PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,??.PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,Sapqm=_Saqcn,5—?PQ2=9—?CC2,4 5 4??-9t2+(9-9t)2=9x(5t)2,5整理得：5t2-18t+9=0,解得t=3(舍棄)或3.53 9.?.當(dāng)t=一時，滿足S^PQM=—&QCN.(3)①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M落在QN上時，作PHI±AC于H.

圖3易知：PM//AC,/MPQ=ZPQH=60；??.PH=73hQ,?-3t=73(9-9t),?仁2733一26,②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)M在CQ上時，作PHXACTH.圖4同法可得ph=J3qh,?-3t=V3(9t-9),.t=27+3代26 '△PQM的某個頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在4QCN綜上所述，當(dāng)t=272343s或27△PQM的某個頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在4QCN點(diǎn)睛：本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.5.在等腰4ABC中，/B=90°,AM是4ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MNLAC于點(diǎn)N,/EMF=135.。將/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/EMF的」兩邊交直線AB于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,請解答下列問題：(1)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，求證：BE+CF=BMBM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;(3)在(1)和(2)BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;(3)在(1)和(2)的條件下，tan/BEM/,AN=J2+1,貝UBM=,OF=【答案】1）證明見解析2）見解析（3）1,1+1Z或1—近3 3（2）當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖②，圖③的位置時，請分別寫出線段BE,OF,N,可得（1）由等腰4ABC中，/B=90°,AM是△ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MNLAC于點(diǎn)BM=MN,/BMN=135,又/EMF=135°,可證明的△BME0^NMF,可得BE=NRNC=NM=BMN,可得（2）①如圖②時，同（1）可證△BME^^NMF,可得BE-CF=BM,②如圖③時，同（1）可證△BME^^NMF,可得OF-BE=BM；(3)在(3)在RtAABM和RtAANM中,[BW!=Nt!(2)的可得RtAABM^RtAANM,后分別求出AB、ACON、BM、BE的長，結(jié)合（(2)的結(jié)論對圖①②③進(jìn)行討論可得CF的長.（1）證明：?「△ABC是等腰直角三角形,ZBAC=ZC=45;.AM是/BAC的平分線，MNLAC,.?.BM=MN,在四邊形ABMN中，/,BMN=360-90°-90°-45=135°,/ENF=135,°,/BME=ZNMF,??.△BME^ANMF,.?.BE=NF,-.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.?.NC=NM=BM,?.CN=CF+NF??.BE+CF=BM;(2)針對圖2,同(1)的方法得，△BME^^NMF,

，BE=NF,.MN，AC,/C=45；/CMN=ZC=45J°,.?.NC=NM=BM,???NC=NF-CF,?.BE-CF=BM；針對圖3,同(1)的方法得，△BME^^NMF,.?.BE=NF,-.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°.?.NC=NM=BM,,.NC=CF-NF,??.CF-BE=BM;[mm(3)在RtAABM和RtAANM中，[BM-NM,???RtAABM^RtAANM(HL.),.?.AB=AN=\/2+1,[mm在RtAABC中,AC=AB=<^+1,??AC=AB=2+ ,.?.CN=AC-AN=2+x/l-(V2+1)=1,在Rt^CMN中，CM=/2CN=/2,.?.BM=BC-CM=+1- =1,在RtABME在RtABME中,tan/BEM=be=BE="'??.①由(1)知，如圖1,BE+CF=BM“F=BM-BE=1-步②由（2）知，如圖2,由tan/BEM=J^,，此種情況不成立；③由（2）知，如圖3,CF-BE=BM,?.CF=BM+BE=1+,故答案為1,1+【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識求解6.如圖，等腰4ABC中，AB=AC,ZBAC=36°,BC=1,點(diǎn)D在邊AC上且BD平分/ABC,

設(shè)CD=x.(1)求證：△ABJ^BCD；(2)求x的值；(3)求cos36-cos72的值.【答案】【答案】（1）證明見解析；（2）16【解析】試題分析：（1）16【解析】試題分析：（1）由等腰三角形ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出/DBC的度數(shù)，得到/DBC=ZA,再由/C為公共角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC根據(jù)AD+DC表示出AC,由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；（3）過B作BE垂直于AC,交AC于點(diǎn)E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36。與cos72。的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.試題解析：（1）二.等腰4ABC中，AB=AC,ZBAC=36,/ABC=ZC=72,°??BD平分/ABC,/ABD=ZCBD=36??/CBD=ZA=36；/C=ZC,?.△ABC^ABCD；(2) /A=/ABD=36,.?.AD=BD,??BD=BC,.AD=BD=CD=1,設(shè)CD=x,則有AB=AC=x+1,ABBDABBD整理得:BC一，即CDx2+x-1=0,.5解得:x1= 解得:2

則x=_d_J;2(3)過B作B。AC,交AC于點(diǎn)E,???BD=CD,??.E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=1而4, ， AE在???BD=CD,??.E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=1而4, ， AE在Rt^ABE中，cosA=cos36=——AB在Rt^BCE中，cosC=cos72=ECBC1,521.541,514則cos36-cos72=痛1--1出=1.4 4 2【考點(diǎn)】1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì);3.黃金分割；4.解直角三角形.7.如圖，在4ABC中，/ABC=90°,以AB的中點(diǎn)。為圓心,OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn)，連接DE,OE.(1)判斷DE與。。的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：BC2=2CD?OE;3 14(3)右cosBAD—,BE—,求OE的長.5 3BEC3535【答案】（1）DE為OO的切線，理由見解析；（2）證明見解析；（3）OE=-【解析】試題分析：（1）連接OD,BD,由直徑所對的圓周角是直角得到 /ADB為直角，可得出△BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE從而得/C=/CDE,再由OA=OD,得/A=/ADO,由Rt^ABC中兩銳角互余，從而可得/ADO與/CDE互余，可得出/ODE為直角，即DE垂直于半徑OD,可得出DE為。。的切線；（2）由已知可得OE是4ABC的中位線，從而有AC=2OE，再由/C=/C,/ABC=/BDC,可得△ABJ^BDC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形中位線定理 OE的長即可求得.試題解析：（1）DE為。。的切線，理由如下：.「AB為。。的直徑，/ADB=90,°在Rt^BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn),1.?.CE=DE=BE=BC,/C=ZCDE,.OA=OD,/A=ZADO,??/ABC=90,°/C+/A=90;??/ADO+ZCDE=90,°/ODE=90；???DEXOD,又OD為圓的半徑，??.DE為。O的切線；（2）???￡是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn),?.OE是△ABC的中位線，.?.AC=2OE,??/C=ZC,/ABC=ZBDC,?.△ABC^ABDC,ECACCD~1CECACCD~1C即BC2=AC?CDBC2=2CD?OB(3)解:cos/BAD=—,3、三角函數(shù)(1)3、三角函數(shù)(1)求tan/DBC的值；(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且，sin/BAC型二士,AC5TOC\o"1-5"\h\z14 28又「bEf，e是b^中點(diǎn)，即bck35又「AC=2OE\o"CurrentDocument"1 35.?.OE=-AC=—.\o"CurrentDocument"2 6考點(diǎn)：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與性質(zhì);8.如圖，拋物線y=-x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3./DBP=45,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】試題分析：(1)連接CD,過點(diǎn)D作DE，BC于點(diǎn)E.利用拋物線解析式可以求得點(diǎn) A、B、C、D的坐標(biāo)，則可得CD//AB,OB=OC,所以/BCO=ZBCD=/ABC=45°.由直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和圖中相關(guān)線段間的關(guān)系可得 BC=4/2,BE=BC-DE±XZ.由此可知DE3tan/DBC=y二；RE5(2)過點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)F.由/DBP=45及/ABC=45可得/PBF=/DBC,利用(1)中的結(jié)果得到：tan/PBF二.設(shè)P(x,-x2+3x+4),則利用銳角三角函數(shù)定義推知一工'-3,十43 266 ；——=:，通過解方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(--,—)4-x 5 525試題解析：(1)令y=0,貝U-x2+3x+4=-(x+1)(x-4)=0,解得xi=-1,x2=4.?A(-1,0),B(4,0).當(dāng)x=3時，y=-32+3x3+4=4??D(3,4).如圖，連接CD,過點(diǎn)D作DELBC于點(diǎn)E..C(0,4),.CD//AB,/BCD=ZABC=45:在直角^OBC中，-，OC=OB=4,???bc=472.在直角^CDE中，CD=3..-.CE=ED^^,2邛BE=BC-DE= .DE3.tan/DBC=——=—；RE5(2)過點(diǎn)P作PF±x軸于點(diǎn)F.??/CBF=/DBP=45；/PBF=ZDBC,.tan/PBF《.、 一小十三工十43設(shè)P(x,-x2+3x+4),貝U =~4-x手解得x1=--,x2=4(舍去)，???P(-三，6625考點(diǎn)：1、二次函數(shù)；2、勾股定理;3、三角函數(shù)9.如圖，直線y=1x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=-工x2+bx+c經(jīng)過2 2A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C.(1)求拋物線的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足1x+2A2x2+bx+c的x的取值范圍；2 2(3)設(shè)點(diǎn)D為該拋物線上的一點(diǎn)、連結(jié) AD,若/DAC=/CBO,求點(diǎn)D的坐標(biāo).…… 123【答案】(1)y2x2x2；(2)當(dāng)xRO或xw-4；(3)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)或(2,-3).【解析】【分析】亡；，… 1亡；由直線y=—x+2求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析2觀察圖象，找出直線在拋物線上方的 x的取值范圍；DECO————，最后分類討論確定點(diǎn)AEBOD的坐標(biāo).如圖，過D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E,先求出CO=1,AO=4,再由ZDAC^/CBO,DECO————，最后分類討論確定點(diǎn)AEBOD的坐標(biāo).【詳解】解：(1)由y=1x+2可得：2當(dāng)x=0時，y=2;當(dāng)y=0時，x=-4,-A(-4,0),B(0,2),把A、B的坐標(biāo)代入y=--x2+bx+c得:2123???拋物線的解析式為： y—x-x22 2(2)當(dāng)x>0(2)當(dāng)x>0或x<-4時,1—x+2A21x2+bx+c2（3）如圖，過D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E,TOC\o"1-5"\h\z事12 3c\o"CurrentDocument"由y—x—x2令y=0,2 2解得：xi=1,x2=-4,?.CO=1,AO=4, 1c3設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m, -m2—m2),\o"CurrentDocument"2 2??/DAC=/CBO,??tanZDAC=tan/CBO,??在Rt^ADE和Rt^BOC中有-DE-CO,AEBO1 23當(dāng)D在x軸上方時， 2m2m21\o"CurrentDocument"m4 2解得：m1=0,m2=-4（不合題意，舍去），???點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）.當(dāng)D在當(dāng)D在x軸下方時,(1m22m2)解得：m1=2,m2=-4（不合題意，舍去），??點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,-3）,【點(diǎn)睛】3)【點(diǎn)睛】3)本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.解題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，分類討論是第（3）題的難點(diǎn).10.在正方形ABCD中，AC是一條對角線，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE,將4ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得到△DCF,過點(diǎn)E作EGJ±AC于點(diǎn)G,連接DG,FG.BEC（1）如圖，①依題意補(bǔ)全圖；②判斷線段FG與DG之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明；（2）已知正方形的邊長為6,當(dāng)/AGD=60°時，求BE的長.【答案】（1）①見解析，②FG=DG,FG±DG,見解析；（2）BE2曲.【解析】【分析】（1）①補(bǔ)全圖形即可，②連接BG,由SAS證明△BE84GCF得出BG=GF,由正方形的對稱性質(zhì)得出BG=DG,得出FG=DG,在證出ZDGF=90。，得出FG±DG即可，（2）過點(diǎn)D作DHLAC,交AC于點(diǎn)H.由等腰直角三角形的性質(zhì)得出DH=AH=3j2,由直角三角形的性質(zhì)得出FG=DG=2GH=2屈,得出DF=&DG=4、/3,在Rt^DCF中，由勾股定理得出CF=2班,即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1所示，②FG=DG,FG±DG,理由如下，連接BG,如圖2所示，???四邊形ABCD是正方形，/ACB=45；-.EG±AC,/EGC=90；△CEG是等腰直角三角形，EG=GC,/GEC=ZGCE=45；/BEG=/GCF=135；由平移的性質(zhì)得：BE=CF,BECF在ABEG和^GCF中， BEGGCF,EGCG.-.△BEG^AGCF（SAS,BG=GF,.G在正方形ABCD對角線上，BG=DG,FG=DG,??ZCG曰ZBGE,ZBGE+ZAGB=90；ZCGF吆AGB=90,ZAGD+ZCG已90,ZDGF=90,(2)過點(diǎn)D作DHXAC,交AC于點(diǎn)H.如圖3所示,在RtAADG中,??ZDAC=45；.-.DH=AH=372，在RtADHG中，???ZAGD=60°,也3喪 區(qū)一GH=L='=yjQ,。3V3，DG=2GH=2而，?DF=72DG=4百，在R9DCF中，CF=J473262=273,本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用等知識；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.11.如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A,C分別在x軸與y軸的正半軸上，點(diǎn)

1A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)D在邊AB上，且tan/AOD=5,點(diǎn)E是射線OB上一動點(diǎn)，EF，x軸于點(diǎn)F,交射線OD于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH//x軸交AE于點(diǎn)H.(1)求B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動時，求/HDA的大小；(3)以點(diǎn)G為圓心，GH的長為半徑畫OG.是否存在點(diǎn)E使。G與正方形OABC的對角線所在的直線相切？若不存在，請說明理由；若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn) E的坐標(biāo).【答案】(1)【答案】(1)B(4,4),D(4,2);(2)4/，8-4/)或(8+4應(yīng)，8+4應(yīng))或45°;(3)存在，符合條件的點(diǎn)為(8-4.2164.216- , 或7 7164.2164.2 , ,理由見斛析7 7【解析】【分析】1『(1)由正萬形性質(zhì)知AB=OA=4,/OAB=90,據(jù)此得B(4,4),再由tan/AOD=—得2AD=1OA=2,據(jù)此可得點(diǎn)D坐標(biāo)；2/、區(qū) GF1 1(2)由tanGOF——一知GF=-OF,再由/AOB=/ABO=45°知OF=ER即OF2 21 … … ，一」，，人 ，—一 一 GF=—EF,根據(jù)GH//x軸知H為AE的中點(diǎn)，結(jié)合D為AB的中點(diǎn)知DH是4ABE的中位2線，即HD//BE,據(jù)此可得答案；(3)分。G與對角線OB和對角線AC相切兩種情況，設(shè)PG=x,結(jié)合題意建立關(guān)于x的方程求解可得.【詳解】解：(1).A(4,0),.?.OA=4,???四邊形OABC為正方形，.?.AB=OA=4,ZOAB=90°,-B(4,4),在RtAOAD中,/OAD=90°,?.tanZAOD=1,2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1.?.AD=—OA=— 2,\o"CurrentDocument"2???D(4,2);???四邊形OABC為正方形,?./AOB=/ABO=45°,?.OF=EF,1?.GF=-EF,2??.G為EF的中點(diǎn)，GH//x軸交AE于H,?.H為AE的中點(diǎn)，B(4,4),D(4,2),?.D為AB的中點(diǎn)，?.DH是^ABE的中位線，HD//BE,/HDA=/ABO=45°(3)①若。G與對角線OB相切,如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時，

圖2x,過點(diǎn)G作GP，OB于點(diǎn)P,設(shè)PG=x,可得P已x,EG=FG=&x,OF=EF=2J2x,,.OA=4,-AF=4-2>/2x,??.G為EF的中點(diǎn)，H為AE的中點(diǎn),?.GH為^AFE的中位線，11 - —GH=—AF=-X(4-2J2x)=2-J2x2 2則x=2-^2x,解得：x=2J2-2,?E（8-472，8-4衣），x=.2x-2,解得：x=2+亞,.?.E（8+4x=.2x-2,解得：x=2+亞,.?.E（8+4拒，8+4亞）；②若。G與對角線AC相切，如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在線段BM上時，對角線AC,OB相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GP，OB于點(diǎn)P,設(shè)PG=x,可得PE^x,EG=FG=V2x,OF=EF=22x,,.OA=4,-AF=4-2V2x,??G為EF的中點(diǎn)，H為AE的中點(diǎn)，?.GH為^AFE的中位線，TOC\o"1-5"\h\z11 - -?.GH=-AF=—X(4-2J2x)=2-72x,\o"CurrentDocument"2 2過點(diǎn)G作GQ,AC于點(diǎn)Q,則GQ=PM=3x—2J2,3x-2y/2=2-22.x,422\o"CurrentDocument"x ，7l4.2164.216E , \o"CurrentDocument"7 7如圖5,當(dāng)點(diǎn)E在線段OM上時,GQ=PM=2V2—3x,則222—3x=2一&x,解得x42216421642如圖6,如圖6,當(dāng)點(diǎn)E在線段OB的延長線上時,P 即解得：x4無2（舍去）；7綜上所述，符合條件的點(diǎn)為（8-4J2,8-4夜）或（8+4J2,8+4及）或4.2164x2165164.2164、2 , 或 ， -7 7 7 7【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和直角三角形的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義、三角形中位線定理及分類討論思想的運(yùn)用.12.如圖，4ABC中，AC=BC=10,cosC=3,點(diǎn)P是AC邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），5以PA長為半徑的OP與邊AB的另一個交點(diǎn)為D,過點(diǎn)D作DELCB于點(diǎn)E.（1）當(dāng)。P與邊BC相切時，求OP的半徑.（2）連接BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長為x,PF的長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍.（3）在（2）的條件下，當(dāng)以PE長為直徑的OQ與。P相交于AC邊上的點(diǎn)G時，求相交所得的公共弦的長.BEC爸用圖40R-—；(2)980；(3)5010“.(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,一 3一連接HP,貝UHP±BC,cosC=—,則5sinC=~，sinC=5 CP4一一.-,即可求解;5(2)首先證明PD//BE,則更PDBFPF，即:2x5x，x28x80y,即可求解;y(3)證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=EP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=H,圓的半徑為R,連接HP,則HP±BC,4J5,即可求解.【詳解】(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為c3

cosC=一,5w 4則sinC=一,5HPsinC=CP10R5°40R=—;9(2)在△ABC中，AC=BC=10,設(shè)AP=PD=x,/A=/ABC=&cosC=—,過點(diǎn)B作BHI±AC,V5,貝U：tan/CAB=2,BP=82+(x4)2=Xx8X80,超好則BD=4遙一等x，如下圖所示，PA=PD,/PAD=/CAB=/CBA=3,tan際2,貝tan際2,貝Ucos即忑EB=BDcos片(4芯一2、5、——x)5??.PD//BE,EBPDBFPF，即:Jx28x80y,

y整理得:5xJx28x80；(3)以3x20EP為直徑作圓Q如下圖所示,D,兩個圓交于點(diǎn)G,則PG=PQ,即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點(diǎn)為D,GD為相交所得的公共弦，??點(diǎn)Q是弧GD的中點(diǎn)，??DGXEP,.「AG是圓P的直徑，/GDA=90°,?.EP//BD,由(2)知，PD//BC,二.四邊形PDBE為平行四邊形，.?.AG=EP=BD,AB=DB+AD=AG+AD=475,設(shè)圓的半徑為r,在^ADG中，AD=2rcos傷75,4rDG= ,AG=2r,2r、.5+2「=4,解得:20皿4r —則：DG= =50-10^5,相交所得的公共弦的長為50-10J5.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓知識的綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中(關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.13.如圖，AB為。。的直徑，P是BA延長線上一點(diǎn)，CG是。。的弦/PCA=/ABC,CG±AB,垂足為D(1)求證：PC是。。的切線;(2)求證:PA(2)求證:PAPCADCD；⑶過點(diǎn)A作AE//PC交。。于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若sin/P=3,CF=5,求BE5的長.【答案】(1)見解析；(2)BE=12.【解析】【分析】(1)連接OC,由PC切OO于點(diǎn)C,得到OCaPC,于是得到/PCA+/OCA=90，由AB為。。的直徑，得到/ABC+/OAC=90,°由于OC=OA證得/OCA=/OAC,于是得到結(jié)論；(2)由AE//PC,得到/PCA=/CAF根據(jù)垂徑定理得到弧AC=MAG,于是得到/ACF=/ABC,由于/PCA=/ABC,推出/ACF=/CAF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF=AF在R^AFD中，AF=5,sinZFAD=3,求得FD=3,AD=4,CD=8,在Rt^OCD中，5設(shè)OC=r,根據(jù)勾股定理得到方程 r2=(r-4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB為 . .. 3…BE3OO的直徑，得到/AEB=90，在Rt^ABE中，由sin/EAD=-,得到——=一,于是求得5AB5結(jié)論.【詳解】(1)證明：連接OC,???PC切。O于點(diǎn)C,???OCXPC,/PCO=90；ZPCA+ZOCA=90；.「AB為。。的直徑，/ACB=90,°ZABC+ZOAC=90；,.OC=OA,ZOCA=ZOAC,ZPCA=ZABC；(2)解：.「AE//PC,ZPCA=ZCAF,.ABXCGJ,:弧AC=<AG,/ACF=ZABC,??ZPCA=ZABC,/ACF=ZCAF,，CF=AE,.CF=5,.?.AF=5,.AE//PC,/FAD=ZP,sinZP=—,5sin/FAD=—,5在Rt^AFD中，AF=5,sin/FAD=3,5.?.FD=3,AD=4,，CD=8,在R^OCD中，設(shè)OC=r,.?.r2=(r-4)2+82,r=10,.?.AB=2r=20,.「AB為。。的直徑，/AEB=90「在Rt^ABE中，, 3BE3.sin/EAD=—,… 一,5AB5?.AB=20,?.BE=12.【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角