2016年北京大學數(shù)學科學夏令營初賽試題及解答

2016年北京大學數(shù)學科學夏令營初賽試題本試卷共題，每題30分，滿分120分，考試時間 分鐘．1、已知銳角△ABC中，∠B=600，P為AB中點，Q為外接圓上弧AC(不包括點的中點，H為△ABC的垂心．假如P,H,Q三點共線，求∠A．2、求全部的整系數(shù)多項式 P(x)，使得存在一個無量項整數(shù)數(shù)列 {an}，此中隨意兩項互不相等，且知足：P(a)=01

k+1

)=ak

(k=1,2,3、給定正整數(shù)有2n張紙牌疊成一堆，從上到下挨次編號為 1到我們進行這樣的操作：每次將全部從上往下數(shù)偶數(shù)地點的牌抽出來， 保持次序放在牌堆下方． 比如n=3時，初始次序為操作后挨次獲得 135246，154326，142536，123456．證明：對隨意正整數(shù)

n操作不超出

2n-2次后，這堆牌的次序會變回初始狀態(tài)．4、給定正整數(shù)p,qa=a=1，a=pa+qa

(n=1,2,3求證：要使得對1 2 n+2 n+1 n隨意正整數(shù)均有(a,a)=a ，當且僅當p=1時建立．mn (m,n)2016年北京大學數(shù)學科學夏令營初賽試題參照答案1、答案 750．解如圖，設O為外接圓圓心，延伸CO交外接圓于D，則四邊形BHAD為平行四邊形，所以D,P,H三點共線，從而D,P,H,Q四點共線．連結(jié)OH,BQ，由∠B=600，于是BH=AD=CD/2=OQ,又OB=OQ，所以BHQO為菱形，從而∠OBC=∠OCB=∠BAD=∠HBA,又∠BCD=∠BQD=∠OBQ=∠HBQ,所以BO,BQ,BH將∠CBA四平分，從而不難得悉∠A=750．2、答案 P(x)=x+C，此中11/3解設P(x)=λ+λx+?+λxm,0 1 m此中m∈N?，λ∈Z(i=0,1,2,?,m)，則iP(a而

k+1

)-P(ak+2

)=ak

-ak+1

,k=1,2,?,P(a所以

k+1

)-P(ak+2

)=

(a1

-ak+2

)+

(a2

k+1

-

k+2

)+

(am

k+1

-

),k+2(a-a)(a-a),k=1,2,?,k+1所以

k+2 k k+1∣a-?∣a-∣???

-a|?|a-

|??.1 2 2

k k+1

k+1

k+2因為∣a-的值有限，所以必定存在 K，使適當k?K且時，有1 2∣a-ak k+1

∣=∣ak+1

-ak+2

∣=∣ak+2

-ak+3

∣=?.因為數(shù)列{a中隨意兩項互不相等，所以有n所以有

a-a=a-a=a-ak k+1 k+1 k+2 k+2

=?,若m?2，則方程

P(a

k+1

)-ak+1

k+2

)-ak+2P(x)-x=P(a)-aK+1 K+1有無數(shù)個解，矛盾．這樣獲得了全部切合題意的整系數(shù)多項式 P(x)=x+C，此中常數(shù)3、證明 我們證明一個等價的命題，將每次操作改為先從上往下取后一半的數(shù)出來，而后與前一半交錯擱置近似于洗撲克牌如初始次序為 123456，操作后挨次獲得 154326，135246，123456．將紙牌按順時針擺放，使得第一張牌和最后一張牌 (它們一直為1和2n)重合，將第一張牌的地點記為

1順時針旋轉(zhuǎn)將其余牌的地點挨次記為

2,3,定義紙牌m順時針旋轉(zhuǎn)到紙牌 時旋轉(zhuǎn)的步數(shù)為紙d(2→3)=3．

m到n的距離，記為，如圖中下邊證明經(jīng)過kN?)后d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-12n),用數(shù)學概括法．概括基礎(chǔ)命題建立．

當k=1時，有

d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-

2n)=1,概括假定與遞推證明 設當k=p時，有d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n不難計算得經(jīng)過操作后地點 x的紙牌將會挪動到地點

12n)=q.f(x)=(2x-1)%(2n-1),22/3此中t%s表示模s的余數(shù)，所以本來距離為q的紙牌在操作后距離為(2q)%(2n-p+1次操作后，仍舊有

所以經(jīng)過d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-12n).綜上所述，經(jīng)過k次操作后d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-12n).這就意味著當紙牌 2的地點確準時，其余全部紙牌的地點都能夠依賴該性質(zhì)確立．而紙牌 2至多只有2n-2種可能的地點，而且紙牌2的所在的地點不行能出現(xiàn)不包括地點 2的循環(huán)．這是因為操作是能夠反向的，所以假如出現(xiàn)不包括地點 22的循環(huán)，那么能夠判定最先的狀態(tài)紙牌2所在的地點不行能為2n-次操作后，紙牌2必定回到地點證．4、證明 必需性依據(jù)題意，有而由(a3

)=a4

，可得(p,q)=1；又由(a1 3

)=a6

，可得32 2即所以p=1．充足性 當p=1時，an+2

n+1

+qa

p+q∣pq+q,p+q∣pq(p-1)+q(p+q),，于是n（an+2

,q)=(an+1

+qa

,q)n=(a,q)=?=(an+1,q)=1,1從而(a,a)=(a,a+qa)n+1 n+2 n+1 n+1 n=(a,a)=?n+1 n=(a,a)=1.1 20記a=0，用數(shù)學概括法能夠證明對隨意 m,n∈N?，m?均有0a=aa +qa