2019年北京市清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

PAGE9頁(yè)（9頁(yè)）2019年北京市清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷一、解答題（共11小題，滿分0分）1．一個(gè)四面體棱長(zhǎng)分別為6，6，6，6，6，92．求值：（1﹣sinx）x2dx．已知P為單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，（0，，（，﹣1，求|P×P2的最大值．AB為圓O的直徑，CO⊥AB，M為AC中點(diǎn)，CH⊥MB，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A．AM＝2OH B．AH＝2OH C．△BOH∽△BMA5．已知集合A＝{1，2，3，……，15}，B＝{1，2，3，4，5}，f是A到B的映射，若滿足f（）＝（y，則稱有序?qū)Γ?，?．若對(duì)?c∈R，?a，b，使得函數(shù)不滿足性質(zhì)T的是（ ）A．f（x）＝x3﹣3x2+3xC．f（x）＝ex+1

＝f（c）成立，則稱函數(shù)f（x）滿足性質(zhì)T，下列B．f（x）＝D．f（x）＝sin（2x+1）7．已知| ＝| |＝，?＝（﹣（﹣）＝0，若| ﹣＝1，求| 的最大值．橢＝1，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線x＝3上，若△ABC為正三角形，求△ABC的面積．圓x2+y2＝4上一點(diǎn)y2＝8x°，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求x0．a(chǎn)44444444各位數(shù)字和，ba的各位數(shù)字之和，cbc值．實(shí)數(shù)x，y滿足x2+（y﹣2）2≤1，求 的最大值和最小值．2019年北京市清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、解答題（共11小題，滿分0分）6，6，6，6，6，9，求外接球的半徑．【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析設(shè)易知△BCD的外接圓O1半徑為r1＝ ACD的外接球O2的半徑為r2＝徑．

，OO2＝

，利用勾股定理即可求出外接球的半【解答】解：設(shè)AB＝AC＝AD＝BC＝6，CD＝9，易知△BCD的外接圓O1半徑為r1＝ ，同理可得△ACD的外接球O2的半徑為r2＝ ，設(shè)外接圓的圓心為O，易知OO2＝，則外接球的半徑R＝＝ 所以外接球半徑為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三棱錐外接球問(wèn)題，是中檔題．求值：（1﹣sinx）x2dx．【考點(diǎn)】定積分、微積分基本定理．【分析】利用定積分的運(yùn)算公式及性質(zhì)解決問(wèn)題．【解答】解：（1﹣sinx）x2dx＝x2dx﹣x2sinxdx＝|＝，即．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查定積分的運(yùn)算公式及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．已知P為單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，（0，，（，﹣1，求|P×P2的最大值．【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離公式；平均值不等式．【分析設(shè)P（sαnS＝P×|P2＝ [cos2（1+sin）2]，整理可得：S＝8 ，利用均值不等式即可得出．【解答】解：設(shè)P（sα，nα，則S＝P|×|P2＝（1+sinα）2]，整理可得：S＝8 ，

[cos2α+利用均值不等式可得：S≤8×因此|AP|×|BP|2的最大值為3．

＝3，當(dāng)且僅當(dāng)sinα＝時(shí)，等號(hào)成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單位圓的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式、均值不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．AB為圓O的直徑，CO⊥AB，M為AC中點(diǎn)，CH⊥MB，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A．AM＝2OH B．AH＝2OH C．△BOH∽△BMA【考點(diǎn)】余弦定理；相似三角形的判定．【分析】分別對(duì)命題所給的選項(xiàng)逐個(gè)分析，設(shè)圓的半徑為r＝2，由題意可得各線段的值，進(jìn)而可得命題的真假．【解答】解：A選項(xiàng)，設(shè)圓的半徑為r＝2，易知BM＝ ，BH＝ ，所以AM＝CM＝，BC＝2，在△OBH，△ABM中，由余弦定理可得cos∠ABM＝＝ ，解得OH＝ ，AM≠2OH，所以A不正確；B選項(xiàng)：在△AHC中，由中線定理可知AH2+2OH，故B正確；

＝ +4，解得AH＝ ，則AH＝C選項(xiàng)：而故選：BC．

＝ ＝ ＝ ，所以△BOH∽△BMAC正確．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理及三角形相似的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．5．已知集合A＝{1，2，3，……，15}，B＝{1，2，3，4，5}，f是A到B的映射，若滿足f（）＝（y，則稱有序?qū)Γ?，）【考點(diǎn)】映射．B5A3B45．【解答】B115×15＝225對(duì)；情形二：當(dāng)只對(duì)應(yīng)B中2個(gè)元素時(shí)，設(shè)有1組f（x）＝f（y，1組f（x）＝f（y，此時(shí)“好對(duì)”有對(duì)，且a1+b1＝15，則由柯西不等式可知，＝；情形三：當(dāng)只對(duì)應(yīng)B中3個(gè)元素時(shí)，設(shè)有a2組f（x）＝f（y，2組f（x）＝f（y，2組f（）＝（，此時(shí)“好對(duì)”有對(duì)，且a22+2＝15，則由柯西不等式可知，＝75，B545A3B中一個(gè)元素時(shí)，等號(hào)成立，則“好對(duì)”的個(gè)數(shù)的最小值為45．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了映射的定義，以及柯西不等式，是中檔題．6．若對(duì)?c∈R，?a，b，使得函數(shù)不滿足性質(zhì)T的是（ ）

＝f（c）成立，則稱函數(shù)f（x）滿足性質(zhì)T，下列A．f（x）＝x3﹣3x2+3xC．f（x）＝ex+1【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷．

B．f（x）＝D．f（x）＝sin（2x+1）【分析】對(duì)?c∈R，?a，b，使得 ＝f（c）成立，則f（x）的值域是f′（x）值域的子集，結(jié)合已知函數(shù)的解析式分別求解函數(shù)的值域即可判斷．【解答】解：對(duì)?c∈R，?a，b，使得 ＝f（c）成立，則f（x）的值域是f′（x）值域的子集，A：′（）＝32﹣3＝（﹣1）2[0，+∞，而（）∈，則不滿足題意；B：，令x＝tanα，則g（α）＝﹣，sin2α，cos2α＞0時(shí)，由四元均值不等式可知，sin22α（1+cos22α）＝當(dāng)且僅當(dāng)cos2α＝時(shí)取等號(hào)，

，，而f（x）∈（0，1]，滿足題意．C：f′（x）＝ex+1∈R，f（x）∈R，滿足題意；D：′（）＝2cos（21，f（）[﹣，1]，f′（）[﹣，2]，不滿足題意，TA，D符合題意．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)的值域的求解，屬于中檔試題．7．已知| ＝| |＝，?＝（﹣（﹣）＝0，若| ﹣＝1，求| 的最大值．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【分析】由已知設(shè)向量坐標(biāo)＝（1，0，＝（終點(diǎn)軌跡方程為（﹣）2+（﹣ ）2＝，

，＝（x，y，找出向量的再由兩點(diǎn)間距離公式得向量的終點(diǎn)在圓上，進(jìn)而求| |的最大值．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，∵| |＝| |＝1，?＝，∴ ＝60°則可設(shè)＝（1，，＝（， ，＝（，，∵（﹣（﹣）＝，∴向量的終點(diǎn)軌跡方程為（﹣由于| ﹣|＝1，故| |max＝則||的最大值是 ．

）2＝，＝ ，【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與幾何意義，考查計(jì)算能力．屬于中檔題．8．橢＝1，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線x＝3上，若△ABC為正三角形，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．設(shè)過(guò)F（，0）的直線的方程為＝2，（1，1，B（2，2，聯(lián)立橢圓AB橫坐標(biāo)，|CE|＝|xC﹣xE|，求|CE|，再由等邊三角形的性質(zhì)，解方程可得m，進(jìn)而得到所求面積．【解答】解：設(shè)過(guò)（2，）的直線的方程為＝y(tǒng)2，（1，1，（2，2，由 可得（3+m2）y2+4my﹣2＝0，則y1+y2＝﹣ ，y1y2＝﹣ ，可得|AB| ＝|y1 ﹣y2| ＝＝

? ＝ ?設(shè)AB的中點(diǎn)為E，可得xE＝ ＝ ＝2﹣ ＝ ，則|CE|＝

|3﹣ |＝ ，而 ＝ ，解得m2＝1，所以S△ABC＝

×|AB|2＝

×6＝ ．即△ABC的面積為 ．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查等邊三角形的性質(zhì)和面積，主要考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．圓x2+y2＝4上一點(diǎn)y2＝8xOx0．【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合．【分析】由圓上一點(diǎn)處的切線方程可得AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件，化簡(jiǎn)整理解方程可得所求值．【解答】解：圓x2+y2＝4上一點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程為x0x+y0y＝4，設(shè)（1，1，（2，2，聯(lián)立可得y1y2＝﹣ ，由∠AOB＝90°，可得

可得 +y0y﹣4＝0，＝0，則x1x2+y1y2＝0，即 ? 12＝ 解得x0＝，

﹣ ）2﹣ ＝0，【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓上一點(diǎn)處的切線方程和直線和拋物線的位置關(guān)系，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．a(chǎn)44444444各位數(shù)字和，ba的各位數(shù)字之和，cbc值．【考點(diǎn)】同余的性質(zhì)．【分析】直接利用同余的概念的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由于10004444＜44444444＜100004444，則：3×4444＜4444×lg4444＜4×4444，則：a＜9×（4444×4+1）×9＝159993．a(chǎn)6a6時(shí)，b≤5×9＝45．由情形一和情形二可知：b≤45．情形三：當(dāng)b的個(gè)位為2時(shí)，則c≤3+9＝12，b1由情形三和情形四可知：c≤12．又：4444≡7（d9，73≡（d，所以而44444444≡a≡≡≡7（d9，所以c＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余數(shù)的概念的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．實(shí)數(shù)x，y滿足x2+（y﹣2）2≤1，求 的最大值和最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析利用換元思想，當(dāng)x≠0時(shí)，令t＝，消元，將所求式子變成關(guān)于t的函數(shù)，t的范圍，再次三角換元，即可求出函數(shù)的最大最小值．【解答】解：設(shè)P＝ ，當(dāng)x＝0時(shí)，P＝．當(dāng)x＞0時(shí)，令t＝，由直線y＝tx與圓x2+（y﹣2）2＝1在x＞0時(shí)有交點(diǎn)，