在險(xiǎn)價(jià)值講義

第十一章在險(xiǎn)價(jià)值許多機(jī)構(gòu)對他們從事的一些較新型的交易，通常是與衍生證券有關(guān)的交易，可能帶來怎樣的后果全然不知。在對如何使投資變得更透明的研究過程中，金融界發(fā)展出了一種度量投資或投資組合下方（downside）風(fēng)險(xiǎn)的概念，即在險(xiǎn)價(jià)值ValueatRisk，簡稱VaR）。第一節(jié)在險(xiǎn)價(jià)值的定義

一、在險(xiǎn)價(jià)值的定義在險(xiǎn)價(jià)值：是按某一確定的置信度，對某一給定的時(shí)間期限內(nèi)不利的市場變動(dòng)可能造成投資組合的最大損失的一種估計(jì)。通俗地說VaR是要在給定的置信度（典型的置信度為95％、97.5％、99％等等）下衡量給定的資產(chǎn)或負(fù)債（即投資組合）在一段給定的時(shí)間內(nèi)（針對交易活動(dòng)的時(shí)間可能選取為一天，而針對投資組合管理的時(shí)間則可能選取為一個(gè)月）可能發(fā)生的最大（價(jià)值）損失。VaR是一種對可能實(shí)現(xiàn)的價(jià)值損失的估計(jì),而不只是一種“賬面”損失估計(jì)。例：假設(shè)一個(gè)基金經(jīng)理希望在接下來的10天時(shí)間內(nèi)存在95%概率其所管理的基金價(jià)值損失不超過$1,000,000。則可以將其寫作：其中為投資組合價(jià)值的變動(dòng)。用符合表示,其中為置信度,在上述的例子中是95%

二、選擇合適的VaR參數(shù)要使用VaR就必須選擇定義中的兩個(gè)參數(shù)——時(shí)間長度T和置信度X%。（一）時(shí)間長度在計(jì)算VaR時(shí)有一個(gè)隱含的假設(shè)就是投資組合在所選擇的時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生變化。在選擇合適的時(shí)間長度參數(shù)時(shí)必須考慮下列三個(gè)主要因素：1.新交易發(fā)生的頻率2.收集市場風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)的頻率3.對風(fēng)險(xiǎn)頭寸套期保值（對沖）的頻率

（二）置信度X%在計(jì)算VaR中通常使用的置信度是95％、97.5％或99％。95％置信度的含意是預(yù)期100天中只有5天的損失會(huì)超過對應(yīng)的VaR值。同理，97.5％的置信度表示100天中預(yù)期只有2天半的時(shí)間會(huì)出現(xiàn)損失超過其VaR。VaR并沒有告訴我們在可能超過VaR損失的時(shí)間內(nèi)（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的實(shí)際損失會(huì)是多少。VaR的定義除了告訴我們損失大于某一水平的可能性之外并沒有提供任何關(guān)于整個(gè)收益/損失分布狀況方面的信息。圖11.2具有與圖11.1相同VaR，但不同的尾部三、VaR的使用基本上可以說，任何暴露在金融風(fēng)險(xiǎn)下的機(jī)構(gòu)都應(yīng)該應(yīng)用VaR。VaR的最大特點(diǎn)是：①它用一個(gè)單一的數(shù)字捕捉住了風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)重要方面；②它容易理解；③它詢問簡單的問題:“情況究竟有多糟糕”?根據(jù)VaR應(yīng)用的歷史發(fā)展，可以將其應(yīng)用做如下劃分：1、被動(dòng)式地應(yīng)用：信息報(bào)告。2、防御式地應(yīng)用：控制風(fēng)險(xiǎn)。3、積極式地應(yīng)用：管理風(fēng)險(xiǎn)。

VaR正被全球廣泛的公司機(jī)構(gòu)所應(yīng)用。歸結(jié)起來，它們包括：1、金融機(jī)構(gòu)金融機(jī)構(gòu)通常需要處理大量的不同金融風(fēng)險(xiǎn)來源以及許多復(fù)雜的金融工具。大大提高了風(fēng)險(xiǎn)管理的效率。2、監(jiān)管機(jī)構(gòu)對金融機(jī)構(gòu)審慎監(jiān)管要求金融機(jī)構(gòu)為防范金融風(fēng)險(xiǎn)保證達(dá)到最低資本金要求。一種標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)度量。3、非金融機(jī)構(gòu)在險(xiǎn)現(xiàn)金流分析（cashflowatriskanalysis）能為企業(yè)提供可能面臨資金短缺的臨界值。4、機(jī)構(gòu)投資者機(jī)構(gòu)投資者現(xiàn)在也開始采用VaR來管理他們的金融風(fēng)險(xiǎn)。尤其是在險(xiǎn)資本（capitalatrisk）的概念已被機(jī)構(gòu)投資者廣泛接受。在險(xiǎn)價(jià)值的技術(shù)正不斷被大量采用，并得到不斷發(fā)展。它主要針對的是:1)金融市場風(fēng)險(xiǎn);2)VaR是在假定正態(tài)分布的市場環(huán)境中計(jì)算出來的,這意味著不考慮像市場崩盤這類極端的市場條件。因此,實(shí)際上,VaR度量的是機(jī)構(gòu)日常經(jīng)營期間預(yù)期能夠發(fā)生的情況。VaR的計(jì)算至少需要下列數(shù)據(jù):1）投資組合中所有資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)和波動(dòng)率，2）資產(chǎn)之間的相關(guān)關(guān)系。如果資產(chǎn)是可交易的,可以從市場得到資產(chǎn)的價(jià)格（這種做法被稱為盯市，markingtomarket），否則盯模（markingtomodel）。第二節(jié)單一資產(chǎn)的在險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算

假設(shè)有某一股票，其價(jià)值為S，年波動(dòng)率為σ。我們想要知道在接下來一個(gè)星期內(nèi)具有99%確定性的最大可能損失是多少。在圖11.3中體現(xiàn)了一個(gè)星期時(shí)間中收益率的可能分布狀況。如何估計(jì)VaR?首先，假定股票收益率是正態(tài)分布的。由于時(shí)間期限非常短,可以合理地假定均值為零。圖11.3將將來來股票票收益益率的的分布布一、波波動(dòng)率率換算算在計(jì)算算VaR時(shí)時(shí)，將將波動(dòng)動(dòng)率表表達(dá)成成日波波動(dòng)率率或周周波動(dòng)動(dòng)率。。嚴(yán)格格來說說，應(yīng)應(yīng)該將將定義義成一一天中中連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差。。在實(shí)務(wù)務(wù)中，，通常常假定定它是是一天天百分分比變變動(dòng)的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差。。對于于股票票這樣樣具有有活躍躍交易易市場場的證證券計(jì)計(jì)算的的時(shí)間間期限限是按按交易易日天天數(shù)來來進(jìn)行行計(jì)算算的。。因此此有：：二、單個(gè)資資產(chǎn)在險(xiǎn)價(jià)價(jià)值（VaR）的計(jì)計(jì)算目的的是是計(jì)計(jì)算算出出對對應(yīng)應(yīng)1%=(100-99)%分分布布最最左左邊邊的的尾尾部部位位置置。。計(jì)算算標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布中中的的對對應(yīng)應(yīng)位位置置,由由于于任任何何一一個(gè)個(gè)正正態(tài)態(tài)分分布布都都可可以以通通過過因因子子換換算算來來得得到到。。即即N(x)=0.01，，其其中中為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的累累計(jì)計(jì)函函數(shù)數(shù)。。設(shè)設(shè)為為的的逆逆函函數(shù)數(shù)（（如如圖圖11.4所所示示）），，則則：：即：：99%置置信信度度對對應(yīng)應(yīng)于于均均值值的的2.33個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差。。一般般地地，，如如果果時(shí)時(shí)間間期期限限是是（（以以天天為為單單位位）），，而而要要求求的的置置信信度度是是X％％,如如果果持持有有價(jià)價(jià)值值為為S的的股股票票，，則則VaR被被確確定定為為：：（11.2））置信度偏離均值的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)99%2.32634298%2.05374897%1.8807996%1.75068695%1.64485390%1.281551表11.1置置信信度度與與均均值值離離差差之之間間的的關(guān)關(guān)系系圖11.4標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布累累積積分分布布函函數(shù)數(shù)的的逆逆函函數(shù)數(shù)對于于較較長長時(shí)時(shí)間間的的VaR度度量量收益益率率的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差按按時(shí)時(shí)間間的的平平方方根根比比例例變變化化，，但但均均值值按按時(shí)時(shí)間間本本身身的的比比例例變變化化。。對于于較較長長的的時(shí)時(shí)間間期期限限，，收收益益率率（（如如同同人人們們所所希希望望的的））以以時(shí)時(shí)間間的的比比例例量量向向右右移移。。因因此此，，對對于于較較長長的的時(shí)時(shí)間間度度量量，，表表達(dá)達(dá)式式(11.2)應(yīng)應(yīng)該該考考慮慮對對資資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)價(jià)值值的的漂漂移移加加以以修修正正。。如如果果這這個(gè)個(gè)漂漂移移率率為為μμ，，那那么么(11.2)式式變變成成：：（11.3）例11.1我們持有有一個(gè)價(jià)價(jià)值為$100萬的的X公司司的股票票頭寸，，X公司司股票的的日波動(dòng)動(dòng)率為3%(約約為年48%)，假假定該投投資組合合的價(jià)值值變動(dòng)是是正態(tài)分分布的并并且投資資組合價(jià)價(jià)值的預(yù)預(yù)期變動(dòng)動(dòng)為零(這對對很短的的時(shí)間期期限是正正確的)，計(jì)算算10天天時(shí)間間置信度度為99％的在在險(xiǎn)價(jià)值值。解：在這個(gè)例例子中我我們使用用T=10和和X=99，，，S=$1,000,000。。也就是是說我們們關(guān)心的的是10天內(nèi)置置信度為為99%的可能能最大損損失。根根據(jù)公式式（11.2）），有VaR：：第三節(jié)投投資資組合的的在險(xiǎn)價(jià)價(jià)值計(jì)算算如果假定定：投資資組合的的價(jià)值變變化與市市場標(biāo)的的變量的的價(jià)值變變化是線線性相關(guān)關(guān)的；并并且市場場標(biāo)的變變量的價(jià)價(jià)值變化化是正態(tài)態(tài)分布的的。則我我們只要要知道投投資組合合中所有有資產(chǎn)的的波動(dòng)率率及它們們之間的的相關(guān)系系數(shù)，那那么我們們能為整整個(gè)的投投資組合合計(jì)算VaR。。一、線性性模型設(shè)投資組組合由M個(gè)資產(chǎn)產(chǎn)所組成成。第i個(gè)資產(chǎn)的的價(jià)值為為，，波波動(dòng)率是是，，而而第i個(gè)資產(chǎn)和和第j個(gè)資產(chǎn)之之間的相相關(guān)系數(shù)數(shù)是(其其中=1)。因因此，，該投投資組組合價(jià)價(jià)值一一天的的變動(dòng)動(dòng)為：：(11.4)其中為為第第i個(gè)資產(chǎn)產(chǎn)一天天的價(jià)價(jià)值變變動(dòng)率率，，而為為常數(shù)數(shù)。投資組組合的的方差差為：：（11.5）（11.6）投資組組合的的VaR是是：例11.2某一基基金持持有的的投資資組合合由$100萬萬美元元投資資于X公司司股票票和$200萬萬投資資于Y公司司股票票構(gòu)成成。X公司司股票票的日日波動(dòng)動(dòng)率為為3％％，而而Y公公司股股票的的日波波動(dòng)率率為2％，，并且且X公公司股股票與與Y公公司股股票收收益率率之間間的相相關(guān)系系數(shù)為為0.5。。計(jì)算算該投投資組組合10天天時(shí)間間置信信度為為99％的的在險(xiǎn)險(xiǎn)價(jià)值值（VaR）。。解：在在這個(gè)個(gè)例子子中，，，，而，，。。另外外，N=10和和X=99。。用公公式（（11.6）我我們有有（以以百萬萬美元元表示示）：：所以該該投資資組合合的VaR為$448,184。。線性模模型的的適用用范圍圍線性模模型顯顯然只只適用用于那那些投投資組組合的的價(jià)值值與構(gòu)構(gòu)成該該組合合的市市場變變量呈呈線性性相關(guān)關(guān)的情情況，，這些些情況況包括括：1.股股票的的投資資組合合；2.債債券的的投資資組合合；3.外外匯的的投資資組合合；4.商商品實(shí)實(shí)物的的投資資組合合；5.外外匯遠(yuǎn)遠(yuǎn)期合合約的的投資資組合合；6.利利率互互換和和貨幣幣互換換的投投資組組合；；7.由由上述述工具具共同同構(gòu)成成的投投資組組合。。遠(yuǎn)期和和互換換雖然然是金金融衍衍生工工具，，但它它們都都可以以分解解成相相應(yīng)的的各種種零息息票債債券交交易第四節(jié)節(jié)衍衍生生工具具的在在險(xiǎn)價(jià)價(jià)值估計(jì)包包含衍衍生證證券在在內(nèi)的的投資資組合合的VaR關(guān)關(guān)鍵在在于，，即使使基本本標(biāo)的的證券券價(jià)格格的變變動(dòng)是是正態(tài)態(tài)的，，衍生生證券券本質(zhì)質(zhì)上的的非線線性就就意味味著衍衍生證證券價(jià)價(jià)格的的變動(dòng)動(dòng)可能能同正正態(tài)分分布相相去甚甚遠(yuǎn)。。然而，，如果果所關(guān)關(guān)心的的是基基本標(biāo)標(biāo)的證證券價(jià)價(jià)格一一個(gè)非非常小小的變變化（（比如如在一一個(gè)很很短的的時(shí)間間內(nèi)）），可可以用用期權(quán)權(quán)的delta來來近似似投資資組合合對基基本標(biāo)標(biāo)的證證券價(jià)價(jià)格變變化的的敏感感度。。對于較大大的變動(dòng)動(dòng)，可能能需要采采用某種種高階近近似。一、Delta近似先考慮一一個(gè)由單單一的標(biāo)標(biāo)的證券券S的衍衍生證券券組成的的投資組組合。期期權(quán)或期期權(quán)投資資組合對對標(biāo)的證證券的敏敏感度為為Delta，，用表表示。。則有：其中f是期權(quán)的的價(jià)值，，S是基基本標(biāo)的的證券的的價(jià)值。。令近似地我我們有如果基本本標(biāo)的證證券價(jià)格格變動(dòng)分分布的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差是是，，那那么期權(quán)權(quán)價(jià)格變變動(dòng)分布布的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為。。對于存在在著多個(gè)個(gè)基本標(biāo)標(biāo)的市場場變量時(shí)時(shí)，類似似地有其中是是第i種種基本標(biāo)標(biāo)的市場場變量的的價(jià)格，，Δi為該投資資組合關(guān)關(guān)于第i種基本標(biāo)標(biāo)的市場場變量的的Delta值值。與方程（（11.4）對對應(yīng)的有有：其中。。因此，，方程（（11.5）可可以用來來計(jì)算的的方差或或標(biāo)準(zhǔn)差差。對包括期期權(quán)在內(nèi)內(nèi)的投資資組合的的VaR的估計(jì)計(jì)式:這里是是投投資組合合相對第第i個(gè)個(gè)資產(chǎn)產(chǎn)的變動(dòng)動(dòng)率。二、Delta-Gamma近似對于基本本標(biāo)的證證券價(jià)格格的微小小移動(dòng)delta近似似值是令令人滿意意的。而而對于較較大的變變動(dòng)，更更高階的的近似可可以達(dá)到到更好的的效果，，這就要要將Gamma效應(yīng)或或凸性效效應(yīng)結(jié)合合進(jìn)去。。假如投資資組合由由一個(gè)股股票的期期權(quán)組成成。基本本標(biāo)的證證券價(jià)格格的變動(dòng)動(dòng)與期權(quán)價(jià)價(jià)值變動(dòng)動(dòng)之之間的關(guān)關(guān)系是：：由于有假假定其中取取自一個(gè)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布布這樣有它還可重重寫作(11.7)對于一階階項(xiàng)，期期權(quán)的隨隨機(jī)價(jià)值值只是基基本標(biāo)的的證券價(jià)價(jià)值的一一種簡單單比例關(guān)關(guān)系。對對于二階階項(xiàng)，由由于S的確定性性漂移率率和期權(quán)權(quán)的Theta，存在一個(gè)個(gè)確定性性的漂移移率。然然而，更更重要的的是Gamma效效應(yīng)引入入了一項(xiàng)項(xiàng)使的的隨機(jī)機(jī)成分是是非線性性的。圖11.3期期權(quán)Delta近似分布布、期權(quán)權(quán)Delta/Gamma近似分布布與標(biāo)的的證券分分布的對對照三、二次次方程模模型考慮一個(gè)個(gè)基于單單個(gè)資產(chǎn)產(chǎn)的期權(quán)權(quán)組合，，設(shè)該資資產(chǎn)價(jià)格格為S，投資組組合的Delta為，，Gamma為。。對投投資組合合價(jià)值變變化運(yùn)用用Taylor展開式式有：（11.8）設(shè)公式（11.8）可表表示成：：將上式擴(kuò)擴(kuò)展到包包括M個(gè)個(gè)市場變變量的投投資組合合的情況況，則公公式變成成：（11.9）設(shè)：則公式（（11.9）可可表示成成一種更更一般的的形式：：(11.10)利用公式式（11.10）可以以計(jì)算的的高階矩矩（moments））,運(yùn)用用這些高高階矩可可以估算算所要求求的VaR值對對應(yīng)的概概率率分布的的分位數(shù)數(shù)。但是是這種方方法不像像（11.4））線性模模型那么么好用，，并且需需假定是是正正態(tài)分布布的。這這個(gè)公式式的實(shí)際際應(yīng)用意意義在于于它可以以與模擬擬方法相相結(jié)合，，利用模模擬法來來估計(jì)VaR。。四、估計(jì)計(jì)模型的的運(yùn)用對待有關(guān)關(guān)非線性性證券問問題的有有效辦法法是對基基本標(biāo)的的證券價(jià)價(jià)格的隨隨機(jī)行為為采用模模擬方法法，然后后運(yùn)用估估價(jià)公式式或算法法來推導(dǎo)導(dǎo)整個(gè)投投資組合合變動(dòng)的的分布。。這是對這這類問題題的最終終解決辦辦法，但但它具有有的缺點(diǎn)點(diǎn)是運(yùn)算算非常的的慢，可可能需要要進(jìn)行數(shù)數(shù)萬次的的模擬運(yùn)運(yùn)算，每每次我們們必須要要對一個(gè)個(gè)多因子子偏微分分方程加加以求解解，用這這種方式式計(jì)算VaR將耗耗費(fèi)太多多的時(shí)間間。五、固定定收益投投資組合合當(dāng)資產(chǎn)或或投資組組合依賴賴于利率率時(shí)，則則通常將將每個(gè)工工具的到到期收益益率視為為是正態(tài)態(tài)分布的的變量。。不同證券的的到期收益益率因此具具有適當(dāng)?shù)牡南嚓P(guān)關(guān)系系。價(jià)格與到期期收益率變變