自動控制原理與應(yīng)用(第二版)章-課件

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程

2.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.3傳遞函數(shù)

2.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

2.5典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及階躍響應(yīng)

2.6自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.7MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程12.1控制系統(tǒng)的微分方程

建立微分方程的一般步驟是：①分析系統(tǒng)和元件的工作原理，找出各物理量之間所遵循的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。②一般從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫它們的微分方程。③將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立起來，消去中間變量，求取一個僅含有系統(tǒng)的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統(tǒng)的微分方程。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程建立微分方程的一般步驟是2④將該方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在微分方程的右邊，把與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在微分方程的左邊，方程兩邊各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列，并將方程的系數(shù)化為具有一定物理意義的表示形式，

如時間常數(shù)等。

④將該方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在微3例1:建立圖2-1所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc為輸出量。.

解：

由基爾霍夫定律，

列寫方程

聯(lián)立以上各式，

消去中間變量得

例1:建立圖2-1所示電路的微分方程。ur為輸入量，u4將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T=RC，

則

式中：T稱為該電路的時間常數(shù)。將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T=RC，則式中：T稱為該電路5圖2-1RC無源網(wǎng)絡(luò)

圖2-1RC無源網(wǎng)絡(luò)6例2：建立圖2-2所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc2為輸出量。圖2-2兩級RC無源網(wǎng)絡(luò)

例2：建立圖2-2所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc7解：由基爾霍夫定律，列寫方程

解：由基爾霍夫定律，列寫方程8聯(lián)立以上各式，可得

將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2,則

聯(lián)立以上各式，可得將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T1=R1C1，9

例3：建立圖2-3所示直流電動機(jī)的微分方程。ud為輸入量，n為輸出量。

解：直流電動機(jī)各物理量之間的基本關(guān)系如下：例3：建立圖2-3所示直流電動機(jī)的微分方程。ud為輸入量10圖2-3直流電動機(jī)運(yùn)動模型

圖2-3直流電動機(jī)運(yùn)動模型11式中：，為電樞電壓；e為電樞電動勢；id為電樞電流；Rd為電樞電阻；Td為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為摩擦和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Φ為磁通；KT為電磁常數(shù)；Ke為電動勢常數(shù)；n為轉(zhuǎn)速；J為轉(zhuǎn)動慣量；GD2為飛輪矩。聯(lián)立以上各式得：

式中：τm為電動機(jī)的機(jī)電時間常數(shù)，；τd為電磁時間常數(shù)，

。

式中：，為電樞電壓；e為電樞電動勢；12由上式可見，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速與電動機(jī)自身的固有參數(shù)τm、τd有關(guān)，與電動機(jī)的電樞電壓ud、負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL以及負(fù)載轉(zhuǎn)矩對時間的變化率有關(guān)。若不考慮電動機(jī)負(fù)載的影響，則由上式可見，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速與電動機(jī)自身的固有參數(shù)τm、τ132.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.2.1拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)，t為實(shí)變量，s=σ+jω為復(fù)變量，其線性積分：如果存在，就稱其為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)，記作

2.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.2.1拉普拉斯變換的定義14拉氏變換是一種單值變換。f(t)和F(s)之間具有一一對應(yīng)關(guān)系。通常稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。由拉氏變換的定義，可從已知的原函數(shù)求取對應(yīng)的象函數(shù)，同樣也可由象函數(shù)求取對應(yīng)的原函數(shù)，表2-1是常用的原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表。拉氏變換是一種單值變換。f(t)和F(s)之間具有一一對15表2-1原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表表2-1原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表162.2.2拉普拉斯變換的幾個基本定理

1.線性定理如果F1(s)=L［f1(t)］，F(xiàn)2(s)=L［f2(t)］，且a、b均為常數(shù)，則有

L［af1(t)±bf2(t)］=aL［f1(t)］±bL［f2(t)］=aF1(s)±bF2(s)

2.微分定理如果F(s)=L［f(t)］，則有2.2.2拉普拉斯變換的幾個基本定理17自動控制原理與應(yīng)用(第二版)(章-課件18當(dāng)初始條件為零時，即式中f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n－1階)在t=0時的值都為零，則上式可以寫為當(dāng)初始條件為零時，即式中f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n19

3.積分定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有

……

同樣，當(dāng)式中f(t)及其各重積分在t=0時的值都為零，則上式可以寫為3.積分定理

如果F(s)=L［f(t)］，則20

4.位移定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有實(shí)數(shù)域中位移定理

L［f(t－τ)］=e－τsF(s)

復(fù)域中的位移定理

L［e－αtf(t)］=F(s－α)

5.終值定理

6.初值定理

4.位移定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有212.2.3拉普拉斯反變換

我們將拉普拉斯變換的逆運(yùn)算

稱為拉氏反變換。

上式為復(fù)變函數(shù)，很難直接計(jì)算。該式一般作為拉氏反變換的定義，而在實(shí)際應(yīng)用中常采用下面的方法：先將F(s)分解為一些簡單的有理分式函數(shù)之和，這些基本函數(shù)都是前面介紹的典型函數(shù)形式，然后由拉氏變換表查出其反變換函數(shù)，即得到了原函數(shù)。2.2.3拉普拉斯反變換

我們將拉普拉斯變換的逆運(yùn)22設(shè)F(s)的一般表達(dá)式為式中，a1、…、an－1、an以及b0、b1、…、bm－1、bm為實(shí)數(shù)系數(shù)，m、n為正，且m<n。設(shè)F(s)的一般表達(dá)式為23

1.A(s)=0無重根其中各項(xiàng)系數(shù)可按下式求得1.A(s)=0無重根24

2.A(s)=0有重根上式中C1、…、Cr－1、Cr為重根之系數(shù)，可按下式求解Cr+1、…、Cn為不重根之系數(shù)，其求解方法與無重根時相同。2.A(s)=0有重根25故故26

例4已知F(s)=，求其拉氏反變換。

解：由A(s)=s2+4s+3=0,得

s1=－1，s2=－3C1=F(s)(s+1)|s=－1=2

C2=F(s)(s+3)|s=－3=－1例4已知F(s)=，求其拉氏反變換。27故

對上式進(jìn)行拉氏反變換得到

f(t)=2e－t－e－3t故28

例5已知，求其拉氏反變換。解:由A(s)=s2(s+2)=0得

s1=s2=0，s3=－2

C1=F(s)s2|s=0=4

C2=［F(s)s2］′|s=0=－2

C3=F(s)(s+2)|s=－2=2例5已知，求其拉氏反變換。29故

對上式進(jìn)行拉氏反變換得到

f(t)=4t2－2+2e－2t故302.2.4控制系統(tǒng)微分方程的求解用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟如下：①將微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的變換方程；②解出變換方程，即求出輸出量的拉氏變換表達(dá)式；③將輸出量的象函數(shù)展開成部分分式表達(dá)式；④對輸出量的部分分式進(jìn)行拉氏反變換，即可得微分方程的解。2.2.4控制系統(tǒng)微分方程的求解31

例6求圖2-1所示電路中的uc。其中ur=1(t)，uc及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為零。解：由例1知系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下，對上式進(jìn)行拉氏變換得到

TsUc(s)+Uc(s)=Ur(s)由于ur=1(t)的拉氏變換為

，則輸出量的拉氏變換式為例6求圖2-1所示電路中的uc。其中ur=1(t)，32將上式展開成部分分式表達(dá)式

取拉氏反變換得微分方程的解為將上式展開成部分分式表達(dá)式33

例7已知系統(tǒng)的微分方程為，y及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為零。試求在x=1(t)時系統(tǒng)的輸出y。解：對微分方程進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換

s2Y(s)+2sY(s)+Y(s)=X(s)由于x=1(t)的拉氏變換為,則輸出量的拉氏變換式為例7已知系統(tǒng)的微分方程為，y及各階導(dǎo)34將上式展開成部分分式表達(dá)式取拉氏反變換，得微分方程的解為

y=1－te－t－e－t將上式展開成部分分式表達(dá)式352.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義設(shè)描述系統(tǒng)或元件的微分方程的一般表示形式為

式中：r(t)為系統(tǒng)的輸入量；c(t)為系統(tǒng)的輸出量；2.3傳遞函數(shù)2.3.1傳遞函數(shù)的定義式中：r(t)36為了便于分析系統(tǒng)，規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即在t=0-時系統(tǒng)的輸出：

這表明，在外作用加于系統(tǒng)的瞬時(t=0)之前，系統(tǒng)是相對靜止的，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對于平衡工作點(diǎn)的增量為零。所以，

在初始條件為零時，

對微分方程的一般表示式兩邊進(jìn)行拉氏變換

為了便于分析系統(tǒng)，規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即在t=037即

則有

令 ，稱為系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，則可得傳遞函數(shù)的定義為：在初始條件為零時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。

即

即則有令 ，稱為系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，則可得382.3.2傳遞函數(shù)的求取1．直接計(jì)算法對于系統(tǒng)或元件，首先建立描述元件或系統(tǒng)的微分方程式，然后在零初始條件下，對方程式進(jìn)行拉氏變換，即可按傳遞函數(shù)的定義求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

例8：試求取圖2-3所示直流電動機(jī)的轉(zhuǎn)速與輸入電壓之間的傳遞函數(shù)。

解：對求取的直流電動機(jī)的微分方程式進(jìn)行拉氏變換后可得

2.3.2傳遞函數(shù)的求取39根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，則其傳遞函數(shù)為

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，則其傳遞函數(shù)為40

2．阻抗法求取無源網(wǎng)絡(luò)或電子調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，采用阻抗法較為方便。電路中的電阻、電感、電容元件的復(fù)域模型電路如圖2-4所示。

其傳遞函數(shù)分別為電阻元件

電感元件

電容元件

2．阻抗法電阻元件電感元件電容元件41圖2-4R、L、C元件的復(fù)域模型

圖2-4R、L、C元件的復(fù)域模型42

例9：試求圖2-5(a)所示電路的傳遞函數(shù)，uo為輸出量，ui為輸入量。圖2-5RLC串聯(lián)電路

例9：試求圖2-5(a)所示電路的傳遞函數(shù)，uo為輸出量43

解：圖2-5(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-5(b)所示。由基爾霍夫定律得

經(jīng)整理得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解：圖2-5(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-5(b)所示44

例10：試求取圖2-6(a)所示電路的傳遞函數(shù)。uo為輸出量，ui為輸入量。圖2-6積分調(diào)節(jié)器

例10：試求取圖2-6(a)所示電路的傳遞函數(shù)。uo為45

解：圖2-6(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-6(b)所示。由電子技術(shù)知識可得

解：圖2-6(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-6(b)所示46

3．利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求取傳遞函數(shù)對于較復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)先求出元件的傳遞函數(shù)，再利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖和框圖運(yùn)算法則，可方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。該方法將在后面的內(nèi)容中討論。

3．利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求取傳遞函數(shù)472.3.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)傳遞函數(shù)是由微分方程變換得來的，它和微分方程之間存在著對應(yīng)的關(guān)系。對于一個確定的系統(tǒng)(輸入量與輸出量也已經(jīng)確定)，它的微分方程是惟一的，所以，其傳遞函數(shù)也是唯一的。

2.3.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)48(2)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s(s=σ+jω)的有理分式，s是復(fù)數(shù)，而分式中的各項(xiàng)系數(shù)an，an-1，…，a1，a0及bm，bm－1，…，b1，b0都是實(shí)數(shù)，它們是由組成系統(tǒng)的元件結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定的，而與輸入量、擾動量等外部因素?zé)o關(guān)。因此傳遞函數(shù)代表了系統(tǒng)的固有特性，是一種用象函數(shù)來描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，稱為系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型。(2)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s(s=σ+jω)的有理分式，s49(3)傳遞函數(shù)是一種運(yùn)算函數(shù)。由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)。此式表明，若已知一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)，則對任何一個輸入量r(t)，只要以R(s)乘以G(s)，即可得到輸出量的象函數(shù)C(s)，再以拉氏反變換，就可得到輸出量c(t)。由此可見，G(s)起著從輸入到輸出的傳遞作用，故名傳遞函數(shù)。(3)傳遞函數(shù)是一種運(yùn)算函數(shù)。由G(s)=C(s)/R50(4)傳遞函數(shù)的分母是它所對應(yīng)的微分方程的特征方程多項(xiàng)式，即傳遞函數(shù)的分母是特征方程ansn+an－1sn－1+…+a1s+a0=0的等號左邊部分。而以后的分析表明：特征方程的根反映了系統(tǒng)的動態(tài)過程的性質(zhì)，所以由傳遞函數(shù)可以研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。特征方程的階次n即為系統(tǒng)的階次。(5)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式的階次總是低于分母多項(xiàng)式的階次，即m≤n。這是由于系統(tǒng)總是含有慣性元件以及受到系統(tǒng)能源的限制的原因。(4)傳遞函數(shù)的分母是它所對應(yīng)的微分方程的特征方程多項(xiàng)512.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

2.4.1動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖一般由信號線、引出點(diǎn)、綜合點(diǎn)和功能框等部分組成。它們的圖形如圖2－7所示。現(xiàn)分別介紹如下：(1)信號線。信號線表示流通的途徑和方向，用帶箭頭的直線表示。一般在線上標(biāo)明該信號的拉氏變換式，如圖2-7(a)所示。

2.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.4.1動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成52(2)引出點(diǎn)。引出點(diǎn)又稱為分離點(diǎn)，如圖2-7(b)所示，它表示信號線由該點(diǎn)取出。從同一信號線上取出的信號，其大小和性質(zhì)完全相同。(3)綜合點(diǎn)。綜合點(diǎn)又稱為比較點(diǎn)，完成兩個以上信號的加減運(yùn)算?！?”表示相加；“-”表示相減。通?！?”可省略不寫。如圖2-7(c)所示。(2)引出點(diǎn)。引出點(diǎn)又稱為分離點(diǎn)，如圖2-7(b)所示53(4)功能框。功能框表示系統(tǒng)或元件，如圖2-7(d)所示?？蜃筮呄騼?nèi)的箭頭為輸入量(拉氏變換式)，框右邊向外箭頭為輸出量(拉氏變換式)?？驁D為系統(tǒng)中一個相對獨(dú)立的單元的傳遞函數(shù)G(s)。它們之間的關(guān)系為C(s)=G(s)R(s)。(4)功能框。功能框表示系統(tǒng)或元件，如圖2-7(d)所54圖2-7結(jié)構(gòu)圖的基本元素

圖2-7結(jié)構(gòu)圖的基本元素552.4.2控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立建立系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟是：(1)列寫系統(tǒng)各元件的微分方程;(2)對各元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，求取其傳遞函數(shù)，標(biāo)明輸入量和輸出量;(3)按照系統(tǒng)中各量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，輸入量置于左端，輸出量置于右端，便得到系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

2.4.2控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立56例11：試?yán)L出圖2-1所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：以ur為輸入量，uc為輸出量。由基爾霍夫定律，列寫方程例11：試?yán)L出圖2-1所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。57對以上各式進(jìn)行拉氏變換得

由上面各式可分別畫出如圖2-8(a)、(b)、(c)所示的結(jié)構(gòu)圖。

對以上各式進(jìn)行拉氏變換得由上面各式可分別畫出如圖2-8(a58圖2-8RC電路結(jié)構(gòu)圖的建立過程

圖2-8RC電路結(jié)構(gòu)圖的建立過程59圖2-9RC電路結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)系統(tǒng)中信號的傳遞關(guān)系及方向，可畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如圖2-9所示。圖2-9RC電路結(jié)構(gòu)圖根據(jù)系統(tǒng)中信號的60例12：建立圖2-2所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。ur為輸入量，uc2為輸出量。

解：由基爾霍夫定律，列寫方程

例12：建立圖2-2所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。ur為輸入量，61對以上各式進(jìn)行拉氏變換得

對以上各式進(jìn)行拉氏變換得62圖2-10兩級RC電路結(jié)構(gòu)圖的建立過程

圖2-10兩級RC電路結(jié)構(gòu)圖的建立過程632.4.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及化簡

1.串聯(lián)變換規(guī)則傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框,若G1(s)的輸出量作為G2(s)輸入量,則稱G1(s)和G2(s)串聯(lián),如圖2-11(a)所示。(注意：兩個串聯(lián)的方框所代表的元件之間無負(fù)載效應(yīng)。)圖2-11串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

2.4.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及化簡1.串聯(lián)變64由圖2-11(a)有

則

式中:G(s)=G1(s)G2(s)，是串聯(lián)方框的等效傳遞函數(shù)，可用圖2-11(b)所示結(jié)構(gòu)圖表示。由此可知，當(dāng)系統(tǒng)中有兩個(或兩個以上)環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其等效傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。這個結(jié)論可推廣到n個串聯(lián)連接的方框。

由圖2-11(a)有則式中:G(s)=G1(s)G2(s65

2.并聯(lián)變換規(guī)則傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框,若它們有相同的輸入量，而輸出量等于兩個方框輸出量的代數(shù)和時，則G1(s)和G2(s)為并聯(lián)連接,如圖2-12(a)所示。由圖2-12(a)有

2.并聯(lián)變換規(guī)則66則

式中：G(s)=G1(s)±G2(s)，是并聯(lián)方框的等效傳遞函數(shù)，可用圖2-12(b)所示結(jié)構(gòu)圖表示。由此可知，當(dāng)系統(tǒng)中兩個(或兩個以上)環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其等效傳遞函數(shù)為各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和。這個結(jié)論可推廣到n個并聯(lián)連接的方框。則式中：G(s)=G1(s)±G2(s)，是并聯(lián)方框的等效67圖2-12并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換圖2-12并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換68

3.反饋聯(lián)接變換規(guī)則若傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個方框,如圖2-13(a)所示形式連接，則稱為反饋連接?！?”為正反饋，表示輸入信號與反饋信號相加；“－”為負(fù)反饋，表示輸入信號與反饋信號相減。由圖2-13(a)有

3.反饋聯(lián)接變換規(guī)則由圖2-13(a)有69圖2-13反饋結(jié)構(gòu)圖的等效變換

圖2-13反饋結(jié)構(gòu)圖的等效變換70則

或

式中：G(s)為前向通道傳遞函數(shù);H(s)為反饋通道傳遞函數(shù);Φ(s)為反饋聯(lián)接的等效傳遞函數(shù)，一般稱它為閉環(huán)傳遞函數(shù)。式中分母中的加號，對應(yīng)于負(fù)反饋，減號對應(yīng)于正反饋。則或式中：G(s)為前向通道傳遞函數(shù);H(s)為反饋通714.引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動規(guī)則移動規(guī)則的出發(fā)點(diǎn)是等效原則，即移動前后的輸入量和輸出量保持不變。1)引出點(diǎn)的移動①

引出點(diǎn)的前移,如圖2-14所示。

4.引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動規(guī)則72圖2-14引出點(diǎn)前移(a)移動前；(b)

移動后

圖2-14引出點(diǎn)前移73②

引出點(diǎn)的后移，

如圖2-15所示。

圖2-15引出點(diǎn)后移(a)移動前；(b)移動后②引出點(diǎn)的后移，如圖2-15所示。圖2-15引出點(diǎn)后74③

相鄰引出點(diǎn)之間互移，如圖2-16所示。相鄰的引出點(diǎn)之間互移引出量不變。

圖2-16引出點(diǎn)之前的移動(a)移動前；(b)移動后

③相鄰引出點(diǎn)之間互移，如圖2-16所示。相鄰的引出點(diǎn)之752)綜合點(diǎn)的移動①

綜合點(diǎn)的前移，

如圖2-17所示。

圖2-17綜合點(diǎn)前移(a)移動前；(b)

移動后

2)綜合點(diǎn)的移動圖2-17綜合點(diǎn)前移76②

綜合點(diǎn)的后移，

如圖2-18所示。

圖2-18綜合點(diǎn)后移(a)移動前；(b)

移動后

②綜合點(diǎn)的后移，如圖2-18所示。圖2-18綜合點(diǎn)后77③

綜合點(diǎn)之間的互移，

如圖2-19所示。

相鄰的綜合點(diǎn)之間可以互移。

圖2-19綜合點(diǎn)之前的移動(a)移動前；(b)移動后

③綜合點(diǎn)之間的互移，如圖2-19所示。相鄰的綜合點(diǎn)78

5.等效單位反饋若系統(tǒng)為反饋系統(tǒng)，可通過等效變換將其轉(zhuǎn)換為單位反饋系統(tǒng)，

如圖2-20所示。

圖2-20等效單位反饋

5.等效單位反饋圖2-20等效單位反饋79

例13：用結(jié)構(gòu)圖的等效變換，求圖2-21(a)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。

解：由于此系統(tǒng)有相互交叉的回路，所以先要通過引出點(diǎn)或綜合點(diǎn)的移動來消除相互交叉的回路，然后再應(yīng)用串、并聯(lián)和反饋連接等變換規(guī)則求取其等效傳遞函數(shù)?；嗊^程如圖2-21(b)、(c)、(d)所示。例13：用結(jié)構(gòu)圖的等效變換，求圖2-21(a)所示系統(tǒng)的80圖2-21交叉多回路系統(tǒng)的化簡

圖2-21交叉多回路系統(tǒng)的化簡81

例14：用結(jié)構(gòu)圖的等效變換，求圖2-22(a)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。

解：化簡過程如圖2-22(b)、(c)、(d)、(e)、(f)所示。例14：用結(jié)構(gòu)圖的等效變換，求圖2-22(a)所示系統(tǒng)的82圖2-22交叉多回路系統(tǒng)的化簡

圖2-22交叉多回路系統(tǒng)的化簡832.4.4用公式法求傳遞函數(shù)應(yīng)用梅遜公式可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這里只給出公式，不作證明。梅遜公式的一般表示形式為

式中：Φ(s)為系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)；Δ為特征式，有

∑La為系統(tǒng)中所有回路的回路傳遞函數(shù)之和；

2.4.4用公式法求傳遞函數(shù)式中：Φ(s)為系統(tǒng)等效傳遞函84∑LaLb為系統(tǒng)中所有兩個互不接觸回路的回路傳遞函數(shù)乘積之和；∑LaLbLc為系統(tǒng)中所有三個互不接觸的回路傳遞函數(shù)乘積之和；Pk是從輸入端至輸出端的第k條前向通路的傳遞函數(shù)；Δk是與第k條前向通路不接觸部分的Δ值，稱為第k條前向通路的余因子?；芈穫鬟f函數(shù)是指反饋回路的前向通路和反饋通路的傳遞函數(shù)的乘積，并包含代表反饋極性的正、負(fù)號?！芁aLb為系統(tǒng)中所有兩個互不接觸回路的回路傳遞函數(shù)乘積85例15：利用梅遜公式求圖2-23所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖2-23系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

例15：利用梅遜公式求圖2-23所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖2-86

解：由圖2-23可知，系統(tǒng)前向通路有兩條，k=2。各前向通路傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)有5個反饋回路，各回路的傳遞函數(shù)分別為：

解：由圖2-23可知，系統(tǒng)前向通路有兩條，k=2。各前向87所以

系統(tǒng)的所有回路都相互接觸，故特征式為

所以系統(tǒng)的所有回路都相互接觸，故特征式為88兩條前向通路均與所有回路有接觸，

故其余子式為

由梅遜公式得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

兩條前向通路均與所有回路有接觸，故其余子式為由梅遜公式89

例16：利用梅遜公式求圖2-21所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：從圖2-21可以看出，系統(tǒng)前向通路有一條，其前向通路的傳遞函數(shù)為

反饋回路有3個，各回路的傳遞函數(shù)分別為：

例16：利用梅遜公式求圖2-21所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。90所以

而且，

回路Ⅰ與Ⅲ互不接觸，所以

其特征式為

所以而且，回路Ⅰ與Ⅲ互不接觸，所以其特征式為91兩個回路均與前向通道P1接觸，故其余子式為

由梅遜公式得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

兩個回路均與前向通道P1接觸，故其余子式為由梅遜公式得系統(tǒng)922.5典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及階躍響應(yīng)

2.5.1典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量與輸入量成正比，

無失真和延時，

其微分方程為

比例環(huán)節(jié)是自動控制系統(tǒng)中遇到的最多的一種典型環(huán)節(jié)。例如電子放大器、杠桿機(jī)構(gòu)、永磁式發(fā)電機(jī)、電位器等，如圖2-24所示。

2.5典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及階躍響應(yīng)2.5.1典型環(huán)93圖2-24比例環(huán)節(jié)實(shí)例

圖2-24比例環(huán)節(jié)實(shí)例94

2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量為輸入量的積分，當(dāng)輸入量消失后，輸出量具有記憶功能。其微分方程為

式中：T為積分時間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是它的輸出量為輸入量對時間的積累。因此，凡是輸出量對輸入量有儲存和積累特點(diǎn)的元件一般都含有積分環(huán)節(jié)。如電容的電量與電流等。積分環(huán)節(jié)也是自動控制系統(tǒng)中遇到最多的環(huán)節(jié)之一。圖2-25所示為積分環(huán)節(jié)的例子。

2.積分環(huán)節(jié)式中：T為積分時間常數(shù)。95圖2-25積分環(huán)節(jié)實(shí)例

圖2-25積分環(huán)節(jié)實(shí)例96

3.理想微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量是輸入量的微分，輸出量能預(yù)示輸入量的變化趨勢。理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為

式中：τ為微分時間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系恰好與積分環(huán)節(jié)相反，傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，積分環(huán)節(jié)(如圖2-25所示)的實(shí)例的逆過程就是理想微分。如電感元件的電流與電壓之間的關(guān)系即為一理想微分環(huán)節(jié)。3.理想微分環(huán)節(jié)式中：τ為微分時間常數(shù)。97

4.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)含有一個儲能元件，因而對輸入量不能立即響應(yīng)，但輸出量不發(fā)生振蕩現(xiàn)象。其微分方程為

式中：T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

慣性環(huán)節(jié)實(shí)例1：電阻、電容電路(RC網(wǎng)絡(luò))，如圖2-26所示。

4.慣性環(huán)節(jié)式中：T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)實(shí)98由基爾霍夫定律可得電路的微分方程為

則

式中：τ=RC。

由基爾霍夫定律可得電路的微分方程為則式中：τ=RC。99圖2-26RC無源網(wǎng)絡(luò)

圖2-26RC無源網(wǎng)絡(luò)100圖2-27慣性調(diào)節(jié)器

圖2-27慣性調(diào)節(jié)器101因運(yùn)算放大器的開環(huán)增益很大，輸入阻抗很高，所以

于是有

因運(yùn)算放大器的開環(huán)增益很大，輸入阻抗很高，所以于是有102經(jīng)整理得

式中：，

慣性環(huán)節(jié)實(shí)例3：彈簧—阻尼系統(tǒng),如圖2-28所示。其中阻尼力 ，

式中B為粘性阻尼系數(shù)。

經(jīng)整理得式中：，慣性環(huán)節(jié)實(shí)例3：彈簧—阻尼系103圖2-28彈簧—阻尼系統(tǒng)圖2-28彈簧—阻尼系統(tǒng)104分析系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，得出系統(tǒng)的彈簧力為

由于系統(tǒng)的阻尼力與彈簧力兩力相等，即f1=f2，于是有

經(jīng)整理得

式中：

，k為彈性系數(shù)。

分析系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，得出系統(tǒng)的彈簧力為由于系統(tǒng)的1055.比例微分環(huán)節(jié)比例微分環(huán)節(jié)又稱為一階微分環(huán)節(jié)，

其微分方程為

式中，τ為微分時間常數(shù)。

如圖2-29所示為一比例微分調(diào)節(jié)器。

5.比例微分環(huán)節(jié)式中，τ為微分時間常數(shù)。如圖2-29所示為106圖2-29比例微分調(diào)節(jié)器

圖2-29比例微分調(diào)節(jié)器107由系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，可列寫出其微分方程為

由系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，可列寫出其微分方程為108于是有

經(jīng)整理得

于是有經(jīng)整理得1096．振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)包含兩個儲能元件，能量在兩個元件之間相互轉(zhuǎn)換，因而其輸出出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。其微分方程為：

直流電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型就是一個振蕩環(huán)節(jié)，我們在前面已經(jīng)作過介紹。在如圖2-30所示的RLC串聯(lián)電路中，其輸入電壓為ur，輸出電壓為uc。6．振蕩環(huán)節(jié)直流電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型就是一個振蕩環(huán)節(jié)，我們110圖2-30RLC串聯(lián)電路圖2-30RLC串聯(lián)電路111由基爾霍夫定律有

整理成標(biāo)準(zhǔn)形式后，

其微分方程為

由基爾霍夫定律有整理成標(biāo)準(zhǔn)形式后，其微分方程為112

7.延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)也是一個線性環(huán)節(jié)，其特點(diǎn)是輸出量在延遲一定的時間后復(fù)現(xiàn)輸入量。其微分關(guān)系為

式中：τ0為延遲時間。

7.延遲環(huán)節(jié)式中：τ0為延遲時間。113如在晶閘管整流電路中，當(dāng)控制角由α1變到α2時，若晶閘管已導(dǎo)通，則要等到下一個自然換相點(diǎn)以后才起作用。這樣，晶閘管整流電路的輸出電壓較控制電壓的改變延遲了一段時間。若延遲時間為τ0，觸發(fā)整流電路的輸入電壓為ui(t)，整流器的輸出電壓為uo(t)，則如在晶閘管整流電路中，當(dāng)控制角由α1變到α2時，若晶閘管1142.5.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及階躍響應(yīng)1.比例環(huán)節(jié)1)

微分方程

2)傳遞函數(shù)為：

其功能框如圖2-31(a)所示。

2.5.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及階躍響應(yīng)2)傳遞函數(shù)為：1153)動態(tài)響應(yīng)當(dāng)r(t)=1(t)時，c(t)=K1(t)，表明比例環(huán)節(jié)能立即成比例地響應(yīng)輸入量的變化。比例環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線如圖2-31(b)所示。3)動態(tài)響應(yīng)116圖2-31比例環(huán)節(jié)圖2-31比例環(huán)節(jié)1172.積分環(huán)節(jié)1)

微分方程

式中：T為積分時間常數(shù)。

2)

傳遞函數(shù)

其功能框圖如圖2-32(a)所示。

2.積分環(huán)節(jié)式中：T為積分時間常數(shù)。2)傳遞函數(shù)其功118圖2-32積分環(huán)節(jié)(a)功能框圖；(b)階躍響應(yīng)

圖2-32積分環(huán)節(jié)1193)動態(tài)響應(yīng)若r(t)=1(t)時，R(s)=1/s，則所以

其階躍響應(yīng)曲線如圖2-32(b)所示。由圖可見，輸出量隨著時間的增長而不斷增加，

增長的斜率為1/T。

3)動態(tài)響應(yīng)所以其階躍響應(yīng)曲線如圖2-32(b)所示。1203.理想微分環(huán)節(jié)1)

微分方程

式中：τ為微分時間常數(shù)。

2)傳遞函數(shù)為

其功能框如圖2-33(a)所示。

3.理想微分環(huán)節(jié)式中：τ為微分時間常數(shù)。2)傳遞函數(shù)為121圖2-33微分環(huán)節(jié)(a)功能框圖；(b)

階躍響應(yīng)

圖2-33微分環(huán)節(jié)1223)動態(tài)響應(yīng)若r(t)=1(t)時，R(s)=1/s，則所以

δ(t)為單位脈沖函數(shù),其階躍響應(yīng)曲線如圖2-33(b)所示。

3)動態(tài)響應(yīng)所以δ(t)為單位脈沖函數(shù),其階躍響應(yīng)曲1234.慣性環(huán)節(jié)1)

微分方程

2)

傳遞函數(shù)

其功能框圖如圖2-34(a)所示。

4.慣性環(huán)節(jié)2)傳遞函數(shù)其功能框圖如圖2-34(a)所示124圖2-34慣性環(huán)節(jié)(a)功能框圖；(b)階躍響應(yīng)

圖2-34慣性環(huán)節(jié)1253)動態(tài)響應(yīng)若r(t)=1(t)時，R(s)=1/s，

則

所以

慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線如圖2-34(b)所示。由圖可見，當(dāng)輸入信號發(fā)生突變時，輸出量不能突變，只能按指數(shù)規(guī)律逐漸變化，這就反映了該環(huán)節(jié)具有慣性。

3)動態(tài)響應(yīng)所以慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線如圖2-341265.比例微分環(huán)節(jié)1)

微分方程

2)

傳遞函數(shù)

式中：τ為微分時間常數(shù)。比例微分環(huán)節(jié)的功能框圖如圖2-35(a)所示。

5.比例微分環(huán)節(jié)2)傳遞函數(shù)式中：τ為微分時間常數(shù)。比127圖2-35比例微分環(huán)節(jié)(a)功能框圖；(b)階躍響應(yīng)

圖2-35比例微分環(huán)節(jié)1283)動態(tài)響應(yīng)比例微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)為比例與微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)的疊加，如圖2-35(b)所示。

3)動態(tài)響應(yīng)1296.振蕩環(huán)節(jié)1)

微分方程

2)

傳遞函數(shù)

式中：ωn=1/T，稱為無阻尼自然振蕩頻率；ξ稱為阻尼系數(shù)。振蕩環(huán)節(jié)的功能框圖如圖2-36(a)

所示。

6.振蕩環(huán)節(jié)2)傳遞函數(shù)式中：ωn=1/T，稱為無阻尼130圖2-36振蕩環(huán)節(jié)(a)功能框圖；(b)階躍響應(yīng)

圖2-36振蕩環(huán)節(jié)1313)動態(tài)響應(yīng)

當(dāng)ξ=0時，c(t)為等幅振蕩,其振蕩頻率為ωn。ωn稱為無阻尼自然振蕩頻率。當(dāng)0<ξ<1時，c(t)為減幅振蕩，其振蕩頻率為ωd。ωd稱為阻尼振蕩頻率。式中：，。其階躍響應(yīng)，曲線如圖2-36(b)所示。

3)動態(tài)響應(yīng)式中：，1327.延遲環(huán)節(jié)1)

微分方程

式中：τ0為延遲時間。

7.延遲環(huán)節(jié)式中：τ0為延遲時間。1332)傳遞函數(shù)由拉氏變換轉(zhuǎn)換可得

若將按泰勒級數(shù)展開，

則

由于τ0很小，所以可只取前兩項(xiàng)，，

于是有

2)傳遞函數(shù)若將按泰勒級數(shù)展開，則由于τ0很小，所1343)動態(tài)響應(yīng)延遲環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)如圖2-37(b)所示。

圖2-37延遲環(huán)節(jié)(a)功能框圖；(b)階躍響應(yīng)

3)動態(tài)響應(yīng)圖2-37延遲環(huán)節(jié)1352.6自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)的典型框圖如圖2-38所示。系統(tǒng)的輸入量包括給定信號和干擾信號。對于線性系統(tǒng)，可以分別求出給定信號和干擾信號單獨(dú)作用下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。當(dāng)兩信號同時作用于系統(tǒng)時，可以應(yīng)用疊加原理，求出系統(tǒng)的輸出量。為了便于分析系統(tǒng)，下面我們給出系統(tǒng)的幾種傳遞函數(shù)表示法。

2.6自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動控制系統(tǒng)的典型框136圖2-38自動控制系統(tǒng)的一般形式

圖2-38自動控制系統(tǒng)的一般形式1371.閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)我們定義閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

注意:G0(s)為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),這里是指斷開主反饋通路(開環(huán))而得到的傳遞函數(shù)，而不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

1.閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)注意:G0(s)為閉環(huán)系統(tǒng)138

2.系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1)在輸入量R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮輸入量R(s)作用，則可暫略去擾動量D(s)。則由圖2-38可得輸出量C(s)對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)GR(s)為此時系統(tǒng)的輸出量CR(s)為

2.系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)此時系統(tǒng)的輸出量CR(s)為1392)在擾動量D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮擾動量D(s)作用，則可暫略去輸入信號R(s)。圖2-38可化簡為如圖2-39所示的形式。因此，得輸出量C(s)對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)GD(s)為此時系統(tǒng)的輸出量CD(s)為

2)在擾動量D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出140圖2-39擾動量作用時的框圖(a)僅考慮擾動量作用時的一般形式；(b)僅考慮擾動量作用時的等效框圖

圖2-39擾動量作用時的框圖1413)在R(s)和D(s)共同作用下，系統(tǒng)的總輸出設(shè)此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，因此可以應(yīng)用疊加定理：即當(dāng)輸入量和擾動量同時作用時，系統(tǒng)的輸出可看成兩個作用量分別作用的疊加。于是有3)在R(s)和D(s)共同作用下，系統(tǒng)的總輸出142

3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)在對自動控制系統(tǒng)的分析中，除了要了解輸出量的變化規(guī)律外，還要關(guān)心誤差的變化規(guī)律?？刂普`差的大小，也就達(dá)到了控制系統(tǒng)的精度的目的，而偏差與誤差之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，因此通過偏差可達(dá)到分析誤差的目的。我們暫且規(guī)定，系統(tǒng)的偏差e(t)為被控量c(t)的測量信號b(t)和給定信號r(t)之差，即則

3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)則143圖2-40閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)的一般形式

圖2-40閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)的一般形式1441)只有輸入量R(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)若求輸入量R(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)，則可暫略去擾動量D(s)的影響。如圖2-41所示為在輸入量R(s)作用下偏差的結(jié)構(gòu)圖。所以有

1)只有輸入量R(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)所以有145圖2-41僅考慮輸入量時的偏差傳遞函數(shù)框圖

圖2-41僅考慮輸入量時的偏差傳遞函數(shù)框圖1462)只有擾動量D(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)若求在擾動量D(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)，同理，可暫略去輸入量R(s)的影響,如圖2-42所示。所以

2)只有擾動量D(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)147圖2-42僅考慮擾動量作用時的誤差傳遞函數(shù)框圖(a)僅考慮擾動量作用時的框圖；(b)僅考慮擾動量作用時的等效框圖圖2-42僅考慮擾動量作用時的誤差傳遞函數(shù)框圖1483)R(s)和D(s)同時作用下的偏差若在R(s)和D(s)同時作用下，則其偏差就為兩者偏差之和，即

3)R(s)和D(s)同時作用下的偏差1492.7MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示在進(jìn)行控制系統(tǒng)分析之前，首先要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。MATLAB命令中可以建立三種控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)模型（TF模型）、零點(diǎn)模型（ZPK模型）和狀態(tài)模型（SS模型）。各模型之間要以由轉(zhuǎn)換函數(shù)相互轉(zhuǎn)換，以滿足不同的使用需求。對結(jié)構(gòu)圖表示的系統(tǒng)可以用反饋函數(shù)、并聯(lián)函數(shù)、串聯(lián)函數(shù)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。2.7MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示在進(jìn)行控制系統(tǒng)分析1502.7.1傳遞函數(shù)模型（FT模型）線性定?？刂葡到y(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可表示為式中,ai和bj均為常數(shù)。在MATLAB中可以用分子、分母系數(shù)向量num、den來表示傳遞函數(shù)G(s)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)為tf（），其調(diào)用格式如下：num=［b0，b1，…，bm－1，bm］den=［a0，a1，…，an－1，an］sys=tf(num，den)注意：構(gòu)成分子、分母的向量應(yīng)按降冪排列，缺項(xiàng)部分用0補(bǔ)齊。2.7.1傳遞函數(shù)模型（FT模型）151

例17系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試用MATLAB中語句建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。

解：MATLAB程序如下：例17系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為152%example17num=［1，2，3］；den=［2，3，2，1］；sys=tf(num，den)執(zhí)行結(jié)果：Transferfunction：s^2+2s+3--------------------------2s^3+3s^2+2s+%example17153

例18系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試在MATLAB中生成系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。

解：MATLAB程序如下：例18系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為154%example18num=［10，10］；den=conv(［1，0，0］，conv(［1，3］，［1，6，10］))；sys=tf(num，den)執(zhí)行結(jié)果：Transferfunction：10s+10-------------------------------------s^5+9s^4+28s^3+30s^2%example181552.7.2控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型（ZPK模型）控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可表示為零極點(diǎn)形式：式中,Kg為根軌跡增益;zi（i=0，1，…，m）為系統(tǒng)的m零點(diǎn);pj（j=0，1，…，n）為系統(tǒng)的n極點(diǎn)。在MATLAB中可以用Kg、zi、pj來表示傳遞函數(shù)G(s)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)為zpk（），其調(diào)用格式如下：sys=zpk(z，p，k)2.7.2控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型（ZPK模型）156

例19已知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為試用MATLAB語句建立系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型。

解：MATLAB程序如下：%example19num=［2，18，40］；den=［1，6，11，6］；%傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)模型［z，p，k］=tf2zp(num，den)；sys=zpk(z，p，k)例19已知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為157執(zhí)行結(jié)果：Zero/pole/gain：2(s+5)(s+4)---------------------(s+3)(s+2)(s+1)上題也可以用下面程序（執(zhí)行結(jié)果同上）：%example2-19num=［2，18，40］；den=［1，6，11，6］；%傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)模型sys=tf(num，den)；syszpk=zpk(sys)執(zhí)行結(jié)果：1582.7.3傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖

1.特征根函數(shù)roots（）特征方程的根是一個非常重要的參數(shù)，因?yàn)樗c控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定性密切相關(guān)。在MATALB中可以用函數(shù)roots（）求得特征方程的根。roots（）調(diào)用格式如下：roots（c）其中，c為特征多項(xiàng)式的系數(shù)向量，按降冪排列，空項(xiàng)補(bǔ)0。2.7.3傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖159

例20設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

s4+2s3+3s2+4s+5=0試求特征根。

解：MATLAB程序如下：%example20p=［12345］；r=roots(p)執(zhí)行結(jié)果：r=0.2878+1.4161i0.2878－1.4161i－1.2878+0.8579i－1.2878－0.8579i例20設(shè)系統(tǒng)的特征方程為160

2.繪制系統(tǒng)零點(diǎn)圖函數(shù)pzmap（）傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零、極點(diǎn)圖，可用函數(shù)pzmap（）來實(shí)現(xiàn)，零點(diǎn)用“°”表示，極點(diǎn)用“x”表示，其調(diào)用格式如下：pzmap（sys）［p，z］=pzmap（）2.繪制系統(tǒng)零點(diǎn)圖函數(shù)pzmap（）161

例21系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其零極點(diǎn)圖。

解：MATLAB程序如下：%example21num=［0.20.31］；den=［10.41］；sys=tf(num，den)；pzmap(sys)執(zhí)行結(jié)果如圖2-43所示。例21系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為162圖2-43例21題系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖圖2-43例21題系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖1632.7.4控制系統(tǒng)模型的連接利用MATLAB函數(shù)可以將各部分的傳遞函數(shù)連接起來構(gòu)成一個閉環(huán)系統(tǒng)。通?？梢酝ㄟ^串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等環(huán)節(jié)等效變換的方法來實(shí)現(xiàn)。MATLAB提供了相關(guān)的函數(shù)，現(xiàn)介紹如下。

1.系統(tǒng)的串聯(lián)函數(shù)series（）series（）函數(shù)的調(diào)用格式如下：sys=series（sys1，sys2）其中，輸入變量sys1與sys2均為串聯(lián)模型對象的句柄變量；返回變量sys為串聯(lián)后系統(tǒng)句柄變量。2.7.4控制系統(tǒng)模型的連接164

2.系統(tǒng)的并聯(lián)連接函數(shù)parallel（）parallel（）函數(shù)的調(diào)用格式如下：sys=parallel（sys1，sys2）其中，輸入變量sys1與sys2均為并聯(lián)模型對象的句柄變量；返回變量sys為并聯(lián)后系統(tǒng)句柄變量。

3.系統(tǒng)反饋連接函數(shù)feedback（）feedback（）函數(shù)的調(diào)用格式如下：sys=feedback(sys1，sys2，sign)其中，輸入變量sign=1為正反饋，sign=－1為負(fù)反饋，sign的默認(rèn)值為－1。2.系統(tǒng)的并聯(lián)連接函數(shù)parallel（）165

例22已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-44所示，試求閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解:MATLAB程序如下：%example22%合并兩并聯(lián)部分g1=tf(1，［1，1］)；g2=tf［2，［1，2］］；gg1=parallel(g1，g2)；%合并后與左邊部分串聯(lián)g3=tf(1，［5，1］)；gg2=series(gg1，g3)；%加反饋部分生成系統(tǒng)g4=-1；sys=feedback(gg2，g4)例22已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-44所示，試求閉環(huán)系統(tǒng)166執(zhí)行結(jié)果：Transferfunction：4s^3+8s^2+7s+2-----------------------10s^4+37s^3+44s^2+20s+4執(zhí)行結(jié)果：167圖2-44系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖2-44系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖168第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程

2.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.3傳遞函數(shù)

2.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

2.5典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及階躍響應(yīng)

2.6自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.7MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程1692.1控制系統(tǒng)的微分方程

建立微分方程的一般步驟是：①分析系統(tǒng)和元件的工作原理，找出各物理量之間所遵循的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。②一般從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫它們的微分方程。③將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立起來，消去中間變量，求取一個僅含有系統(tǒng)的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統(tǒng)的微分方程。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程建立微分方程的一般步驟是170④將該方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在微分方程的右邊，把與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在微分方程的左邊，方程兩邊各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列，并將方程的系數(shù)化為具有一定物理意義的表示形式，

如時間常數(shù)等。

④將該方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在微171例1:建立圖2-1所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc為輸出量。.

解：

由基爾霍夫定律，

列寫方程

聯(lián)立以上各式，

消去中間變量得

例1:建立圖2-1所示電路的微分方程。ur為輸入量，u172將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T=RC，

則

式中：T稱為該電路的時間常數(shù)。將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T=RC，則式中：T稱為該電路173圖2-1RC無源網(wǎng)絡(luò)

圖2-1RC無源網(wǎng)絡(luò)174例2：建立圖2-2所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc2為輸出量。圖2-2兩級RC無源網(wǎng)絡(luò)

例2：建立圖2-2所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc175解：由基爾霍夫定律，列寫方程

解：由基爾霍夫定律，列寫方程176聯(lián)立以上各式，可得

將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2,則

聯(lián)立以上各式，可得將上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，令T1=R1C1，177

例3：建立圖2-3所示直流電動機(jī)的微分方程。ud為輸入量，n為輸出量。

解：直流電動機(jī)各物理量之間的基本關(guān)系如下：例3：建立圖2-3所示直流電動機(jī)的微分方程。ud為輸入量178圖2-3直流電動機(jī)運(yùn)動模型

圖2-3直流電動機(jī)運(yùn)動模型179式中：，為電樞電壓；e為電樞電動勢；id為電樞電流；Rd為電樞電阻；Td為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為摩擦和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Φ為磁通；KT為電磁常數(shù)；Ke為電動勢常數(shù)；n為轉(zhuǎn)速；J為轉(zhuǎn)動慣量；GD2為飛輪矩。聯(lián)立以上各式得：

式中：τm為電動機(jī)的機(jī)電時間常數(shù)，；τd為電磁時間常數(shù)，

。

式中：，為電樞電壓；e為電樞電動勢；180由上式可見，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速與電動機(jī)自身的固有參數(shù)τm、τd有關(guān)，與電動機(jī)的電樞電壓ud、負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL以及負(fù)載轉(zhuǎn)矩對時間的變化率有關(guān)。若不考慮電動機(jī)負(fù)載的影響，則由上式可見，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速與電動機(jī)自身的固有參數(shù)τm、τ1812.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.2.1拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)，t為實(shí)變量，s=σ+jω為復(fù)變量，其線性積分：如果存在，就稱其為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)，記作

2.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.2.1拉普拉斯變換的定義182拉氏變換是一種單值變換。f(t)和F(s)之間具有一一對應(yīng)關(guān)系。通常稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。由拉氏變換的定義，可從已知的原函數(shù)求取對應(yīng)的象函數(shù)，同樣也可由象函數(shù)求取對應(yīng)的原函數(shù)，表2-1是常用的原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表。拉氏變換是一種單值變換。f(t)和F(s)之間具有一一對183表2-1原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表表2-1原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表1842.2.2拉普拉斯變換的幾個基本定理

1.線性定理如果F1(s)=L［f1(t)］，F(xiàn)2(s)=L［f2(t)］，且a、b均為常數(shù)，則有

L［af1(t)±bf2(t)］=aL［f1(t)］±bL［f2(t)］=aF1(s)±bF2(s)

2.微分定理如果F(s)=L［f(t)］，則有2.2.2拉普拉斯變換的幾個基本定理185自動控制原理與應(yīng)用(第二版)(章-課件186當(dāng)初始條件為零時，即式中f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n－1階)在t=0時的值都為零，則上式可以寫為當(dāng)初始條件為零時，即式中f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n187

3.積分定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有

……

同樣，當(dāng)式中f(t)及其各重積分在t=0時的值都為零，則上式可以寫為3.積分定理

如果F(s)=L［f(t)］，則188

4.位移定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有實(shí)數(shù)域中位移定理

L［f(t－τ)］=e－τsF(s)

復(fù)域中的位移定理

L［e－αtf(t)］=F(s－α)

5.終值定理

6.初值定理

4.位移定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有1892.2.3拉普拉斯反變換

我們將拉普拉斯變換的逆運(yùn)算

稱為拉氏反變換。

上式為復(fù)變函數(shù)，很難直接計(jì)算。該式一般作為拉氏反變換的定義，而在實(shí)際應(yīng)用中常采用下面的方法：先將F(s)分解為一些簡單的有理分式函數(shù)之和，這些基本函數(shù)都是前面介紹的典型函數(shù)形式，然后由拉氏變換表查出其反變換函數(shù)，即得到了原函數(shù)。2.2.3拉普拉斯反變換

我們將拉普拉斯變換的逆運(yùn)190設(shè)F(s)的一般表達(dá)式為式中，a1、…、an－1、an以及b0、b1、…、bm－1、bm為實(shí)數(shù)系數(shù)，m、n為正，且m<n。設(shè)F(s)的一般表達(dá)式為191

1.A(s)=0無重根其中各項(xiàng)系數(shù)可按下式求得1.A(s)=0無重根192

2.A(s)=0有重根上式中C1、…、Cr－1、Cr為重根之系數(shù)，可按下式求解Cr+1、…、Cn為不重根之系數(shù)，其求解方法與無重根時相同。2.A(s)=0有重根193故故194

例4已知F(s)=，求其拉氏反變換。

解：由A(s)=s2+4s+3=0,得

s1=－1，s2=－3C1=F(s)(s+1)|s=－1=2

C2=F(s)(s+3)|s=－3=－1例4已知F(s)=，求其拉氏反變換。195故

對上式進(jìn)行拉氏反變換得到

f(t)=2e－t－e－3t故196

例5已知，求其拉氏反變換。解:由A(s)=s2(s+2)=0得

s1=s2=0，s3=－2

C1=F(s)s2|s=0=4

C2=［F(s)s2］′|s=0=－2

C3=F(s)(s+2)|s=－2=2例5已知，求其拉氏反變換。197故

對上式進(jìn)行拉氏反變換得到

f(t)=4t2－2+2e－2t故1982.2.4控制系統(tǒng)微分方程的求解用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟如下：①將微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的變換方程；②解出變換方程，即求出輸出量的拉氏變換表達(dá)式；③將輸出量的象函數(shù)展開成部分分式表達(dá)式；④對輸出量的部分分式進(jìn)行拉氏反變換，即可得微分方程的解。2.2.4控制系統(tǒng)微分方程的求解199

例6求圖2-1所示電路中的uc。其中ur=1(t)，uc及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為零。解：由例1知系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下，對上式進(jìn)行拉氏變換得到

TsUc(s)+Uc(s)=Ur(s)由于ur=1(t)的拉氏變換為

，則輸出量的拉氏變換式為例6求圖2-1所示電路中的uc。其中ur=1(t)，200將上式展開成部分分式表達(dá)式

取拉氏反變換得微分方程的解為將上式展開成部分分式表達(dá)式201

例7已知系統(tǒng)的微分方程為，y及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為零。試求在x=1(t)時系統(tǒng)的輸出y。解：對微分方程進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換

s2Y(s)+2sY(s)+Y(s)=X(s)由于x=1(t)的拉氏變換為,則輸出量的拉氏變換式為例7已知系統(tǒng)的微分方程為，y及各階導(dǎo)202將上式展開成部分分式表達(dá)式取拉氏反變換，得微分方程的解為

y=1－te－t－e－t將上式展開成部分分式表達(dá)式2032.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義設(shè)描述系統(tǒng)或元件的微分方程的一般表示形式為

式中：r(t)為系統(tǒng)的輸入量；c(t)為系統(tǒng)的輸出量；2.3傳遞函數(shù)2.3.1傳遞函數(shù)的定義式中：r(t)204為了便于分析系統(tǒng)，規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即在t=0-時系統(tǒng)的輸出：

這表明，在外作用加于系統(tǒng)的瞬時(t=0)之前，系統(tǒng)是相對靜止的，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對于平衡工作點(diǎn)的增量為零。所以，

在初始條件為零時，

對微分方程的一般表示式兩邊進(jìn)行拉氏變換

為了便于分析系統(tǒng)，規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即在t=0205即

則有

令 ，稱為系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，則可得傳遞函數(shù)的定義為：在初始條件為零時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。

即

即則有令 ，稱為系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，則可得2062.3.2傳遞函數(shù)的求取1．直接計(jì)算法對于系統(tǒng)或元件，首先建立描述元件或系統(tǒng)的微分方程式，然后在零初始條件下，對方程式進(jìn)行拉氏變換，即可按傳遞函數(shù)的定義求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

例8：試求取圖2-3所示直流電動機(jī)的轉(zhuǎn)速與輸入電壓之間的傳遞函數(shù)。

解：對求取的直流電動機(jī)的微分方程式進(jìn)行拉氏變換后可得

2.3.2傳遞函數(shù)的求取207根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，則其傳遞函數(shù)為

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，則其傳遞函數(shù)為208

2．阻抗法求取無源網(wǎng)絡(luò)或電子調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，采用阻抗法較為方便。電路中的電阻、電感、電容元件的復(fù)域模型電路如圖2-4所示。

其傳遞函數(shù)分別為電阻元件

電感元件

電容元件

2．阻抗法電阻元件電感元件電容元件209圖2-4R、L、C元件的復(fù)域模型

圖2-4R、L、C元件的復(fù)域模型210

例9：試求圖2-5(a)所示電路的傳遞函數(shù)，uo為輸出量，ui為輸入量。圖2-5RLC串聯(lián)電路

例9：試求圖2-5(a)所示電路的傳遞函數(shù)，uo為輸出量211

解：圖2-5(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-5(b)所示。由基爾霍夫定律得

經(jīng)整理得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解：圖2-5(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-5(b)所示212

例10：試求取圖2-6(a)所示電路的傳遞函數(shù)。uo為輸出量，ui為輸入量。圖2-6積分調(diào)節(jié)器

例10：試求取圖2-6(a)所示電路的傳遞函數(shù)。uo為213

解：圖2-6(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-6(b)所示。由電子技術(shù)知識可得

解：圖2-6(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-6(b)所示214

3．利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求取傳遞函數(shù)對于較復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)先求出元件的傳遞函數(shù)，再利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖和框圖運(yùn)算法則，可方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。該方法將在后面的內(nèi)容中討論。

3．利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求取傳遞函數(shù)2152.3.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)傳遞函數(shù)是由微分方程變換得來的，它和微分方程之間存在著對應(yīng)的關(guān)系。對于一個確定的系統(tǒng)(輸入量與輸出量也已經(jīng)確定)，它的微分方程是惟一的，所以，其傳遞函數(shù)也是唯一的。

2.3.3