高數(shù)同濟版大一下學期期末復(fù)習課件

期末考試復(fù)習重點（1）直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，空間曲面的切平面（2）函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)（連續(xù)的定義）、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導與全微分、條件極值（3）二重積分的計算（直角坐標與極坐標）（4）第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。（5）數(shù)項級數(shù)收斂性判別，絕對收斂與條件收斂冪級數(shù)的收斂域、求級數(shù)求和函數(shù)。1期末考試復(fù)習重點（1）直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面（1）設(shè)則2（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，（1）設(shè)則2（2）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線要點：I：曲面在某點處的切平面（1）設(shè)曲面方程為第一步：計算第二步：計算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程3（2）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線要點：I：（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程4（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：要點II：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線的方程第一步：確定點第二步：計算第三步：利用對稱式和點法式分別寫出切線和法平面的方程5要點II：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線的方（2）設(shè)空間曲線的方程6（2）設(shè)空間曲線的方程6解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例題7解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例例2：設(shè)直線L和平面的方程分別為則必有（）解：C8例2：設(shè)直線L和平面的方程分別為則必有（例3：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點為9例3：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點例:(1)已知曲線在點P處的切線平行于平面，求P點的坐標10例:(1)已知曲線在點P處的切線平行于平面，求P點的坐標10（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)在某點的定義域、極限和連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限1、利用函數(shù)在一點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)3、利用變量對換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準則與兩個重要極限11（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)（1）多元函數(shù)在例：求下列函數(shù)的極限：12例：求下列函數(shù)的極限：121313解：求極限14解：求極限14解：求極限15解：求極限15（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值16（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點（1）多元函數(shù)的定義域、在某點的極限、連續(xù)要點：II：用定義求二元函數(shù)在某點的偏導數(shù)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值17（1）多元函數(shù)的定義域、在某點的極限、連續(xù)要點：II：用定義典型例題例1：設(shè)求解：18典型例題例1：設(shè)求解：18典型例題例2：設(shè)求解：19典型例題例2：設(shè)求解：19典型例題例3：設(shè)求解：20典型例題例3：設(shè)求解：20二元函數(shù)的連續(xù)性要點：III：多元函數(shù)的連續(xù)性21二元函數(shù)的連續(xù)性要點：III：多元函數(shù)的連續(xù)性21(2)

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．22(2)討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．22例：討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．23例：討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分要點：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；例1：設(shè)答案：IV：多元函數(shù)全微分的計算；24（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、要點：I、方向?qū)?shù)II例:(1)函數(shù)在點處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求(2)求函數(shù)在點處沿到點的方向上的方向?qū)?shù)25例:(1)函數(shù)例3：設(shè)求解：zxyuxyu26例3：設(shè)求解：zxyuxyu26例4：設(shè)答案：要點：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；IV：多元函數(shù)全微分的計算；（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分27例4：設(shè)答案：要點：I、方向?qū)?shù)III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得28例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得29例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題1

的所有可能的極值點。問題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問題）。（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3）條件極值。30拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(shè)(x,y,z)

為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。

由于d

中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題1轉(zhuǎn)化為下面的等價問題31例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(shè)(x問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組32問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為33（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點：對應(yīng)的距離例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以最近距離為最遠距離為34例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標下的計算；35三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（1）二重積分答案：例1：計算二重積分答案：36答案：例1：計算二重積分答案：36三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：37三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（2）二重積分解積分區(qū)域分為兩塊38解積分區(qū)域分為兩塊38例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域D

由圖可知D

又可以寫成X

型區(qū)域39例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域D由圖可知D又可以寫成（3）利用極坐標計算二重積分；再根據(jù)D

的極坐標表示，將極坐標下的二重積分化為累次積分。例3:計算由直線y=x

及曲線所圍平面區(qū)域。40（3）利用極坐標計算二重積分；再根據(jù)D的極坐標表示，將極（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分；在二重積分的計算過程中，要注意對稱性。例5：計算其中D

由直線y=x,y=1,及x=1所圍平面區(qū)域41（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分；在二重積分的解42解42（5）三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例6：提示：再對用“先二后一”的方法計算，并用對稱性給出另外兩項的結(jié)果。43（5）三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例6：提例7：提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐標計算三重積分例8：繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面z=8所圍空間立體44例7：提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分45四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、（1）曲線和曲面積分（3）基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2.平面曲線積分“封口法”和“挖洞法”。與路徑無關(guān)在單連通區(qū)域G

內(nèi)46（3）基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2.（4）基本計算技巧1.利用對稱性；2.利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；3.利用關(guān)系式將對不同的坐標的曲面積分化為同一個曲面積分；4.利用積分與路徑無關(guān)，適當改變積分路徑，簡化平面曲線積分。47（4）基本計算技巧1.利用對稱性；2.利用曲線或例1：設(shè)橢球面

的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對稱性例2：設(shè)則提示：利用曲線方程及對稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。48例1：設(shè)橢球面的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對例4：設(shè)f(x)在(0,+)上有連續(xù)的導數(shù)，L是由點提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A(1,2)到點B(2,8)的直線段，計算（30）例5：計算由拋物面與圓柱面及坐標面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標49例4：設(shè)f(x)在(0,+)上有連續(xù)的5050例6：計算再由坐標原點沿x

軸到B(2,0)。解：其中，L為由點A(1,1)沿曲線到坐標原點，分析：應(yīng)用格林公式補充：51例6：計算再由坐標原點沿x軸到B(2,0)。解五、數(shù)項級數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)求和函數(shù)。（1）數(shù)項級數(shù)收斂性判別1.正項級數(shù)比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件幾何級數(shù)、P

級數(shù)和調(diào)和級數(shù)2.交錯級數(shù)：萊布尼茨定理3.任意項級數(shù)：絕對收斂和條件收斂。52五、數(shù)項級數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、（1）數(shù)項級數(shù)收任意項級數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗（3）用正項級數(shù)審斂法檢驗是否收斂？則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級數(shù)發(fā)散若是或難求，則進行下一步；若是，否則，進行下一步；（2）若原級數(shù)為正項級數(shù)或交錯級數(shù)，則可用正項級數(shù)或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。53任意項級數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗（3）用正項級數(shù)審（2）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點確定收斂半徑R及收斂區(qū)間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項”。（2）對冪級數(shù)要先做變換54（2）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判（3）求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點確定收斂半徑R及收斂區(qū)間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項”。（2）對冪級數(shù)要先做變換55（3）求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)性質(zhì)3：冪級數(shù)逐項積分后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂域I上可積，并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。（3）求冪級數(shù)的和函數(shù)56性質(zhì)3：冪級數(shù)逐項積分后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂性質(zhì)4：冪級數(shù)逐項求導后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂區(qū)間內(nèi)可導，并有逐項求導公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。57性質(zhì)4：冪級數(shù)逐項求導后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂典型例題例1：若冪級數(shù)在x=-2處收斂，則此冪級數(shù)在x=5

處（

）

（A）一定發(fā)散。（B）一定條件收斂。（C）一定絕對收斂。（D）收斂性不能確定。

C例2：若冪級數(shù)的收斂半徑是16，則冪級數(shù)的收斂半徑是（）458典型例題例1：若冪級數(shù)在x=-2處收斂，則此冪級數(shù)例3：已知的收斂半徑為3，則的收斂區(qū)間為（）

例4：級數(shù)當（）（A）p>1時條件收斂，（B）0<p

1時絕對收斂，（C）0<p

1時條件收斂，（D）0<p

1時發(fā)散。C59例3：已知的收斂半徑為3，則的收斂區(qū)間為（例5：求下列冪級數(shù)的和函數(shù)答案：答案：60例5：求下列冪級數(shù)的和函數(shù)答案：答案：60例5：求下列冪級數(shù)的和函數(shù)容易求得61例5：求下列冪級數(shù)的和函數(shù)容易求得61答案：62答案：62此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！此課件下載可自行編輯修改，供參考！63期末考試復(fù)習重點（1）直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，空間曲面的切平面（2）函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)（連續(xù)的定義）、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導與全微分、條件極值（3）二重積分的計算（直角坐標與極坐標）（4）第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。（5）數(shù)項級數(shù)收斂性判別，絕對收斂與條件收斂冪級數(shù)的收斂域、求級數(shù)求和函數(shù)。64期末考試復(fù)習重點（1）直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面（1）設(shè)則65（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，（1）設(shè)則2（2）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線要點：I：曲面在某點處的切平面（1）設(shè)曲面方程為第一步：計算第二步：計算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程66（2）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線要點：I：（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程67（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：要點II：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線的方程第一步：確定點第二步：計算第三步：利用對稱式和點法式分別寫出切線和法平面的方程68要點II：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線的方（2）設(shè)空間曲線的方程69（2）設(shè)空間曲線的方程6解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例題70解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例例2：設(shè)直線L和平面的方程分別為則必有（）解：C71例2：設(shè)直線L和平面的方程分別為則必有（例3：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點為72例3：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點例:(1)已知曲線在點P處的切線平行于平面，求P點的坐標73例:(1)已知曲線在點P處的切線平行于平面，求P點的坐標10（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)在某點的定義域、極限和連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限1、利用函數(shù)在一點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)3、利用變量對換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準則與兩個重要極限74（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)（1）多元函數(shù)在例：求下列函數(shù)的極限：75例：求下列函數(shù)的極限：127613解：求極限77解：求極限14解：求極限78解：求極限15（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值79（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點（1）多元函數(shù)的定義域、在某點的極限、連續(xù)要點：II：用定義求二元函數(shù)在某點的偏導數(shù)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值80（1）多元函數(shù)的定義域、在某點的極限、連續(xù)要點：II：用定義典型例題例1：設(shè)求解：81典型例題例1：設(shè)求解：18典型例題例2：設(shè)求解：82典型例題例2：設(shè)求解：19典型例題例3：設(shè)求解：83典型例題例3：設(shè)求解：20二元函數(shù)的連續(xù)性要點：III：多元函數(shù)的連續(xù)性84二元函數(shù)的連續(xù)性要點：III：多元函數(shù)的連續(xù)性21(2)

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．85(2)討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．22例：討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．86例：討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分要點：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；例1：設(shè)答案：IV：多元函數(shù)全微分的計算；87（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、要點：I、方向?qū)?shù)II例:(1)函數(shù)在點處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求(2)求函數(shù)在點處沿到點的方向上的方向?qū)?shù)88例:(1)函數(shù)例3：設(shè)求解：zxyuxyu89例3：設(shè)求解：zxyuxyu26例4：設(shè)答案：要點：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；IV：多元函數(shù)全微分的計算；（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分90例4：設(shè)答案：要點：I、方向?qū)?shù)III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得91例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得92例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題1

的所有可能的極值點。問題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問題）。（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3）條件極值。93拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(shè)(x,y,z)

為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。

由于d

中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題1轉(zhuǎn)化為下面的等價問題94例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(shè)(x問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組95問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為96（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點：對應(yīng)的距離例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以最近距離為最遠距離為97例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標下的計算；98三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（1）二重積分答案：例1：計算二重積分答案：99答案：例1：計算二重積分答案：36三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：100三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（2）二重積分解積分區(qū)域分為兩塊101解積分區(qū)域分為兩塊38例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域D

由圖可知D

又可以寫成X

型區(qū)域102例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域D由圖可知D又可以寫成（3）利用極坐標計算二重積分；再根據(jù)D

的極坐標表示，將極坐標下的二重積分化為累次積分。例3:計算由直線y=x

及曲線所圍平面區(qū)域。103（3）利用極坐標計算二重積分；再根據(jù)D的極坐標表示，將極（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分；在二重積分的計算過程中，要注意對稱性。例5：計算其中D

由直線y=x,y=1,及x=1所圍平面區(qū)域104（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分；在二重積分的解105解42（5）三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例6：提示：再對用“先二后一”的方法計算，并用對稱性給出另外兩項的結(jié)果。106（5）三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例6：提例7：提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐標計算三重積分例8：繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面z=8所圍空間立體107例7：提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分108四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、（1）曲線和曲面積分（3）基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2.平面曲線積分“封口法”和“挖洞法”。與路徑無關(guān)在單連通區(qū)域G

內(nèi)109（3）基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2.（4）基本計算技巧1.利用對稱性；2.利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；3.利用關(guān)系式將對不同的坐標的曲面積分化為同一個曲面積分；4.利用積分與路徑無關(guān)，適當改變積分路徑，簡化平面曲線積分。110（4）基本計算技巧1.利用對稱性；2.利用曲線或例1：設(shè)橢球面

的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對稱性例2：設(shè)則提示：利用曲線方程及對稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。111例1：設(shè)橢球面的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對例4：設(shè)f(x)在(0,+)上有連續(xù)的導數(shù)，L是由點提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A(1,2)到點B(2,8)的直線段，計算（30）例5：計算由拋物面與圓柱面及坐標面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標112例4：設(shè)f(x)在(0,+)上有連續(xù)的11350例6：計算再由坐標原點沿x

軸到B(2,0)。解：其中，L為由點A(1,1)沿曲線到坐標原點，分析：應(yīng)用格林公式補充：114例6：計算再由坐標原點沿x軸到B(2,0)。解五、數(shù)項級數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)求和函數(shù)。（1）數(shù)項級數(shù)收斂性判別1.正項級數(shù)比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件幾何級數(shù)、P

級數(shù)和調(diào)和級數(shù)2.交錯級數(shù)：萊布尼茨定理3.任意項級數(shù)：絕對收斂和條件收斂。115五、數(shù)項級數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、（1）數(shù)項級數(shù)收任意項級數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗（3）用正項級數(shù)審斂法檢驗是否收斂？則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級數(shù)也