2022年上海市師范大學(xué)附屬第二外國語學(xué)校高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：12．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。2x2x函數(shù)y 的圖像大致為（ ）.xcosxB．C． D．已知函數(shù)yfx是定義在R上的奇函數(shù)函數(shù)f(x)滿足f(x)fx4且x0,時，f(x)lo2x1，則ff2019（ ）A．2 B．C．1 D．1網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）4B．3x2 y2

C．3 D．4若雙曲線C: 4 m2

1的焦距為4 5，則C的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（ ）A．2 B．4 C．19 D．219已知函數(shù)fxaax1，若fx0xR恒成立，則滿足條件的a的個數(shù)為（ ）e e A．0 B．1 C．2 D．3ABCC2

CA2 2DAB的中點(diǎn)，將它沿CDA

間的距離為2 3，此時四面體ABCD 的外接球的表面積為（ ）.A．B．20 53

C．12 D．20z

11

z2i（其中z為z的共軛復(fù)數(shù)，則z的值為( )A．1 B．2 C．3 D．5p：存在實(shí)數(shù)

，對任意實(shí)數(shù)x，使得sinxx0

sinx恒成立；q：a0，f(x)lnax為奇函數(shù)，ax則下列命題是真命題的是（ ）A．pq

B．(p)(q) C．p(q) D．(p)qf(x)

xcos

, 上的圖象大致為（ ）2x2x 2 2A． B． C．D．f(xln

11

|的圖象大致為A． B． C．D．如圖所示，已知雙曲線Ca2

y2b2

0,b0)F，雙曲線CA，它關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為B，滿足120，且|BF2|AF|，則雙曲線C的離心率是（ ）. 32

3 ．712．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝( A．1 B．5 C．5 D．52 21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1在(x )6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)用數(shù)字作)xABCABC內(nèi)有一個與其各面都相切的球OABCABC外有一個外接球O若1 1 1 1 1 1 2ABBC,AB3BC4則球O2

的表面積為 .若

2 nx 的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是 ． x2已知復(fù)數(shù)zi（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在斜三棱柱ABCAB

ABCA

，

2，ABC，△ACC

，均為正三角形，EAB的中點(diǎn)．

1 1 1

1 1 1 1（Ⅰ）AC1

//平面BCE；1（Ⅱ）求斜三棱柱ABCABC截去三棱錐B

–CBE后剩余部分的體積．1 1 1 118（12分）已知函數(shù)fxx3x1.fx6的解集；fxM，正數(shù)aba24b2Ma4ab.19（12分）a滿足條件a，a3，且a

＝（﹣1）n（a﹣1）+2a+1，n∈N*．n 1 2n（Ⅰ）求數(shù)列{a的通項(xiàng)公式；na

n+2 n n2nn（Ⅱ）b

2n1，S

為數(shù)列{b

}的前n項(xiàng)和，求證：S ．n a n n2n

n 2n120（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪80元，送餐員每單制成4無底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分送餐員每單抽成6元，超過40單的部分送餐員每單抽成7元隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù) 38甲公司天數(shù) 10乙公司天數(shù) 10

39 40 41 4210 15 10 515 10 10 5從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天，求這3天的送餐單數(shù)都不小于40單的概率；假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說明你的理由.21（12分）已知函數(shù)fxx2exax2,其中aR,gxxlnx.(1)fxx若能若不能請說明理由.(2)hxfxgxx1處取得極大值a的取值范圍.一周課外讀書時間一周課外讀書時間合計(jì)/h頻數(shù)4610121424a4634n頻率0.020.030.050.060.070.120.25p0.171根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求apn.如果讀書時間按分組，用分層抽樣的方法從n20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；②若從22人不在同一層的概率.參考答案125601．A【解析】本題采用排除法: 由f

2f

2排除選項(xiàng)D；

50排除選項(xiàng)C; 2 2由x0,且x無限接近于0時, fx0排除選項(xiàng)B；【詳解】對于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù)fx y

xcosx2x2xcosx

2

522

5 22

2522則f

2 2

,f

2 ;2 即f

f2

.D排除;2 2252

5 22

2522C

0,故選項(xiàng)C排除;2B:x0x0時,xcosx102x2x0fx0.B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】屬于中檔題.2．D【解析】f(x)fx4說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】f(x)fx4f(x)4f(x)是奇函數(shù)，f(2)f(2)f(2)f(2)f(2)0，∴f2018f2019f2f30f10f11．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．3．A【解析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖ABCD，長度如上圖1 1 1

MBD

SDEC

121,S2

BCN

112 23

BCD

221

MBD

SDEC

S BCN 2所以V

ABCD

3

BCD

AN1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線，屬中檔題.4．B【解析】根據(jù)焦距即可求得參數(shù)m.【詳解】因?yàn)殡p曲線C:x2y2

1的焦距為4 5， 4 故可得4m2 2 5

，解得m216，不妨取m4； 又焦點(diǎn)F 2 5,0 ，其中一條漸近線為y2x 4 55由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的d4 55故選：B.

4.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.5．C【解析】由不等式恒成立問題分類討論：①當(dāng)a0，②當(dāng)a0，③當(dāng)a0，考查方程lna解．【詳解】①當(dāng)a0時，f(x)ex10 0，滿足題意，

1的解的個數(shù)，綜合①②③得ae②當(dāng)a0時，exa0，x(1，)，ax10，故f(x) 0(xR)不恒成立，0 ae e1③當(dāng)a0時，設(shè)g(x)exa，h(x)ax ，e1 1g(x)ex

a0xlnah(x)ax

0，得x ，e ae下面考查方程lna1的解的個數(shù)，ae設(shè)（a）alna，則（a）1lna由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：（a）alna在(0,

)為減函數(shù)，在(1

為增函數(shù)，則

min

e e1，e即lna1有一解，ae1g(x)ex

ah(x)ax 均為增函數(shù)，e所以存在1個a使得f(x) 0(xR)成立，綜合①②③得：滿足條件的a2C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難度較大的題型.6．D【解析】如圖，將四面體ABCD.【詳解】AB4CDADBD2翻折后AB2 3,

2cosADB

22222 3222

12，ADB120，外接圓的半徑為r， 2 3 2r4，r2，sin120如圖：易得CD平面ABD，將四面體ABCDR，R2r21222125， 四面體ABCD 的外接球的表面積為SR2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑.7．D【解析】zzz.【詳解】

1i1i (1i)21i (1i)(1i)2

i，1iz2iiz2iz2i

i(2i)12i，1i i(1)2225z1z(1)2225故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】分別判斷命題p和q的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】psinxsinxp為真命題對于命題，由于a0ax0解得axa，axfxlnaax

lnax1 a

lnaa

fx

，所以

fx

是奇函數(shù)，故

q為真命題.所以

p

為真命題. (p(qp(q、(pq都是假命題.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在0x【詳解】

時的符號，即可求解.2由f(x)xcosx f(x)可知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).2x2x所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)0x2f(x)

cosx0，xcosxD，

2x2x【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.10．D【解析】由題可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x1}，f(xln|1x|ln|1x|f(xf(x為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；1x 1xf(1.1)ln211f(3)ln21ACD．11．C【解析】易得|AF2a|BF4aFO【詳解】

1(FBFA)，平方計(jì)算即可得到答案.2CAEBF為平行四邊形，F(xiàn)O1(FBFA)，所以|BF||AF||BF||BE|2aFO1(FBFA)，故|AF2a|BF4a，所以c2

21(4a216a22a4a，即c23a2，43故離心率為e .3C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，關(guān)鍵是建立ab,c12．C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－

1，b＝－12所以|a＋bi|＝

C((1)2(1)225考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模45201320【解析】1(x )6的展開式的通項(xiàng)為T Crx62r，取r3計(jì)算得到答案.1x r1 6【詳解】1(x )6T1

r1Crx6r Crx62r，取r31

20.x20.【點(diǎn)睛】

r1 6

x 6 6本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14．291【解析】1

的半徑，再求出球O2

的半徑，即得球O2

的表面積.【詳解】解：ABBCAB3BC4AC2AB2BC2,AC5，

的半徑為r4r5r2

134，r12所以棱柱的側(cè)棱為2r2.29由題得棱柱外接球的直徑為22+52=29

，所以外接球的半徑為1 29，2所以球O2

的表面積為

29)2.121故答案為：29【點(diǎn)睛】于中檔題.15．1【解析】11n10x1求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．【詳解】由 2xnx的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， x211n10；x1，可求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是：1101．【點(diǎn)睛】161【解析】利用復(fù)數(shù)的乘法求解z再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)iaia1ai為純虛數(shù),a0,解得a．1【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。517（Ⅰ）（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接BC，交BC于點(diǎn)M，連接ME，證明ME//AC；1 1 1（Ⅱ）

ABC的距離等于點(diǎn)C1

到平面ABC的距離，根據(jù)體積公式剩余部分的體積是VABCAB

V .BBCE111 1【詳解】（Ⅰ）BCBCME//AC．1 1 1

BCEMEBCE

//平面BCE．1 1 1 1 111（Ⅱ）B11

ABCB1ABC的距離等于點(diǎn)

到平面ABC的距離．1如圖，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，連接OC11

，OB．因?yàn)椤鰽CC1

為正三角形，所以O(shè)C1

AC，ABCA

，平面ABC 平面A

AC，所以O(shè)C

平面ABC．1 1 1 1 1所以點(diǎn)C1

到平面ABC的距離OC1

3B1

BCE的體積為V 1S OC11BECEOC111 3 31．

3 BCE 1 3 2

1 3 2 21 1ABCAB

的體積為VS

OC ABCEOC 2 3 33．1 1 1

ABC 1 2 1 2所以剩余部分的體積為315．2 2【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行，計(jì)算體積，意在考查推理證明，空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題型，一般證明線面平行的方法1..18（）,5（）證明見解析【解析】fxfx6的解集.fxM，利用分析法，結(jié)合基本不等式，證得不等式a4ab成立.【詳解】

42x,x1

fx2,1x3 ，2x4,x3不等式fx6，即x142x6

x32x4

x3或26 ， 1x1或3x5或1x3，所以所求不等式的解集為（2）fxx3x1x3x12，M2，a0b0，所以要證abab，只需證ab

16a2b2，a24b24ab16a2b2，a24b22，所以只要證24ab16a2b2即證8ab22ab10，即證4ab10，因?yàn)?ab10，所以只需證ab1，212a24b24ab，所以ab所以a2b4ab.

成立，2【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查分析法證明不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.nn是奇數(shù)19（Ⅰ）nn （Ⅱ）證明見解析32 是偶數(shù)【解析】（Ⅰ）a

＝（﹣1）n（a

﹣1）+2a

+1，對n分奇偶討論，即可得a；n+2（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn

n2n13n

n，用錯位相減法求出S 1n

n13n

n，運(yùn)用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ）

a （n2

a 2an

N*，當(dāng)n

＝a 2a，得

n，n2 n 1 n當(dāng)n

＝3a，又由a＝3，得a 3n，n2 n 2 2nnn是奇數(shù)a ；n n 32

n是偶數(shù)（Ⅱ）由（1）得bn

2n1 ，3n則S 13

…2n32n1①n 3

3n1 3n1S

13

5…2n32n1②3 n

3n 3n1①-②可得：

1 12S 1

22

2…

22n1129 3n1

2n1

2 2n2，3 n 3 32

34

3n 3n1 3

113

3n1

3 3n1S 1n1，n Sn

2nn

，則需要證明1

n1 2nn，2n1 2n1n1 n112n1 n112n1又 12n1 2n1

，即證明 ，即證2n1，又3n2n

1Sn

2nn

得證.2n1【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式，錯位相減法求前n.20（）29）①分布列見解析，E(X)238.6.140【解析】340AP（A）的值．①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為a，可得當(dāng)a38X386a39時，當(dāng)a40X的值．當(dāng)a41Xa42XXX的分布列及其數(shù)學(xué)期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出．【詳解】（）由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件A，30PAC330C350

29．140（2）①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為n，日工資為X元，則n38X386228；當(dāng)n39X396234；當(dāng)n40X406240；n41X4067247；當(dāng)n42X40614254．Xp所以XXp228234240247254131115105510E(X)22812343240124712541238.6．5 10 5 5 10②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為380.2390.2400.3410.2420.139.8，所以甲公司送餐員的日平均工資為80439.8239.2238.6239.2，所以小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21(1)答案見解析

e1, 2 2【解析】（

fx

的圖象與

x

ft0ft0（

hx的導(dǎo)數(shù)，設(shè)Gxex12a(x0)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及hxx1a的范圍即可.x【詳解】fxx軸相切理由若下:fxx1ex2ax1.fxx軸相切于ft0 t2e

at20則ft0即te

2at10 顯然t1,ta0代入t2tat2fxx軸相切.

0中得t250無實(shí)數(shù)解.1 (2)hxxexax2lnxx(x01 hxx

x 2a ,h0,1e x 設(shè)Gxex

12a(x0),xGxex

1恒大于零.x2Gx在上單調(diào)遞增.xGxx0Gx

,使Gx0

0,且0xx0

時Gx0xx0

時Gx0,①當(dāng)x0