概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件

概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習1概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件事件的運算律交換律：結合律：分配律：對偶律（DeMorgan德摩根律）：減法：事件的運算律

概率：做n次重復試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)記為，當n很大時，若頻率穩(wěn)定在常數(shù)P附近，則稱P為隨機事件A發(fā)生的概率，記作P(A)=P。概率的公理化定義：設E是隨機試驗，S是樣本空間，對E的每個隨機事件A，賦予一個實數(shù)P(A)，若它滿足：非負性：規(guī)范性：，S為樣本空間（必然事件）可列可加性：若事件中則則稱P(A)為事件A的發(fā)生概率。概率：做n次重復試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)記為概率的性質有限可加性：有限個兩兩互斥的事件則是A的對立事件，則則一，當A，B互斥即時

推廣：概率的性質有限可加性：有限個兩兩互斥的事件預備知識：排列、組合分類計數(shù)原理(加法原理)：設完成一件事有k類方法，每類分別有種方法，則完成這件事情共有種方法.分步計數(shù)原理(乘法原理)：設完成一件事有k個步驟，第一步有種方法，…,第k步有種方法，則完成這件事情共有種方法.排列：從n個不同元素中取出m個元素，按一定次序排成一列.

排列數(shù)：從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)記為注：等可能概型（古典概型）預備知識：排列、組合分類計數(shù)原理(加法原理)：設完成一件事有組合：從n個不同元素中取出m個元素并成一組(與順序無關).

組合數(shù)：從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)，記為組合：從n個不同元素中取出m個元素并成一組(與順序無關).等可能概型（古典概型）定義：具有以下性質的隨機試驗稱為等可能概型試驗的樣本空間的元素只有有限個試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同等可能概型中事件概率的計算公式：

n為隨機試驗的總的結果數(shù)，即樣本點的總數(shù)，k為事件A包含的結果數(shù)。等可能概型（古典概型）定義：具有以下性質的隨機試驗稱為等可能定義：事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為條件概率，記為P(B|A)。例將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正面的情況，設A={至少有一次為正面H}，B={兩次擲出同一面}，求P(B|A)解：樣本空間S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}。則可得：

P(B|A)＝1/3條件概率的計算公式：條件概率定義：事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為條件概率，記乘法定理：設P(A)>0，則有P(AB)=P(B|A)P(A)推廣：P(AB)>0，則有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)設為n個事件，且乘法定理：設P(A)>0，則有P(AB)=P(B|A)P(A全概率公式劃分：設S為試驗E的樣本空間，為E的一組事件，若

則稱為樣本空間S的一個劃分.例E：擲骰子觀察點數(shù)

是S的一個劃分不是S的一個劃分全概率公式劃分：設S為試驗E的樣本空間，為E全概率公式定理：設隨機試驗E的樣本空間為S，A為E的事件.為S的一個劃分，且則，稱之為全概率公式。注：全概率公式給出我們一個用來計算在眾多原因的作用下事件A發(fā)生概率的方法.

（由因得果）全概率公式定理：設隨機試驗E的樣本空間為S，A為E的事件.貝葉斯公式（由果溯因）設E的樣本空間為S，A為E的事件.為S的一個劃分，且，則

為貝葉斯（Bayes）公式.稱為先驗概率；稱為后驗概率.貝葉斯公式（由果溯因）設E的樣本空間為S，A為E的事件.條件概率

條件概率小結縮減樣本空間

定義式

乘法公式

全概率公式貝葉斯公式條件概率條件概率小結縮減樣本空間定義式乘法公式全概獨立性獨立事件：兩事件A、B，A發(fā)生對B發(fā)生沒有影響，B發(fā)生也對A沒有影響，則稱兩事件相互獨立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例拋甲，乙兩枚硬幣，A={甲出現(xiàn)正面H}，B={乙出現(xiàn)正面H}，問A，B同時發(fā)生的概率.定理四對事件中有一對相互獨立，則另外三對也相互獨立.獨立與互斥的區(qū)別：

A，B相互獨立：P(AB)=P(A)P(B)；

A，B互斥：P(AB)=0。獨立性獨立事件：兩事件A、B，A發(fā)生對B發(fā)生沒有影響，B發(fā)生多個事件的獨立多個事件的獨立定義隨機試驗的結果可以用一個實值變量表示，這個變量的取值是隨機的，但又服從一定的統(tǒng)計規(guī)律性，這種變量稱為隨機變量，通常用X，Y，Z表示。中心問題：將試驗結果數(shù)量化隨機變量分為離散型和連續(xù)型：離散型：X的取值是有限個或可列無限個。連續(xù)型：X的取值是連續(xù)的。esxX=f(e)—為S上的單值函數(shù)，X為實數(shù)定義隨機試驗的結果可以用一個實值變量表示，這個變量的取值是分布律

稱為離散型隨機變量X的分布律，分布律可用列表的方式直觀的表示出來X1、寫出可能取值－－即寫出了樣本點2、寫出相應的概率－－即寫出了每一個樣本點出現(xiàn)的概率分布律（概率分布）分布律稱為離01X1.兩點分布，又稱為(0-1)分布(0-1)分布的分布律為也可以寫為對隨機實驗，若樣本空間只包括兩個元素，即，則一定能在S上定義一個服從(0-1)分布的隨機變量，令例拋硬幣一次，定義隨機變量X為出現(xiàn)正面的次數(shù)，則01X1-pp三種重要的離散型隨機變量01X1.兩點分布，又稱為(0-1)分布(0-12.二項分布隨機試驗E只有兩個可能結果：A和，則稱E為伯努利試驗。設P(A)=p(0<p<1),則將伯努利試驗獨立地重復進行n次，稱為n重伯努利試驗。X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，X所有可能取值k=0,1,2,…,n。求P{X=k}P{X=k}記q=1-p，隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為當n=1時，即為(0-1)分布。2.二項分布隨機試驗E只有兩個可能結果：A和，則稱E為伯若隨機變量X的概率分布律為稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記3.泊松分布(Poisson分布)Poisson定理設是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設，則對于任一固定的非負整數(shù)k，有若隨機變量X的概率分布律為3.泊松分布(Poisson分布)當時近似公式近似效果更佳。當定義：設X為一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

稱為隨機變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義，有分布函數(shù)注:分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值表示x落在區(qū)間上的概率。定義：設X為一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)分布函數(shù)注:分(1)(2)F(x)是一個不減函數(shù)

(3)對于離散型隨機變量，若分布律為則其分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)定義：對于隨機變量X的分布函數(shù)若存在 非負的函數(shù)使對于任意實數(shù)有：

其中稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。

則稱X為連續(xù)型隨機變量，概率密度定義：對于隨機變量X的分布函數(shù)若存在 非負的概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件1.均勻分布定義：設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數(shù)則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布。記為注：X落在(a,b)上任一子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與位置無關。三種重要的連續(xù)型隨機變量1.均勻分布定義：設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數(shù)三種重要均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù)定義：連續(xù)型隨機變量X的概率密度為稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布的分布函數(shù)2.指數(shù)分布定義：連續(xù)型隨機變量X的概率密度為2.指數(shù)分布定義：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布（也稱為Gauss分布），記為三種重要的連續(xù)型隨機變量3.正態(tài)分布定義：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為三種重要的連續(xù)型隨機變量

f(x)圖形的性質：關于對稱結論：當時，取得最大值固定，改變，f(x)的圖形不變，沿x軸平移固定，改變，由最大值知，越小，圖形越尖，X落在附近的概率越大。時，，即曲線以X軸為漸近線。分布函數(shù)F(x)f(x)圖形的性質：標準正態(tài)分布時，稱X服從標準正態(tài)分布，概率密度函數(shù)

分布函數(shù)

結論：的函數(shù)值見第382頁標準正態(tài)分布表例，求標準正態(tài)分布正態(tài)分布轉變?yōu)闃藴收龖B(tài)分布引理若，則結論：，則它的分布函數(shù)，可寫成：

正態(tài)分布的問題都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布，然后查書中第382頁標準正態(tài)分布表得解例，求正態(tài)分布轉變?yōu)闃藴收龖B(tài)分布隨機變量的函數(shù)的分布離散型離散型隨機變量的函數(shù)分布律的求法：找出Y=g(X)的所有可能取值找出每個值對應的X取值，將對應概率相加例設隨機變量X具有分布律求的分布律。 X-10120.20.30.10.4問題提出：已知隨機變量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。關鍵是找出Y的等價事件。隨機變量的函數(shù)的分布離散型X-101連續(xù)型

連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布的求法：求Y=g(X)的取值范圍分段討論在取值范圍外的y，在取值范圍內(nèi)的y，連續(xù)型概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件1.期望的定義、定理、性質及求解2.方差的定義、性質及求解3.六個重要分布的數(shù)學期望和方差4.切比雪夫不等式第四章隨機變量的數(shù)字特征1.期望的定義、定理、性質及求解第四章隨機變量的數(shù)字特征定義：定義：數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學期望的定義定義：數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學期望的定義

定理定理E(X)的性質E(X)的性質定義：方差定義：方差對于離散型隨機變量X，對于連續(xù)型隨機變量X，此外，利用數(shù)學期望的性質，可得方差得計算公式：對于離散型隨機變量X，對于連續(xù)型隨機變量X，此外，利用數(shù)學期方差的性質方差的性質概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件6種常見分布的期望與方差數(shù)學期望方差

分布律或密度函數(shù)

分布正態(tài)分布指數(shù)分布均勻分布U(a,b)泊松分布np(1-p)

np二項分布b(n,p)

p(1-p)

p

0－1分布6種常見分布的期望與方差數(shù)學期望方差分布律或密度定理

(切比雪夫不等式)

設X是隨機變量，若D(X)存在，則對任何>0，有切比雪夫不等式的等價形式注：

1.切比雪夫不等式可用來估計不是服從正態(tài)分布的隨機變量落在E(X)附近的概率。

2.切比雪夫不等式的主要作用是進行概率論的理論研究。定理(切比雪夫不等式)切比雪夫不等式的等價形式注：1.樣本的定義（獨立同分布）2.統(tǒng)計量的定義和判別3.統(tǒng)計學三大分布的定義和圖形輪廓4.三大分布的分位點定義第六章樣本及抽樣分布1.樣本的定義（獨立同分布）第六章樣本及抽樣分布樣本總體：試驗中全部可能的觀察值（研究對象的全體，如一批燈泡），一個總體對應于一個隨機變量X。個體：每個可能觀察值稱為個體（組成總體的每個元素，如某個燈泡）抽樣：從總體X中抽取有限個個體對總體進行觀察的取值過程。隨機樣本：隨機抽取的n個個體的集合(X1,X2,…,Xn),

n為樣本容量。簡單隨機樣本：滿足以下兩個條件的隨機樣本(X1,X2,…,Xn) 1.每個Xi與X同分布

2.X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量[說明]：后面提到的樣本均指簡單隨機樣本。樣本總體：試驗中全部可能的觀察值（研究對象的全體，如一批燈泡統(tǒng)計量：設是總體X的樣本，則函數(shù)如果不包含任何未知參數(shù)則稱為樣本的一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量簡言之，樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。統(tǒng)計量：設是總體X的樣本，則函數(shù)統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量樣本平均值：樣本方差：樣本均方差：樣本k階(原點)矩：樣本k階中心矩：常用的統(tǒng)計量樣本平均值：統(tǒng)計學三大分布統(tǒng)計學三大分布

例如：例如：概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件1.矩估計法（三步法）2.最大似然估計法（三步法）3.估計量三大評選標準的定義及證明（無偏性、有效性、相合性）4.單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計第七章參數(shù)估計1.矩估計法（三步法）第七章參數(shù)估計矩估計法矩估計法最大似然估計的求法寫出似然函數(shù)求，使得為的最大值，求法如下：求使得方程又在同一處取得極值，因此，的最大似然估計值可從方程中求得稱為似然方程1.單參數(shù)最大似然估計的求法寫出似然函數(shù)1.單參數(shù)2.雙參數(shù)似然函數(shù)似然方程最大似然估計法2.雙參數(shù)似然函數(shù)最大似然估計法估計量的評選標準

對總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計量，如何評價好壞？通常用三條標準檢驗：無偏性，有效性，相合性

無偏性估計量的評選標準對總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的

有效性有效性相合性相合性正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件ThankYou!ThankYou!1.假設檢驗的定義2.假設檢驗的三步法3.單個正態(tài)總體均值和方差的假設檢驗統(tǒng)計量和拒絕域第八章假設檢驗1.假設檢驗的定義第八章假設檢驗問題：設X～，已知，未知。給定，問？假設

稱為原假設(零假設)，稱為備擇假設(對立假設)。通過某種方式確定常數(shù)k。若，則接受，若，則拒絕(接受)。犯兩類錯誤的概率：若為真而被拒絕，我們稱為犯第一類錯誤(又稱犯“棄真”錯誤，其概率記為。一般，0.1.

若為假而被接受，我們稱為犯第二類錯誤(又稱犯“取偽”錯誤，其概率記為。問題：設X～，已知，未知記取檢驗統(tǒng)計量為我們稱拒絕的區(qū)域W為拒絕域，將接受的區(qū)域稱為接受域。

的拒絕域為W={｜Z｜}，的接受域為={｜Z｜<}。即記取檢驗統(tǒng)計量為我們稱拒絕的區(qū)域W為拒絕域，將接0000

<

0

>

0Z檢驗法

(2已知)原假設

H0備擇假設

H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域0000<00000

<

0

>

0t檢驗法

(2未知)原假設

H0備擇假設

H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域0000<02022>022<022022=02202原假設

H0備擇假設

H1檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布拒絕域(

未知)關于2的檢驗（檢驗法）2022>022<022基本初等函數(shù)導數(shù)公式表1函數(shù)y=f(x)

導函數(shù)y=cy=xα(α∈R)y=ax(a>0,a≠0)y=logax(a>0,a≠1,x>0y=lnx基本初等函數(shù)導數(shù)公式表1函數(shù)y=f(x)導函數(shù)y=函數(shù)y=f(x)

導函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx基本初等函數(shù)導數(shù)公式表2函數(shù)y=f(x)導函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx基本求導公式基本求導公式概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件謝謝！謝謝！78概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習79概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件事件的運算律交換律：結合律：分配律：對偶律（DeMorgan德摩根律）：減法：事件的運算律

概率：做n次重復試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)記為，當n很大時，若頻率穩(wěn)定在常數(shù)P附近，則稱P為隨機事件A發(fā)生的概率，記作P(A)=P。概率的公理化定義：設E是隨機試驗，S是樣本空間，對E的每個隨機事件A，賦予一個實數(shù)P(A)，若它滿足：非負性：規(guī)范性：，S為樣本空間（必然事件）可列可加性：若事件中則則稱P(A)為事件A的發(fā)生概率。概率：做n次重復試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)記為概率的性質有限可加性：有限個兩兩互斥的事件則是A的對立事件，則則一，當A，B互斥即時

推廣：概率的性質有限可加性：有限個兩兩互斥的事件預備知識：排列、組合分類計數(shù)原理(加法原理)：設完成一件事有k類方法，每類分別有種方法，則完成這件事情共有種方法.分步計數(shù)原理(乘法原理)：設完成一件事有k個步驟，第一步有種方法，…,第k步有種方法，則完成這件事情共有種方法.排列：從n個不同元素中取出m個元素，按一定次序排成一列.

排列數(shù)：從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)記為注：等可能概型（古典概型）預備知識：排列、組合分類計數(shù)原理(加法原理)：設完成一件事有組合：從n個不同元素中取出m個元素并成一組(與順序無關).

組合數(shù)：從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)，記為組合：從n個不同元素中取出m個元素并成一組(與順序無關).等可能概型（古典概型）定義：具有以下性質的隨機試驗稱為等可能概型試驗的樣本空間的元素只有有限個試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同等可能概型中事件概率的計算公式：

n為隨機試驗的總的結果數(shù)，即樣本點的總數(shù)，k為事件A包含的結果數(shù)。等可能概型（古典概型）定義：具有以下性質的隨機試驗稱為等可能定義：事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為條件概率，記為P(B|A)。例將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正面的情況，設A={至少有一次為正面H}，B={兩次擲出同一面}，求P(B|A)解：樣本空間S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}。則可得：

P(B|A)＝1/3條件概率的計算公式：條件概率定義：事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為條件概率，記乘法定理：設P(A)>0，則有P(AB)=P(B|A)P(A)推廣：P(AB)>0，則有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)設為n個事件，且乘法定理：設P(A)>0，則有P(AB)=P(B|A)P(A全概率公式劃分：設S為試驗E的樣本空間，為E的一組事件，若

則稱為樣本空間S的一個劃分.例E：擲骰子觀察點數(shù)

是S的一個劃分不是S的一個劃分全概率公式劃分：設S為試驗E的樣本空間，為E全概率公式定理：設隨機試驗E的樣本空間為S，A為E的事件.為S的一個劃分，且則，稱之為全概率公式。注：全概率公式給出我們一個用來計算在眾多原因的作用下事件A發(fā)生概率的方法.

（由因得果）全概率公式定理：設隨機試驗E的樣本空間為S，A為E的事件.貝葉斯公式（由果溯因）設E的樣本空間為S，A為E的事件.為S的一個劃分，且，則

為貝葉斯（Bayes）公式.稱為先驗概率；稱為后驗概率.貝葉斯公式（由果溯因）設E的樣本空間為S，A為E的事件.條件概率

條件概率小結縮減樣本空間

定義式

乘法公式

全概率公式貝葉斯公式條件概率條件概率小結縮減樣本空間定義式乘法公式全概獨立性獨立事件：兩事件A、B，A發(fā)生對B發(fā)生沒有影響，B發(fā)生也對A沒有影響，則稱兩事件相互獨立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例拋甲，乙兩枚硬幣，A={甲出現(xiàn)正面H}，B={乙出現(xiàn)正面H}，問A，B同時發(fā)生的概率.定理四對事件中有一對相互獨立，則另外三對也相互獨立.獨立與互斥的區(qū)別：

A，B相互獨立：P(AB)=P(A)P(B)；

A，B互斥：P(AB)=0。獨立性獨立事件：兩事件A、B，A發(fā)生對B發(fā)生沒有影響，B發(fā)生多個事件的獨立多個事件的獨立定義隨機試驗的結果可以用一個實值變量表示，這個變量的取值是隨機的，但又服從一定的統(tǒng)計規(guī)律性，這種變量稱為隨機變量，通常用X，Y，Z表示。中心問題：將試驗結果數(shù)量化隨機變量分為離散型和連續(xù)型：離散型：X的取值是有限個或可列無限個。連續(xù)型：X的取值是連續(xù)的。esxX=f(e)—為S上的單值函數(shù)，X為實數(shù)定義隨機試驗的結果可以用一個實值變量表示，這個變量的取值是分布律

稱為離散型隨機變量X的分布律，分布律可用列表的方式直觀的表示出來X1、寫出可能取值－－即寫出了樣本點2、寫出相應的概率－－即寫出了每一個樣本點出現(xiàn)的概率分布律（概率分布）分布律稱為離01X1.兩點分布，又稱為(0-1)分布(0-1)分布的分布律為也可以寫為對隨機實驗，若樣本空間只包括兩個元素，即，則一定能在S上定義一個服從(0-1)分布的隨機變量，令例拋硬幣一次，定義隨機變量X為出現(xiàn)正面的次數(shù)，則01X1-pp三種重要的離散型隨機變量01X1.兩點分布，又稱為(0-1)分布(0-12.二項分布隨機試驗E只有兩個可能結果：A和，則稱E為伯努利試驗。設P(A)=p(0<p<1),則將伯努利試驗獨立地重復進行n次，稱為n重伯努利試驗。X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，X所有可能取值k=0,1,2,…,n。求P{X=k}P{X=k}記q=1-p，隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為當n=1時，即為(0-1)分布。2.二項分布隨機試驗E只有兩個可能結果：A和，則稱E為伯若隨機變量X的概率分布律為稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記3.泊松分布(Poisson分布)Poisson定理設是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設，則對于任一固定的非負整數(shù)k，有若隨機變量X的概率分布律為3.泊松分布(Poisson分布)當時近似公式近似效果更佳。當定義：設X為一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

稱為隨機變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義，有分布函數(shù)注:分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值表示x落在區(qū)間上的概率。定義：設X為一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)分布函數(shù)注:分(1)(2)F(x)是一個不減函數(shù)

(3)對于離散型隨機變量，若分布律為則其分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)定義：對于隨機變量X的分布函數(shù)若存在 非負的函數(shù)使對于任意實數(shù)有：

其中稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。

則稱X為連續(xù)型隨機變量，概率密度定義：對于隨機變量X的分布函數(shù)若存在 非負的概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件1.均勻分布定義：設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數(shù)則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布。記為注：X落在(a,b)上任一子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與位置無關。三種重要的連續(xù)型隨機變量1.均勻分布定義：設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數(shù)三種重要均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù)定義：連續(xù)型隨機變量X的概率密度為稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布的分布函數(shù)2.指數(shù)分布定義：連續(xù)型隨機變量X的概率密度為2.指數(shù)分布定義：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布（也稱為Gauss分布），記為三種重要的連續(xù)型隨機變量3.正態(tài)分布定義：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為三種重要的連續(xù)型隨機變量

f(x)圖形的性質：關于對稱結論：當時，取得最大值固定，改變，f(x)的圖形不變，沿x軸平移固定，改變，由最大值知，越小，圖形越尖，X落在附近的概率越大。時，，即曲線以X軸為漸近線。分布函數(shù)F(x)f(x)圖形的性質：標準正態(tài)分布時，稱X服從標準正態(tài)分布，概率密度函數(shù)

分布函數(shù)

結論：的函數(shù)值見第382頁標準正態(tài)分布表例，求標準正態(tài)分布正態(tài)分布轉變?yōu)闃藴收龖B(tài)分布引理若，則結論：，則它的分布函數(shù)，可寫成：

正態(tài)分布的問題都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布，然后查書中第382頁標準正態(tài)分布表得解例，求正態(tài)分布轉變?yōu)闃藴收龖B(tài)分布隨機變量的函數(shù)的分布離散型離散型隨機變量的函數(shù)分布律的求法：找出Y=g(X)的所有可能取值找出每個值對應的X取值，將對應概率相加例設隨機變量X具有分布律求的分布律。 X-10120.20.30.10.4問題提出：已知隨機變量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。關鍵是找出Y的等價事件。隨機變量的函數(shù)的分布離散型X-101連續(xù)型

連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布的求法：求Y=g(X)的取值范圍分段討論在取值范圍外的y，在取值范圍內(nèi)的y，連續(xù)型概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件1.期望的定義、定理、性質及求解2.方差的定義、性質及求解3.六個重要分布的數(shù)學期望和方差4.切比雪夫不等式第四章隨機變量的數(shù)字特征1.期望的定義、定理、性質及求解第四章隨機變量的數(shù)字特征定義：定義：數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學期望的定義定義：數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學期望的定義

定理定理E(X)的性質E(X)的性質定義：方差定義：方差對于離散型隨機變量X，對于連續(xù)型隨機變量X，此外，利用數(shù)學期望的性質，可得方差得計算公式：對于離散型隨機變量X，對于連續(xù)型隨機變量X，此外，利用數(shù)學期方差的性質方差的性質概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件6種常見分布的期望與方差數(shù)學期望方差

分布律或密度函數(shù)

分布正態(tài)分布指數(shù)分布均勻分布U(a,b)泊松分布np(1-p)

np二項分布b(n,p)

p(1-p)

p

0－1分布6種常見分布的期望與方差數(shù)學期望方差分布律或密度定理

(切比雪夫不等式)

設X是隨機變量，若D(X)存在，則對任何>0，有切比雪夫不等式的等價形式注：

1.切比雪夫不等式可用來估計不是服從正態(tài)分布的隨機變量落在E(X)附近的概率。

2.切比雪夫不等式的主要作用是進行概率論的理論研究。定理(切比雪夫不等式)切比雪夫不等式的等價形式注：1.樣本的定義（獨立同分布）2.統(tǒng)計量的定義和判別3.統(tǒng)計學三大分布的定義和圖形輪廓4.三大分布的分位點定義第六章樣本及抽樣分布1.樣本的定義（獨立同分布）第六章樣本及抽樣分布樣本總體：試驗中全部可能的觀察值（研究對象的全體，如一批燈泡），一個總體對應于一個隨機變量X。個體：每個可能觀察值稱為個體（組成總體的每個元素，如某個燈泡）抽樣：從總體X中抽取有限個個體對總體進行觀察的取值過程。隨機樣本：隨機抽取的n個個體的集合(X1,X2,…,Xn),

n為樣本容量。簡單隨機樣本：滿足以下兩個條件的隨機樣本(X1,X2,…,Xn) 1.每個Xi與X同分布

2.X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量[說明]：后面提到的樣本均指簡單隨機樣本。樣本總體：試驗中全部可能的觀察值（研究對象的全體，如一批燈泡統(tǒng)計量：設是總體X的樣本，則函數(shù)如果不包含任何未知參數(shù)則稱為樣本的一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量簡言之，樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。統(tǒng)計量：設是總體X的樣本，則函數(shù)統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量樣本平均值：樣本方差：樣本均方差：樣本k階(原點)矩：樣本k階中心矩：常用的統(tǒng)計量樣本平均值：統(tǒng)計學三大分布統(tǒng)計學三大分布

例如：例如：概率論及數(shù)理統(tǒng)計期末必備復習資料課件1.矩估計法（三步法）2.最大似然估計法（三步法）3.估計量三大評選標準的定義及證明（無偏性、有效性、相合性）4.單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計第七章參數(shù)估計1.矩估計法（三步法）第七章參數(shù)估計矩估計法矩估計法最大似然估計的求法寫出似然函數(shù)求，使得為的最大值，求法如下：求使